Ключевое слово
24 | 09 | 2020
Новости Библиотеки
Шахматы Онлайн
Welcome, Guest
Username: Password: Remember me

TOPIC: Математика для чайников

Математика для чайников 08 Сен 2009 13:31 #31

  • azur
  • azur's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 239
  • Thank you received: 1
  • Karma: 0
Попробуем найти самый длинный маршрут по полям одного цвета с уже известным минимумом поворотов?

Математика для чайников 14 Сен 2009 09:52 #32

59
a1-h8-b2-a3-f8-h6-c1-f4-b8-a7-g1-h2-c7-a5-e1-h4-d8.
Go LoDo More!

Математика для чайников 15 Сен 2009 14:56 #33

  • azur
  • azur's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 239
  • Thank you received: 1
  • Karma: 0
СюгировФан написал(а):
59
Можно больше

Максимум достигается 6 различными (несимметричными) способами
(по крайней мере так мне представляется)

Отредактировано azur (2009-09-15 20:10:06)

Математика для чайников 15 Сен 2009 16:34 #34

63?
a1-h8-b2-a3-f8-h6-c1-g5-d8-a5-e1-h4-f2-a7-g1-h2-b8.
Go LoDo More!

Математика для чайников 15 Сен 2009 16:51 #35

  • azur
  • azur's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 239
  • Thank you received: 1
  • Karma: 0
СюгировФан написал(а):
63?
Больше

Математика для чайников 15 Сен 2009 17:06 #36

64
a1-h8-b2-a3-f8-h6-c1-g5-d8-h4-e1-a5-c7-h2-b8-a7-g1.
Go LoDo More!

Математика для чайников 15 Сен 2009 17:43 #37

  • azur
  • azur's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 239
  • Thank you received: 1
  • Karma: 0
СюгировФан написал(а):
64
a1-h8-b2-a3-f8-h6-c1-g5-d8-h4-e1-a5-c7-h2-b8-a7-g1

64 - шахматное число

Ещё:
a1-h8-b2-a3-f8-h6-c1-f4-b8-h2-g1-a7-f2-h4-d8-a5-e1
a1-h8-c3-a5-e1-h4-d8-g5-c1-h6-f8-a3-d6-h2-b8-a7-g1
a1-h8-c3-a5-e1-h4-d8-b6-g1-a7-b8-h2-d6-a3-f8-h6-c1
a1-h8-d4-a7-g1-h2-b8-f4-c1-h6-f8-a3-e7-h4-d8-a5-e1
a1-h8-d4-a7-g1-h2-b8-g3-e1-a5-d8-h4-e7-a3-f8-h6-c1

А какой самый короткий маршрут по полям одного цвета с таким минимумом поворотов?

Отредактировано azur (2009-09-15 22:14:51)

Математика для чайников 18 Сен 2009 18:27 #38

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
В одной стране Королевская Почта принимает посылки только в коробках (ну, в смысле, в форме параллелипипеда
), причем стоимость посылки равна сумме измерений коробки. Доказать что нельзя сэкономить, спрятав более дорогую коробку внутри более дешевой.

Математика для чайников 19 Сен 2009 01:33 #39

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87346
  • Thank you received: 1346
  • Karma: 78
Serge_P написал(а):
Доказать что нельзя сэкономить, спрятав более дорогую коробку внутри более дешевой.
Если я правильно понимаю, то задача сводится к двум леммам
- При параллельном размещении - если a1+b1+c1 a2+b2+c2 то какое либо измерение например a1 будет больше a2 - это тривиально.
- Для любой непараллельной коробки, вписанной в параллелепипед существует коробка с большей суммой размеров ( я правда в двух измерениях прикинул только
) , также вписанная в параллелепипед. Это не совсем тривиально ...
Но должно быть так.
Каждому - своё.

Математика для чайников 19 Сен 2009 02:51 #40

  • PP
  • PP's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 27352
  • Thank you received: 193
  • Karma: 6
А нельзя ли пойти путем от противного? Пусть А, самая дорогая коробка которую можно вложить в Б.
Но, мы можем теперь вложить в А еще более дорогую коробку и получаем противоречие.
Вопрос, как доказать, что если можно вложить более дорогую в более дешевую, то это должно распространяться на все коробки?

Отредактировано PP (2009-09-19 06:51:51)

Математика для чайников 19 Сен 2009 14:03 #41

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
Vladimirovich написал(а):
- Для любой непараллельной коробки, вписанной в параллелепипед существует коробка с большей суммой размеров ( я правда в двух измерениях прикинул только
) , также вписанная в параллелепипед. Это не совсем тривиально ...
пожалуй да, это должно быть верно, но я пока не соображу, как это доказать...

наверное, не будет сюрпризом, что у этой задачи есть простое решение, использующее только элементарную стереометрию (ну плюс совсем немножко матана)

Математика для чайников 19 Сен 2009 14:04 #42

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
PP написал(а):
Но, мы можем теперь вложить в А еще более дорогую коробку и получаем противоречие.
насчет противоречия не понял, ведь стоимости коробок могут сходиться к конечному пределу?..

Математика для чайников 19 Сен 2009 14:07 #43

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
кстати, кто-нибудь помнит, кто автор примерно такого изречения: каждая задача имеет простое, красивое, наглядное решение, которое неверно?

Математика для чайников 19 Сен 2009 15:53 #44

  • PP
  • PP's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 27352
  • Thank you received: 193
  • Karma: 6
Serge_P написал(а):
насчет противоречия не понял, ведь стоимости коробок могут сходиться к конечному пределу?..
Ну если принять доказаным посыл, что для любой коробки есть более дорогая, которую можно в нее запaковать, то конечного предела быть не может. Правда, пока я доказывал сей посыл, наткнулся на другой интересный факт.
Давайте расширим внешнюю коробку и отодвинем все грани на 1. Получим из коробки a,b,c, коробку a+2, b+2, c+2. Заметим, что это нам позволяет расширить внутреннюю коробку на 1. Тогда если A,B,C лежит внутри a,b,c то A+2,B+2,C+2 внутри a+2,b+2,c+2. Теперь мы можем повторить операцию. A+2k, B+2k, C+2k лежит в a+2k, b+2k, c+2k. Но при больших k объем внутренней коробки превосходит объем внешней. Получаем противоречие.

Отредактировано PP (2009-09-19 19:56:14)

Математика для чайников 19 Сен 2009 19:02 #45

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
PP написал(а):
Давайте расширим внешнюю коробку и отодвинем все грани на 1. Получим из коробки a,b,c, коробку a+2, b+2, c+2. Заметим, что это нам позволяет расширить внутреннюю коробку на 1. Тогда если A,B,C лежит внутри a,b,c то A+2,B+2,C+2 внутри a+2,b+2,c+2. Теперь мы можем повторить операцию. A+2k, B+2k, C+2k лежит в a+2k, b+2k, c+2k. Но при больших k объем внутренней коробки превосходит объем внешней. Получаем противоречие.
это очень хорошая идея, но в таком виде она не совсем работает: если угол внутренней коробки рядом с гранью внешней (так, что угол направлен на грань), то грань отодвинется на 1, а угол - на \sqrt{3}; поэтому не факт, что расширение внутренней коробки полностью содержится в расширении внешней. А вот если эту конструкцию совсем немножко изменить...

Математика для чайников 19 Сен 2009 20:53 #46

  • PP
  • PP's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 27352
  • Thank you received: 193
  • Karma: 6
Еще раз доказывает, что нельзя решать такие задачи на трезвую голову. Вот выпил пива и стало понятно, что там нужно сферические колпаки надеть на вершины, но есть ведь решение вообще в три строчки!
(a+b+c)^2 (A+B+C)^2
a^2+b^2+c^2 + s A^2+B^2+C^2 + S
(a^2+b^2+c^2) - (A^2+B^2+C^2) S - s 0
s - площадь поверхности коробки 2(ac+ab+bc)
S-s 0 так как коробка с бОльшим периметром находится внутри из чего мы получили, что у внешней коробки диагональ короче

Математика для чайников 19 Сен 2009 21:20 #47

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
PP написал(а):
Еще раз доказывает, что нельзя решать такие задачи на трезвую голову. Вот выпил пива и стало понятно, что там нужно сферические колпаки надеть на вершины,
yes!
В общем, там надо рассматривать множество точек, отстоящих от коробки не больше чем на R, считать его объем, и устремлять R к бесконечности.

PP написал(а):
но есть ведь решение вообще в три строчки!
(a+b+c)^2 (A+B+C)^2
a^2+b^2+c^2 + s A^2+B^2+C^2 + S
(a^2+b^2+c^2) - (A^2+B^2+C^2) S - s 0
s - площадь поверхности коробки 2(ac+ab+bc)
S-s 0 так как коробка с бОльшим периметром находится внутри из чего мы получили, что у внешней коробки диагональ короче
а вот это решение все-таки (imho) не совсем хорошо: откуда следует, что площадь поверхности внутренней коробки меньше, чем площадь поверхности внешней? То есть конечно имеется такой общий факт что если одна выпуклая область содержится в другой выпуклой области, то площадь поверхности первой не больше площади поверхности второй, однако, насколько я помню, строго доказать это вовсе не так просто...

Математика для чайников 19 Сен 2009 21:20 #48

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87346
  • Thank you received: 1346
  • Karma: 78
Вах!

Каждому - своё.

Математика для чайников 19 Сен 2009 21:23 #49

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87346
  • Thank you received: 1346
  • Karma: 78
Serge_P написал(а):
То есть конечно имеется такой общий факт что если одна выпуклая область содержится в другой выпуклой области, то площадь поверхности первой не больше площади поверхности второй, однако, насколько я помню, строго доказать это вовсе не так просто...
Полагаю мы должны это принять за доказанную теорему

Иначе углубимся...

Каждому - своё.

Математика для чайников 19 Сен 2009 21:30 #50

  • PP
  • PP's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 27352
  • Thank you received: 193
  • Karma: 6
Serge_P написал(а):
а вот это решение все-таки (imho) не совсем хорошо: откуда следует, что площадь поверхности внутренней коробки меньше, чем площадь поверхности внешней?
Мне, если честно, это показалось очевидным (видно физики успели таки испортить мою мат культуру на всю жизнь
). Неужели это не легко показать?

Математика для чайников 19 Сен 2009 21:33 #51

  • PP
  • PP's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 27352
  • Thank you received: 193
  • Karma: 6
Vladimirovich написал(а):
Полагаю мы должны это принять за доказанную теорему
Кстати получается обобщение 2ух мерного случая который Вы отметили.

Математика для чайников 19 Сен 2009 22:06 #52

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
PP написал(а):
Serge_P написал(а):

а вот это решение все-таки (imho) не совсем хорошо: откуда следует, что площадь поверхности внутренней коробки меньше, чем площадь поверхности внешней?

Мне, если честно, это показалось очевидным (видно физики успели таки испортить мою мат культуру на всю жизнь
). Неужели это не легко показать?
оно конечно очевидно, но думаю что доказать не так просто (да вот, любим мы все доказывать
) Я плохо знаю выпуклый анализ, к сожалению, и не помню, как там обычно доказывают этот общий факт про выпуклые области. Кстати, этот факт про выпуклые области можно доказать вероятностным путем (Vladimirovich, помните дискуссию про парадокс Бертрана?): если провести случайную хорду во внешней области, то вероятность того, что она пересечет внутреннюю область равна
(площадь поверхности внутренней области)/(площадь поверхности внешней области),
и значит площадь поверхности внутренней области не может быть больше площади поверхности внешней области.

Математика для чайников 20 Сен 2009 17:36 #53

  • azur
  • azur's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 239
  • Thank you received: 1
  • Karma: 0
Serge_P написал(а):
оно конечно очевидно, но думаю что доказать не так просто
Не сложно если учесть, что сечение выпуклой фигуры плоскостью даст две новых фигуры, площадь поверхности каждой из которых меньше исходной. В нашем случае потребуется шесть сечений - вдоль граней внутреннего параллелепипеда ..

Математика для чайников 20 Сен 2009 20:23 #54

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
azur написал(а):
Не сложно если учесть, что сечение выпуклой фигуры плоскостью даст две новых фигуры, площадь поверхности каждой из которых меньше исходной. В нашем случае потребуется шесть сечений - вдоль граней внутреннего параллелепипеда ..
да, пожалуй для параллелипипедов это несложно. Можно еще рассмотреть, какие части внешней коробки ортогонально проецируются на грани внутренней...

Математика для чайников 24 Сен 2009 03:51 #55

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 87346
  • Thank you received: 1346
  • Karma: 78
Ну как - останавливаемся на решении PP ?
Меня так убедило.

Каждому - своё.

Математика для чайников 24 Сен 2009 11:55 #56

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
да, весьма хорошее решение!

Математика для чайников 25 Сен 2009 08:48 #57

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
Уже несколько лет я веду Математический марафон, конкурс для любителей нестандартных математических задач и головоломок.
Только что стартовал 12-й тур Марафона.
В рамках одного тура (10 задач), как правило, проводится тематический конкурс. Тематика конкурса этого тура - математика на шахматной доске. Полагаю, она близка обитателям этого форума. Пока опубликована лишь одна тематическая задачка - ММ111. Она очень простая, но последующие будут посложнее.
Ознакомиться с заданиями и правилами, а также подключиться к Марафону можно на fizmat.vspu.ru, dxdy.ru/topic16091.html или e-science.ru/forum/index.php?s=2922521d0...howtopic=11477&st=40

Милости прошу к нашему шабашу!


С уважением, ведущий Математического марафона, В.Лецко
Last Edit: 24 Март 2015 15:51 by Vladimirovich.

Математика для чайников 25 Сен 2009 08:51 #58

  • Quantrinas
  • Quantrinas's Avatar
  • OFFLINE
  • Физик
  • Posts: 12016
  • Thank you received: 4
  • Karma: 0
Спасибо. Сходим, посмотрим. Что понравится - сюда перетащим.

Математика для чайников 25 Сен 2009 09:23 #59

  • val
  • val's Avatar
  • OFFLINE
  • Десятник
  • Posts: 23
  • Karma: 0
Quantrinas написал(а):
Сходим, посмотрим. Что понравится - сюда перетащим.
Пожалуйста. Только, если будете перетаскивать конкурсные задачки, просьба, обеспечить со стороны администрации их защиту от обсуждения.
Что же касается задач, утративших статус конкурсных, то тут никаких ограничений. Более того, для затравки я сам предложу шахматную задачку из одного из прошлых туров:

ММ48
Игоговую таблицу однокругового шахматного турнира будем называть строгой, если никакие два участника не имеют поровну очков. Турнир со строгой таблицей также будем называть строгим.

1) Гросмейстер Грустин Попалов выиграл в строгом турнире больше партий, чем каждый из других участников. На каком месте мог он оказаться в итоге, если в турнире участвовало n шахматистов?

2) Гроссмейстер Любомир Миролюбоевич шесть лет подряд играл в однокруговых рождественских турнирах в городе Зейк-ан-Вее. Каждый год он завершал все свои партии вничью, но год от года занимал все более высокое место. В каждом турнире было n участников и все они были строгие. При каком наименьшем n возможна такая ситуация?

3) Обозначим через d(n) количество мест, которые может занять Миролюбоевич, сыграв вничью, все партии правильного турнира при n участниках. Найти явное выражение для d(n).

Математика для чайников 25 Сен 2009 10:43 #60

d(n)=n-2*[(n+2)/3]
Go LoDo More!
Moderators: Grigoriy
Рейтинг@Mail.ru

Научно-шахматный клуб КвантоФорум