Ключевое слово
26 | 09 | 2020
Новости Библиотеки
Шахматы Онлайн
Welcome, Guest
Username: Password: Remember me

TOPIC: Математика для чайников

Математика для чайников 01 Окт 2009 03:34 #91

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
azur написал(а):
Так не интересно. Здесь все же форум, и его функция - сообщения и их обсуждение.
Так в чем дело? Заходите по указаммым адресам, решайте задачки, присылайте решения мне на e-mail или в ЛС, а затем мы с удовольствием обсудим их на этом форуме.
Защитить от обсуждения тему, да так, чтобы даже гость мог бы в ней написать, наверное, технически невозможно.
На других форумах до сих пор как-то удавалось.
Ждем от Вас то, что можно обсуждать свободно.
С удовольствием.
Все приведенные ниже задачи утратили статус конкурсных. Их можно обсуждать здесь без каких-либо ограничений.

=========================
ММ61
Футбольные команды Честерман, Елсич, Пулливер, Сеналар и Тонбол провели однокруговой турнир.
Ниже приведены его итоги:
Команды О РМ
1. Елсич______ 10 3-0
2. Честерман__ 6 9-6
3. Пулливер__ 6 2-7
4. Сеналар___ 5 3-1
5. Тонбол ____1 2-5

Требуется воостановить турнирную таблицу (указать счет каждого матча)

Примечания:
В колонке “О” указано количество очков, набранных
В колонке “РМ” через дефис указано суммарное количество забитых и пропущенных голов
За победу команде начисляется 3 очко, за ничью - 1 очко.
==========================

ММ1
Фишка находится на расстоянии n клеток от заветной. Бросаем игральную кость (кубик) и, в зависимости от выпавшей суммы очков (от 1 до 6), перемещаем фишку к заветной клетке. В общем, все как в детской игре. Если мы еще не достигли заветной клетки, продолжаем этот процесс. Если мы после очередного хода оказались (ура!) в заветной клетке, мы выиграли. Если же мы проскочили (увы) заветную клетку, мы проиграли.
При каком n вероятность выигрыша максимальна?
==========================

ММ3
Hекий путешественник, идя по доpоге в стpане, где живут pыцаpи и лжецы, встpетил гpуппу из нескольких местных жителей. Каждый из встpеченных по-очеpеди пpоизнес две фpазы (причем первые фразы зависели от порядкового номера говорящих, а вторые были одинаковы). k-й по счету сказал:
Сpеди нас не более k pыцаpей. Сpеди моих спутников есть лжецы.
Сколько человек встpетил путешественник?
Hапомню, что в задачках такого типа pыцаpи всегда говоpят пpавду, а лжецы всегда лгут.
==========================

ММ23
Верно ли, что у любого тетраэдра есть сечение, являющееся равнобочной трапецией?

(Под тетраэраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.)
=========================

ММ41
Правильный тетраэдр со стороной в 1 метр находится в подвешенном состоянии. На одну из его вершин села муха точечных размеров и поползла по прямой по грани (не ребру) тетраэдра. С грани на грань муха переползает так, что на развертке тетраэдра ее путь оставался бы прямолинейным. Преодолев расстояние в целое число метров, не превосхдящее десяти, муха вновь оказалась в вершине. Сколько метров проползла муха и сколько раз побывала при этом на грани, с которой начала движение?

Математика для чайников 01 Окт 2009 04:24 #92

  • PP
  • PP's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 27378
  • Thank you received: 194
  • Karma: 6
val написал(а):
Фишка находится на расстоянии n клеток от заветной. Бросаем игральную кость (кубик) и, в зависимости от выпавшей суммы очков (от 1 до 6), перемещаем фишку к заветной клетке. В общем, все как в детской игре. Если мы еще не достигли заветной клетки, продолжаем этот процесс. Если мы после очередного хода оказались (ура!) в заветной клетке, мы выиграли. Если же мы проскочили (увы) заветную клетку, мы проиграли.
При каком n вероятность выигрыша максимальна?
Интуиция подсказывает, что при n=6. Есть шанс сразу выиграть и бросить еще в случае недоброса, ну и конечно нет шансов проиграть в один бросок.
P.S. Как то вот так это можно строго записать
If(n6) P(n) = 1/6(P(n-1) + P(n-2) + ... + P(n-6)) max(P(i), i=1,...,6), если только все вероятности не одинаковы, что очевидно.
If(n=6) P(n) = 1/6 + sum(m=1,m=n-1) P(n-m)/6
Справа положительный ряд чем длинее тем лучше, можно и явно записатъ

Отредактировано PP (2009-10-01 08:42:08)

Математика для чайников 01 Окт 2009 12:07 #93

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
думаю, что интуиция подсказала правильно

что касается случая n=6, можно еще так это показать (это называется coupling): рассмотрим 2 процесса, один стартует с расстояния 6, другой - с расстояния k, k6. Бросаем кость, пусть выпало j очков; тогда второй процесс (из k) прыгает на j шагов вперед, а первый (из 6)
на 6-k+j шагов вперед, если j=k,
на j-k шагов вперед, если jk.
Тогда (внимание, трюк!)
- либо второй процесс не перескочил и первый будет в той же точке, что и второй (и значит шанс дальнейшего успеха для них уже одинаков);
- либо второй процесс перескочил, а первый нет, и значит он еще имеет шанс.

Математика для чайников 02 Окт 2009 06:00 #94

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87379
  • Thank you received: 1348
  • Karma: 78
val написал(а):
ММ3
Hекий путешественник, идя по доpоге в стpане, где живут pыцаpи и лжецы, встpетил гpуппу из нескольких местных жителей. Каждый из встpеченных по-очеpеди пpоизнес две фpазы (причем первые фразы зависели от порядкового номера говорящих, а вторые были одинаковы). k-й по счету сказал:
Сpеди нас не более k pыцаpей. Сpеди моих спутников есть лжецы.
Сколько человек встpетил путешественник?
Hапомню, что в задачках такого типа pыцаpи всегда говоpят пpавду, а лжецы всегда лгут.
Правильно ли я понимаю, что первые k-1 человек сказали одну и ту же вторую фразу, но не ту, что к-человек?
И к - это не максимум?

Т.е мы имеем
1. либо к-1 лжецов.
2. либо к-1 рыцарей первых

А. к-человек должен быть либо рыцарем

Б. либо лжецом

Варианты
1A Не более к рыцарей. Число лжецов N неизвестно - вплоть до бесконечности.
1Б.
не бывает


2А к рыцарей и N лжецов Число лжецов N неизвестно
2Б Более к рыцарей.

Я чего то не понял Решения не вижу

Каждому - своё.

Математика для чайников 02 Окт 2009 06:50 #95

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
Vladimirovich написал(а):
Правильно ли я понимаю, что первые k-1 человек сказали одну и ту же вторую фразу, но не ту, что к-человек?
Я полагал, что условие сформулировано вполне прозрачно... Ан нет. Попробую объяснить.

Первый произнес две фразы:
1. Сpеди нас не более одного pыцаpя.
2. Сpеди моих спутников есть лжецы.

Второй произнес две фразы:
1. Сpеди нас не более двух pыцаpей.
2. Сpеди моих спутников есть лжецы.

и т.д.

Так понятнее?
И к - это не максимум?
k - это переменный индекс (порядковый номер говорящего)

Математика для чайников 02 Окт 2009 06:54 #96

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
Serge_P написал(а):
думаю, что интуиция подсказала правильно
Я тоже так думаю.
Остается добавить, что с увеличением расстояния до заветной клетки вероятность наступить на нее неограниченно приближается к 2/7, что понятно и без вычислений: 7/2 - это средняя длина хода.

Отредактировано val (2009-10-02 18:23:57)

Математика для чайников 02 Окт 2009 07:02 #97

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87379
  • Thank you received: 1348
  • Karma: 78
val написал(а):
Так понятнее?
Тогда 2.
Каждому - своё.

Математика для чайников 02 Окт 2009 07:32 #98

  • Автор: Весельчак У
  • Автор: Весельчак У's Avatar
3 человека. Сначала лжец, потом 2 рыцаря.

Математика для чайников 02 Окт 2009 07:35 #99

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87379
  • Thank you received: 1348
  • Karma: 78
Погорячился. был неправ

p.s - Сpеди нас не более двух pыцаpей.
вот тут крыша съехала.

Отредактировано Vladimirovich (2009-10-02 11:41:21)
Каждому - своё.

Математика для чайников 02 Окт 2009 11:57 #100

  • azur
  • azur's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 239
  • Thank you received: 1
  • Karma: 0
val написал(а):
с увеличением расстояния до заветной клетки вероятность наступить на нее неограниченно приближается к 7/2
Хмм .. это какая-то новая вероятность, которая больше 1

Математика для чайников 02 Окт 2009 12:37 #101

  • azur
  • azur's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 239
  • Thank you received: 1
  • Karma: 0
Весельчак У написал(а):
3 человека. Сначала лжец, потом 2 рыцаря.

Сразу ясно, что в группе есть лжецы, причем по словам одного из них выясняется, что он только один.
Первым спрашивали именно его (иначе противоречие), и из его слов следует, что рыцарей больше одного. Уже из слов второго спрошенного - рыцаря - следует, что рыцарей не более 2. Т.е. лжец один, рыцарей двое.

Отредактировано azur (2009-10-02 16:52:38)

Математика для чайников 02 Окт 2009 14:43 #102

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
azur написал(а):
val написал(а):

с увеличением расстояния до заветной клетки вероятность наступить на нее неограниченно приближается к 7/2

Хмм .. это какая-то новая вероятность, которая больше 1
Уже исправил на 2/7.

Теперь касательно вероятности 7/2. Подумаешь, невидаль! Могу привести пример, в котором вероятность события будет, например, -3/2:

В пустую урну положим 5 белых шаров. Затем вытащим три шара обратно. Какова вероятность, что четвертый вытащенный шар окажется черным, три условии, что при предыдущих оказались черными? Считаем по классическому определению вероятности: всего шаров в урне - 5 - 3 = 2. Из них черных - 0 - 3 = -3. Таким образом искомая вероятность будет -3/2.

Описать ситуацию, в которой вероятность события будет достигать 7/2 предлагается читателям в качестве легкого упражнения.



Отредактировано val (2009-10-03 10:53:18)

Математика для чайников 02 Окт 2009 22:02 #103

  • azur
  • azur's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 239
  • Thank you received: 1
  • Karma: 0
val написал(а):
В пустую урну положим 5 белых шаров. Затем вытащим три шара обратно. Какова вероятность, что четвертый вытащенный шар окажется черным, три условии, что три предыдущих оказались черными?
эти вещи прямо-таки взрывают мозг
(хоть и решаются в пределах 0х0=0)

Математика для чайников 03 Окт 2009 02:29 #104

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87379
  • Thank you received: 1348
  • Karma: 78
val написал(а):
Какова вероятность, что четвертый вытащенный шар окажется черным, три условии, что три предыдущих оказались черными? Считаем по классическому определению вероятности:
По классическому не пойдет. Только по Байесу.

Каждому - своё.

Математика для чайников 03 Окт 2009 06:42 #105

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
azur написал(а):
эти вещи прямо-таки взрывают мозг
(хоть и решаются в пределах 0х0=0)
Причем здесь 0х0? В пустую урну, свежевыкрашенную изнутри черной краской... Далее по тексту

Математика для чайников 03 Окт 2009 06:53 #106

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87379
  • Thank you received: 1348
  • Karma: 78

Тогда надо знать, хватит ли краски на четвертый шар ...
Каждому - своё.

Математика для чайников 03 Окт 2009 07:32 #107

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
Vladimirovich написал(а):
Тогда надо знать, хватит ли краски на четвертый шар ...
Главное, чтобы на седьмой хватило (чтобы обеспечить вероятность 7/2).

To All:
Ладно, шутки в сторону. С ММ1 и ММ3 разобрались. А как с остальными? А как с конкурсными?

Математика для чайников 03 Окт 2009 07:45 #108

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87379
  • Thank you received: 1348
  • Karma: 78
val написал(а):
Ладно, шутки в сторону. С ММ1 и ММ3 разобрались. А как с остальными? А как с конкурсными?
Если быть честным, ув. val, то задачи типа про Футбольные команды обычно сводятся к нудному перебору разных вариантов и исключению невозможного.
Исключения бывают, но очень редко IMHO.
Каждому - своё.

Математика для чайников 03 Окт 2009 07:51 #109

Ком 1 2 3 4 5
1 Естич х 1:0 1:0 0:0 1:0
2 Честерман 0:1 х 6:0 0:3 3:2
3 Пулливер 0:1 0:6 х 1:0 1:0
4 Сеналар 0:0 3:0 0:1 х 0:0
5 Тонбол 0:1 2:3 0:1 0:0 х

Отредактировано СюгировФан (2009-10-03 11:53:16)
Go LoDo More!

Математика для чайников 04 Окт 2009 10:11 #110

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87379
  • Thank you received: 1348
  • Karma: 78
СюгировФан конечно молодец.
Я раньше такие задачки очень любил, но сейчас терпения не хватает.

А оригинальности нет.
Каждому - своё.

Математика для чайников 04 Окт 2009 19:01 #111

  • PP
  • PP's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 27378
  • Thank you received: 194
  • Karma: 6
Доказать, что в любой группе людей число тех, кто знаком с нечетным числом членов группы, четно.

Математика для чайников 04 Окт 2009 19:20 #112

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87379
  • Thank you received: 1348
  • Karma: 78
PP написал(а):
Доказать, что в любой группе людей  число тех, кто знаком с нечетным числом членов группы, четно.
Ну в матрице смежности неориентированного графа общее количество 1 четное. - любое ребро добавляет 2 единички. (Петель естественно нет, т.е. человек знаком сам с собой, но мы это не считаем
)
Тогда те, кто знаком с четным числом членов группы дают в сумме чет - (сумма по строкам матрицы.)
Соответственно и те, кто знаком с нечетным числом членов группы должны давать чет.
Как то так.
Каждому - своё.

Математика для чайников 04 Окт 2009 19:59 #113

  • PP
  • PP's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 27378
  • Thank you received: 194
  • Karma: 6
С Вами не интересно

Математика для чайников 05 Окт 2009 15:15 #114

  • evgeny
  • evgeny's Avatar
  • OFFLINE
  • Бравый солдат
  • Posts: 2991
  • Thank you received: 31
  • Karma: 1
Вот простая задачка для студентов матана (Calculus 2) нематематической специальности:



Отредактировано evgeny (2009-10-05 19:15:59)

Математика для чайников 05 Окт 2009 15:23 #115

  • evgeny
  • evgeny's Avatar
  • OFFLINE
  • Бравый солдат
  • Posts: 2991
  • Thank you received: 31
  • Karma: 1
Эта кривая называется Лемниската Бернулли (типа матзнак бесконечности) - от любой точки произведение расстояний до 2-х фокальных точек постоянное (==a^2, в данном случае а=sqrt(2) ).
А длина дуги это эллиптический интеграл (d phi / sqrt(cos (2 phi))). Но как связать это с условием, что произведение косинусов для данных 2-х углов это 1/sqrt(2).

Отредактировано evgeny (2009-10-05 19:39:52)

Математика для чайников 06 Окт 2009 17:47 #116

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
Vladimirovich написал(а):
val написал(а):.
Ладно, шутки в сторону. С ММ1 и ММ3 разобрались. А как с остальными? А как с конкурсными?.
Если быть честным, ув. val, то задачи типа про Футбольные команды обычно сводятся к нудному перебору разных вариантов и исключению невозможного.
Исключения бывают, но очень редко IMHO.
Я только что отвечал на это же обвинение (в другом форуме и по поводу другой задачки, но тоже на восстановление таблицы). Придется повториться.
Разумеется. подобные задачки можно решать полным перебором, например, написав программку (и мне известны случаи именно такого решения). Но гораздо привлекательнее рассуждательные решения, когда шаг за шагом табличка заполняется единственно возможным способом.

Продублирую и еще одно свое замечание.
Я полагаю, что все задачи по большому счету переборные: перебираются известные алгоритмы; перебираются подходы и идеи, оказавшиеся полезными при решении других задач; перебираются частные и предельные случаи, в надежде набрести на идею...
Исключение составляют ситуации, когда мы сразу видим стандартный план решения. Но это тот случай, когда и задачи, как таковой нет. Так, упражнение...

To All:

Кстати, истекает срок приема решений конкурсных задач ММ111 (эта задачка совсем устная. но даже в ней есть маленький подвох, не все присланные решения верны) и ММ112 (уж эта-то задачка точно не переборная... в классическом понимании этого термина)

PS: Напоминаю, что решения конкурсных задач следует присылать лично мне.

Отредактировано val (2009-10-07 23:32:22)

Математика для чайников 06 Окт 2009 17:57 #117

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
СюгировФан написал(а):
Ком 1 2 3 4 5
1 Естич х 1:0 1:0 0:0 1:0
2 Честерман 0:1 х 6:0 0:3 3:2
3 Пулливер 0:1 0:6 х 1:0 1:0
4 Сеналар 0:0 3:0 0:1 х 0:0
5 Тонбол 0:1 2:3 0:1 0:0 х
Перебором решали?

Математика для чайников 06 Окт 2009 18:55 #118

val написал(а):
Перебором решали?
Не совсем.

Я постепенно отгадывал.
Go LoDo More!

Математика для чайников 06 Окт 2009 19:27 #119

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
СюгировФан написал(а):
val написал(а):
Перебором решали?
Не совсем.

Я постепенно отгадывал.
To Vladimirovich: Вот видите

Математика для чайников 07 Окт 2009 18:56 #120

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87379
  • Thank you received: 1348
  • Karma: 78
Постепенно отгадывать ~= перебор

Каждому - своё.
Moderators: Grigoriy
Рейтинг@Mail.ru

Научно-шахматный клуб КвантоФорум