Мощный труд по популярному изложению гипотезы Римана о нулях дзета-функции
Многие вещи я даже не знал, например число Скьюза...
Автор оригинала: Jørgen Veisdal habr.com/ru/post/452964/
Многие вещи я даже не знал, например число Скьюза...
число Скьюза звенит неким мутным колоколом в башке : если не ошибаюсь, над этими числами (их бОльше одного, в зависимости от текущей оценки их величины) реальное число простых п(х) ниже некоторого х и интегральный логарифм Li(x) переплёвывают друг друга по величине бесконечное (Харди-Литтлвуд?) число раз по пути к асимптотическому выравниванию друг с другом п(х)~Li(x) при возрастании х нахъ.
эквивалентные (!) гипотезе Римана предложения довольно непримечательные, кстати, и убого/случайно с потолка выглядевшие - полагаю, что никто не стал бы ими заморачиваться ; может, просто лучшего пока приближения для п(х) чем Римана не найдено? кстати, а почем уверены в этом, может для очень больших простых как раз ложная гипотеза Римана будет ближе к реальному п(х)?
Ну хорошо, ладно. Решите тогда следующую задачку, никуда не подглядывая, а предыдущая пусть будет вам подсказкой.
В выпуклом n-угольнике проводятся все диагонали, причем никакие три из них не пересекаются в одной точке. На сколько частей они делят его?
Возможно, получится свести к теореме Эйлера для графов, но пока не уверен....
Да вроде простой индукцией можно обойтись. Добавим n+1-ю вершину и проведем все диагонали в ней. Добавленный треугольник будет разрезан на n-1 часть диагоналями, а каждая новая диагональ добавляет столько частей, сколько диагоналей (n+1)-угольника она пересекает. Пронумеруем вершины по часовой стрелке от 1 до n+1. Тогда диагональ соединяющая вершины n+1 и k пересекает (k-1)*(n-k) диагоналей. Это произведение количеств вершин между двумя выбранными по и против часовой стрелки. Суммируем по k от 2 до n-1, и получаем:
fn+1=fn+n(n-1)(n-2)/6 + (n-1)
Напомню, что последний член - это части добавленного треугольника. Формулу удобнее переписать в таком виде:
fn+1-fn = ((n-1)3+5(n-1))/6
Теперь суммируем правую часть от 2 до n и получаем:
fn+1 = n(n-1)[n(n-1)+10]/24
Если и наврал, то наврал складно, поскольку дает правильный результат для 3-, 4- и 5-угольников.
У самоеда экспериментальные плюшки
В них нет математики...
если не ошибаюсь, вольфрам может производить алгебраические/символичные операции с формулами из буквенных переменных, дифференцирование и интегрирование формул и пр.
Найти углы треугольника АВС, если известно, что медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины В, делят угол при этой вершине на 4 равные части.
В общем, без корней и синусов
Предположим, что угол прямой
Тогда оставшиеся углы pi/2-ф/4 и pi/2-3/4ф, то бишь 3/8pi и 1/8pi
В общем, надо изящно доказать, что ф=pi/2 и вуяля
Достаточно начертить острый угол и разделить его с помощью транспортира или циркуля на 4 части, а затем приставить линейку, чтобы понять, что угол должен быть больше. То же сделать с тупым улом, чтобы понять, что он должен быть меньше. И догадаться, что он должен быть прямым. А для проверки просто построить точный чертеж.
Вот задачка как раз для чайников. Доказать, что из шести ребер тетраэдра всегда можно составить два треугольника.
Возьмем наибольшее ребро, любое, если оно не одно. Из него исходят 4 ребра, и его удвоенная длина меньше суммы их длин. Значит, это ребро и пара ребер, исходящих из (минимум) одного его конца, образуют треугольник. Другой треугольник образуют - грань тетраэдра - три оставшихся ребра.
В общем, самое иящное было бы показать без энтих синусов и квадратных корней, что медиана равна половине основания.
Но это пока не видно.
А с синусами гораздо изящнее без этого внеклассового Вольфрама...
Медиана делит на два треугольника, у которых две стороны одинаковые (общая и пол-основания)
Отсюда, обозначая ф/4=a, делим две пропорции и получаем
[tex]\frac{sin\alpha}{sin3\alpha }=\frac{sin(\frac{\pi }{2}-3\alpha)}{sin(\frac{\pi }{2}-\alpha)}[/tex]
т.е.
[tex]sin\alpha *cos\alpha = sin3\alpha *cos3\alpha[/tex]
Откуда
[tex]\alpha = \frac{\pi }{2}-3\alpha[/tex] (надо бы единственность еще доказать в нужном нам диапазоне)
Рассмотрим 5 множеств, каждое из которых назовем вершиной. Совокупность нескольких вершин назовем симплексом, если их общее пересечение (как множеств) непусто. Совокупность всех такого рода симплексов назовем комплексом.
Например, если множества попарно не пересекаются, то получим один комплекс - из 5 вершин. Наоборот, если пересечение всех 5 множеств непусто, то получим другой комплекс - из 5 одновершинных, 10 двухвершинных, 10 трехвершинных, 5 четырехвершинных симплексов и 1 пятивершинного.
Спрашивается, сколько комплексов можно получить максимум?
Если исходные множества составляют покрытие некоторого множества, а именно их объединения, то в топологии подобный симплициальный комплекс называется нервом покрытия. Это понятие, совершенно шикарное, ввел П.С. Александров в 1928 г. (см. Вики). Таким образом, в предыдущем посте спрашивается о числе нервных типов покрытия из 5 множеств?
А кстати, можете предложить простой алгоритм, последовательно находящий все типы этих нервов? А я его с удовольствием запрограммирую, и мы подсчитаем число этих типов, так сказать, циркулем и линейкой.
Рассмотрим 5 множеств, каждое из которых назовем вершиной. Совокупность нескольких вершин назовем симплексом, если их общее пересечение (как множеств) непусто. Совокупность всех такого рода симплексов назовем комплексом.
Например, если множества попарно не пересекаются, то получим один комплекс - из 5 вершин. Наоборот, если пересечение всех 5 множеств непусто, то получим другой комплекс - из 5 одновершинных, 10 двухвершинных, 10 трехвершинных, 5 четырехвершинных симплексов и 1 пятивершинного.
Спрашивается, сколько комплексов можно получить максимум?
Поскольку никто интереса не проявил, пришлось решать самому.
Берем 5 множеств случайной мощности в пределах числа n, каждое своей, наполняем их случайными целыми положительными - тоже в пределах n - числами и находим требуемый симплициальный комплекс. Проделываем эту процедуру миллион раз или даже 5 миллионов раз.
Экспериментируем с различными n... В любом случае получаем не более 70 различных комплексов, преимущественно 70. Экспериментальный ответ: ровно 70.
Да, забыл сказать, что одновременно вычисляем эйлерову характеристику находимых симплексов и набираем соответствующую статистику. Угадайте, в каких пределах эта характеристика меняется и чему она равна в среднем?
: если не ошибаюсь, над этими числами (их бОльше одного, в зависимости от текущей оценки их величины) реальное число простых п(х) ниже некоторого х и интегральный логарифм Li(x) переплёвывают друг друга по величине бесконечное (Харди-Литтлвуд?) число раз по пути к асимптотическому выравниванию друг с другом п(х)~Li(x) при возрастании х нахъ.
; может, просто лучшего пока приближения для п(х) чем Римана не найдено? кстати, а почем уверены в этом, может для очень больших простых как раз ложная гипотеза Римана будет ближе к реальному п(х)? 
