Интересно, есть ли специалисты по этому вопросу?

Ищу pdf-ку (книгу или обзор) с красивыми задачками по внешнему произведению матриц и операциями с блоками ячеек

Отредактировано mittelspiel (2010-08-15 12:57:46)

mittelspiel написал(а):Здесь Григорий большой спец по рангам матриц и собственно по матрицам.

Вы, ув.mittelspiel, не могли бы конкретизировать задачу, которая Вас интересует.
Честно говоря, я лишь чисто формально знаю, что операция внешнего произведения определена для тензоров.
Но не каждая матрица, вообще говоря, тензор, если я правильно помню.

Крыс написал(а):Ой! А я и не знал! А можно деньгами?

Vladimirovich написал(а):Внешнее произведение определено для двух любых матриц с размерностями A(i,j) и B(k,m), так что матрица их внешнего произведения имеет размерность С(i+k,j+m), в отличии от обычного матричного произведения, которое определено для A(i,j)*B(k,m) только при j=k.
Внешнее матричное произведение обычно обозначают крестиком в кружочке:




вот несколько вопросов которые меня интересуют:
Пусть A, B, C, D - матрицы (тензоры если угодно),
* - внутреннее (обычное) матричное произведение,
x - внешнее матричное проиведение (которое в формуле выше обозначено как крестик в кружке)
d/dt- производная. t - скаляр

1) выполняются ли для внешнего проиведения следующее: (AxB)*(CxD)=Ax(B*C)xD, и другие аналогичные законы по аналогии с обычным произведением?
2) выполняется ли для внешнего произведения следующее: d/dt[(AxB)]=(dA/dt)xB + Ax(dB/dt),
3) И желательно найти книгу или обзор где такого рода вовпросы рассматриваются для внешнего произведения

Отредактировано mittelspiel (2010-08-15 20:08:28)

Vladimirovich написал(а):Только та, которая преобразуется как произведение векторов, если ничего не путаю.

Миттельшпиь. насколько я понимаю, 1-ая глава популярной книжки Стернберга Лекции по дифференциальной геометрии посвящена интересующим Вас вопросам. Помнится(я в своё время эту главу прорабатывал) там изложено очень ясно.
Равенство для производной произведения выполнается для любой полилинейной операции, а тензорное произведение таковым вроде является.
Несомненно, и в любом другом полном учебнике линейной алгебре тоже можно найти ответы на Ваши вопросы.

Тут я совсем не специалист. Но, навскидку

mittelspiel написал(а):- нет, хотя бы потому, что у левой и правой частей разные размерности

mittelspiel написал(а):- это, вроде, да, но не уверен...

Grigoriy написал(а):тут ключевое слово полный. Во всяких книжках типа Введение в линейную алгебру про такие вещи обычно не пишут.

Вниманию Владимировича: вот даже у матриц бывают производные/скорости

Serge_P написал(а):Забыл указать размерность С и D. Пусть исходно размерности A и C равны между собой: (i,j); размерности B и D равны между собой: (k,m).
И дополнительное условие: j+m=i+k. Это чтобы (AxB)*(CxD) было определено.

размерность (AxB) такая: i+k, j+m
размерность (CxD) такая же: i+k, j+m
размерность (AxB)*(CxD): i+k, j+m

размерность B*C: k,j
размерность Ax(B*C): i+k,j
размерность Ax(B*C)xD: i+k,j+m

Так что размерности (AxB)*(CxD) и Ax(B*C)xD совпадают, если исходно матрицы были такие, что все операции были определены.

Grigoriy написал(а):спасибо, попробую эту книгу достать

Serge_P написал(а):Спасибо. Хорошо бы чтобы выполнялось. Но доказать это с нуля, наверное, не быстро...

mittelspiel написал(а):* - это обычное произведение? Тогда еще надо чтобы было m=i

mittelspiel написал(а):а не i+k,j+m?

mittelspiel написал(а):Как указал Григорий, это, скорее всего, просто доказать

Serge_P написал(а):вообще-то
размерность A: i,j
размерность B*C: k,j
размерность Ax(B*C): i+k, 2j

Похоже что действительно размерности не совпадают

Grigoriy написал(а):Я скачал эту книгу Стернберга (www.onlinedisk.ru/file/57486/)
Вы имеете в виду, что то что там называется внешней алгеброй соответствует внешнему матричному произведению? Проблема в том, что там все рассуждения идут на языке тензоров и много терминов, может для обобщения это и хорошо, но и мне это трудно понимать (я не математик и слова типа изоморфизм для меня мало что значат).

Хайдук написал(а):Скорость матрицы это интересное понятие

Vladimirovich написал(а):B=dA/dt это такая матрица B, каждый элемент которой b(i,j)=d/dt[a(i,j)]

mittelspiel написал(а):Я имею ввиду, что там,насколько я понимаю, излагаются те вопросы, которыми Вы интересуетесь.
Если Вы хотите понимать предмет, то вероятно надо вючить язык, на котором о нём можно адекватно говорить. Изучение слов при этом - наименьшая проблема. В частности слово изоморфные означает, что 2 предмета одинаковы с точки зрения, нас интересующей(потому и говорят(изоморфизм алгебр, изоморфизм колец, изоморфизм векторных пр-в).
Но обычно предметы состоят из разных точек(являются разными множествами). Потому изоморфизм - это отображение, устанавливающее взаимно однозначные соответствие между нашими обьектами, при том так, что интересующие нас операции в прообразе переходят в таковые же при в образе.
Основная же проблема - это построение в воображении тех конструкций, о которых идёт речь.
У большинства математиков мозги устроены так, что им нужно это построение.
Но есть люди, которые могут работать иначе - операторно - т е они свободно оперируют с теми операциями, которые определены на интересующих их обьектах, не строя в воображении обьекты сами по себе.. Hасколько я понимаю, таков в основном подход физиков. Я так не могу и потому книг, где проводится соответствующий подход не знаю и соответственно ничего не могу сказать о них Вам.

mittelspiel написал(а):Это вообще было к нашей дискуссии с Хайдуком в другой теме о сжатии Вселенной
Что такое производная матрицы, я в курсе.

Vladimirovich написал(а):Если скорость суть производная, то (курьёзный) интерес отступает место удивлению наблюдаемой реальности производных...

Отредактировано Хайдук (2010-08-16 00:52:32)

Grigoriy написал(а):да. мне даже не операторно, а именно алгебраически хотелось бы.

задачка такая: упростить выражение d/dt[(AxB)*(AxB)*(AxB)...]

А и В - матрицы
x - внешнее матричное произведение
* - обычное матричное произведение
n - константа
t - скаляр

Тут по аналогии с задачками по школьной алгебре из Сканави, хотелось бы знать правила, по которым можно проводить упрощения.
Типа A*(BxC)=(A*B)xC (но мы уже убедились выше что это не работает)

Отредактировано mittelspiel (2010-08-15 22:56:14)

mittelspiel написал(а):да. Но там это сразу видно - слева один раз происходит повышение размерности, а справа - 2 раза.

mittelspiel написал(а):в квадратных скобках стоит (AxB)^n? Впрочем, все равно не знаю, как это можно особо упростить

Serge_P написал(а):Да, в квадратных скобках стояло (AxB)^n

если поверить что оператор дифференцирования действует на тензоры так же как на обычные функции, то тогда наше выражение упрощается вот так:

d/dt[(AxB)^n] = n*(AxB)^(n-1)*d/dt(AxB) = n*(AxB)^(n-1)*([dA/dt]xB + Ax[dB/dt])

Я может быть неправильно выразился, в математике это вроде называется не упростить, а раскрыть скобки (expand).

Таким образом, с дифференцированием мы разобрались; коммутативный закон забраковали (x и * некоммутативны); осталось проверить только дистрибутивный закон.

Вот справедливо ли такое утверждение:

A*(BxC)*(DxE)*F = A*[(BxC)*(DxE)]*F

?

Отредактировано mittelspiel (2010-08-16 02:45:22)

Так дело не пойдёт. В силу некоммутативности производная произведения А1*А2...*Аn
имеет вид:
А1'A2...An + A1*A2'A3...An + A1A2A3'*A4....*An + A1A2...A(n-1)*An'
Здесь под * имеется ввиду любая билинейная операция, штрих - взятие производной, Аi - любые операнды.

Отредактировано Grigoriy (2010-08-16 03:06:24)

как отметил Григорий, не факт, что матрица коммутирует со своей производной, поэтому эта формула

mittelspiel написал(а):вообще говоря, неверна.

А вот это

mittelspiel написал(а):верно, поскольку умножение ассоциативно.

Grigoriy написал(а):Если (формальные) операции не становятся часто математически бессмысленными, зачем не положиться на них, ведь такое легче? С интегралами Фейнмана, насколько понимаю, такое даже помогает, несмотря на отсутствие непротиворечивого смысла. По-видимому, за интегралами теми кроется что-то фундаментальное, о чем формальные операции являются лишь таинственными намёками...

Serge_P написал(а):Отлично, это хороший момент

Grigoriy написал(а):Спасибо, это я слишком разогнался на повороте...
Видимо тут только рекуррентное соотношение можно вывести. Сейчас попробую.

Допустим у нас есть d/dt[A*(BxC)] попробуем его расшифровать:

d/dt[A*(BxC)] = dA/dt*(BxC) + A*d/dt(BxC) = dA/dt*(BxC) + A*(dB/dt)xC + A*Bx(dC/dt)

Очень громозденько получается.