игра эта называется болгарский солитер (Bulgarian solitaire). Гарднер о ней писал в Scientific American, но, вроде бы, впервые эта задачка появилась в сборнике олимпиадных задачек [Васильев, Гутенмахер, Раббот, Тоом, Заочные математические олимпиады, задача 6.10]
В свое время Григорий где-то на КС давал очень изящную задачу, но я не могу ее найти там.
(Григорий, поправьте если что...)
На окружности расположены случайно N шариков, размерами которых можно пренебречь. Они движутся с одинаковыми скоростями либо по, либо против часовой стрелки. Столкновения можно считать абсолютно упругими.
Доказать, что движение периодическое.
очень хорошая задачка, только слово случайно там, пожалуй, лишнее. Просто имеется в виду, что для любой начальной конфигурации движение периодическое...
Видимо, какая-то периодичность будет даже при разных массах шариков при бесконечном времени наблюдения. Хотя не факт, что повторяться будет начальное положение...
Но это из общих соображений.
Внук в гостях у дедушки хочет съесть яйцо вкрутую.
Дедушка сказал, что яйцо нужно варить РОВНО ДЕВЯТЬ МИНУТ.
Потом поставил на стол пару песочных часов - на СЕМЬ и на ЧЕТЫРЕ минуты и сказал, что этого достаточно чтобы точно измерить время.
Как он это сделал?
Несколько думал....
Первая попытка неоптимальной получилась у меня, если честно
Оказывается яйцо можно одновременно с первым запуском бросать.
Я не сообразил так сразу
Правильно, вот схема:
7 4
| |
3 0-4
| |
0-7 1
| |
6-1 0
|
0
То есть - запускаем обе пары часов, через 4 минуты опять переворачиваем малые часы, через 3 минуты (всего 7 после старта) большие часы истекут, а на малых останется минута, запускаем опять большие часы, через минуту (всего 8 после старта) малые часы истекут, а на больших будет 6 минут, переворачиваем большие часы, ещё через минуту они истекут, а это будет точно 9 минут.
P.S. Для соблюдения рецепта часы запускать только с началом кипения воды.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами а+с и b+d, и в нём - 2 прямоугольника со сторонами а b, c d соответственно примыкающие к противоположным вершинам. Тогда слева - отношение площади большого прямоугольника к его периметру, справа - сумма отношений для меньших. Если бы меньшие были бы четвертущки - было бы равенство, а так вроде видно(я подробно не проводил) что если линии двигать от середины, то сумма получается меньшей.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами а+с и b+d, и в нём - 2 прямоугольника со сторонами а b, c d соответственно примыкающие к противоположным вершинам. Тогда слева - отношение площади большого прямоугольника к его периметру, справа - сумма отношений для меньших. Если бы меньшие были бы четвертущки - было бы равенство, а так вроде видно(я подробно не проводил) что если линии двигать от середины, то сумма получается меньшей.
ух ты!.. да, похоже, это работает! Но я имел в виду другое решение, наглядное, но не геометрическое
Работает, но видимо не совсем - без счёта не обойтись похоже - ведь если придвигать линии к вершине - первый член справа стремится к левой стороне т е там видимо квадратичная зависимость. Я собственно искал геометрическое представление в соответствии с Вашей наводкой
доказать, что для любых положительных чисел a,b,c,d выполнено неравенство
(a+c)(b+d)/(a+b+c+d) ab/(a+b) + cd/(c+d)
Вот решение задачки про неравенство (выделите мышкой):
рассмотрим квадрат NKLM и представим, что его стороны NK, NM, KL, LM - это резисторы, имеющие сопротивления a, b, c, d соответственно. Тогда выражение в левой части - это сопротивление между точками N и L. Теперь закоротим точки K и M (соединим их в одну); ясно, что в результате такой операции сопротивление между точками N и L не увеличится (представьте, что раньше между точками K и M был провод с бесконечным сопротивлением, а мы его заменили на провод с сопротивлением, равным нулю). Но если соединить точки K и M в одну, то тогда сопротивление между точками N и L - это как раз выражение в правой части.
Serge_P, можно ли считать, что определение метрики на (топологическом? о точных и достаточных условиях не уверен) пространстве индуцирует меру и наоборот?
Метрика и мера никак не связаны. Существует очень важная связь между топологие и мерой на локально компактных группах - - м б определена т н мера Хаара, инвариантная относительно переносов
