Grigoriy написал(а):+1

Добавлю еще, что в любом метрическом пространстве для любого a0 можно определить меру Хаусдорфа размерности a. Но какого-либо естественного способа выбрать правильное a в общем случае нет.

Если же просто есть измеримое пространство (пусть даже и с топологией), какого-либо канонического способа ввести там метрику не имеется.

Quantrinas написал(а):Я про доказательство неравенства

Vladimirovich написал(а):на самом деле, есть связь (практически, взаимно-однозначное соответствие) между идеальными электрическими сетями и обратимыми цепями Маркова. Например, сопротивление между точками a и b может быть выражено через вероятность, выйдя из точки a, достичь точку b раньше, чем вернуться в точку a. Так что, это не только физика, но и математика

Я ниасилил эту задачу сам. Покидайте в меня камнями
Эта задача разрушает мозг реально


Сразу скажу - замена равенства на всякое не катит.

Ежели кто решит, сразу не палите решение. Дайте всем помучаться

Давать ответ?

Давай, черт того побрал!

Serge_P написал(а):На самом деле невольно думал лишь о метрическом пространстве топологической размерности 1 (вроде кривой Урысона). Там метрика не задаёт ли базу для некоторой меры вроде Лебега и т.п.?

Vladimirovich написал(а):Последняя единица должна быть восклицательным знаком

Хайдук написал(а):Честно говоря, не совсем Вас понял. Что означает метрика задает базу для некоторой меры? Все-таки, одномерная мера Лебега строится через интервалы, а на обобщенной кривой понятие интервала (а главное, его длины) определить весьма затруднительно. Собственно, есть примеры обобщенных кривых (та же Menger sponge) у которых метрическая размерность строго больше топологической, а поэтому правильная мера там - это мера Хаусдорфа соответствующей размерности.

Отредактировано Serge_P (2009-11-24 02:23:08)

P.S. Собственно говоря, насколько я еще помню эти вещи, никто нам не гарантирует что даже в своей размерности мера Хаусдорфа будет нетривиальной...

Serge_P написал(а):Я вполне допускаю, что мои спекуляции скорее некорректные , но тем не менее не хотел терять общности. Предположил (как вроде следует из Ваших слов), что универсальная кривая Урысона неметризуема и потому к топологической размерности 1 добавил и наличие метрики. В конце концов действительная прямая не является ли таким пространством? Расстояния на ней как бы совпадают с длиной интервалов и вроде выходит, что метрика не безразлична к мере Лебега (не она ли есть тривиальная мера Хаусдорфа?) в этом конкретном случае . А иначе я понял, что у любой фрактальной размерности своя мера, а своей, внутренней метрики у этих размерностей может и не быть, нет?

azur написал(а):YESSS

Хайдук написал(а):Хайдук, я, все-таки, не очень понимаю, к какому результату Вы хотите придти. Универсальная кривая Урысона - это имеется в виду губка Менгера? Но это просто подмножество трехмерного пространства, которое порождает там (например) Евклидову метрику. Если же мы говорим о произвольной кривой Урысона, то
(а) какого-то априори естественного способа ввести там метрику нет, все зависит от конкретных обстоятельств;
(б) даже если такую метрику там ввели, то мера Лебега (как я понимаю, одномерная мера Хаусдорфа, Вы ее имели в виду?) там не обязана быть невырожденной
(в) даже мера Хаусдорфа которая соответствует размерности Хаусдорфа не обязана быть невырожденной
(г) и вообще, кривая в принципе может быть разделена на куски имеющие разную метрическую размерность.


Также не понял, почему внутренней метрики у этих размерностей может и не быть (метрика у размерностей?.. имеется в виду метрика на самом фрактале?). Фрактальная размерность - она же обычно и метрическая, т.е., определяется через метрику.

azur написал(а):Вот ведь, блин. Круто!

Да, с факториалом это придумано хорохо. Мне бы и в голову не пришло.
Азур, Вы сами додумались или знали раньше?

P.S. Прочитал свой вопрос и понял, что лучший ответ на него - раньше додумался.

Serge_P, я понимаю, что тут много тонкостей и точных условий, о которых не догадываюсь . По началу меня заинтересовало, что метрика на действительной прямой как-бы не безразлична к обычной мере Лебега на той же прямой (расстояния между точками совпадают с длиной отрезка/интервала между точками). Я не уверен что такое невырожденная или нетривиальная мера. Должно быть, и другие меры можно определить на действительной прямой, скажем, вероятностную и т.д.

Теперь уже вроде четко понимаю, что фрактальная размерность определяется в пределах метрического пространства. Скажем, для кривой Коха Евклидовая плоскость и есть то самое метрическое пространство. Про длину кривой Коха имеет смысл говорить в терминах её (кривой Коха) меры Хаусдорфа. Полагаю, что не бывает точного смысла говорить о другой метрике на самой кривой Коха кроме метрики объемлющей Евклидовой плоскости

Хайдук написал(а):Вырожденная мера в данном контексте - это такая мера, которая либо равна нулю на всех измеримых множествах, либо не является -конечной (т.е., пространство нельзя разбить на счетное число подмножеств с конечной мерой). Если d - это Хаусдорфова размерность пространства, то (насколько я помню) для всех d, -мера Хаусдорфа не будет -конечной, для всех d она будет равна нулю, ну а для =d все может быть...

Согласен, что для кривой Коха метрика берется из плоскости. Однако, думаю, что про длину кривой Коха имеет смысл говорить только то, что она равна бесконечности Все-таки, длина - это традиционно одномерная мера. А вот чтобы определить хорошую меру на измеримых подмножествах этой кривой - тут надо смотреть. Для начала надо попробовать меру Хаусдорфа размерности (ln 4)/(ln 3), но я, честно говоря, не знаю, не будет ли она вырождаться (все-таки, геометрия - это не моя специальность ). Ежели не success, то надо искать правильную dimension function (т.е., в определении меры Хаусдорфа вместо просто степени брать нечто более нетривиальное).

В треугольник АВС вписана окружность. К - точка её касания стороны АС, О - её центр, D - середина стороны АС.
Доказать, что прямая DO пересекает отрезок BK в его середине.
Задача довольно унылая, но предложенное в книжке решение мне понравилось.

Отредактировано Grigoriy (2009-12-16 17:12:53)

Grigoriy написал(а):Честно, не понял.
Берем отрезок АС с его серединой D. В любой точке К на отрезке АС можно строить окружность так, чтобы АС была касательной к этой окружности в точке К. В том числе можно выбрать К так, что DO вообще не пересекает АК.

Азур, Вы забыли что такое вписаннная окружность. Эта не та, что внутри, а та, что касается всех сторон.

Grigoriy написал(а):имеется в виду отрезок BK?

Grigoriy написал(а):Не, я не забыл ..

На отрезке АС в любой точке К (К#A, K#C) можно построить касающуюся окружность так, чтобы она стала вписанной для некоего треугольника АВС.
Если К принадлежит AD, то OD не пересекает AK совсем ..

Serge_P написал(а):Конечно. Что за болван! Сейчас поправлю.

Grigoriy написал(а):Проверил, что получается решить методом грубой силы. Т.е., можно считать без ограничения общности, что окружность имеет радиус 1; тогда поместим центр (точку О) в (0,1), точку К в (0,0), точки А и С в (-(a-r),0) и в (a+r,0), тогда точка D имеет координаты (r,0). Пять минут считаем, получаем координаты точки В:

(-2r/(a²-r²-1), 2+2/(a²-r²-1)),

и отсюда все следует. Но вот как это решить красиво - не знаю...

Там не столько красиво, сколько (имхо), виртуозно
Именно, берём точку L, диаметрально противоположную К. Прямая BL пересекает АС в точке Е. Надо доказать, что КД = DЕ, (Вам я думаю понятно) или что тоже, АЕ = CК.
Рассмотрим гомотетию с центром в B, переводящую вписанную окружность во вневписанную, касающуюся АС. Тогда L перейдёт в Е.
Теперь получаем, что АК + АE = CK + CE ( суммы есть расстояние между точками касания этих окружностей с прямыми ВА и ВС соответственно, которые очевидно равны)
Отсюда получаем искомое.
Я так не умею

Отредактировано Grigoriy (2009-12-17 05:50:50)

Без картинки уже тяжело воспринять

Grigoriy написал(а):я тоже

Vladimirovich написал(а):но если картинку нарисовать - то все очевидно

задачка на скорость: как построить треугольник по двум сторонам, и медиане, проведенной к третьей?

Это действительно совсем просто.
Попробую, тоже на скорость, если кто не знает, одну из моих любимых задач(кстати, я был страшно удивлён, что drowsy её не знал).
На плоскости даны 4 прямых общего положения - т е нет параллельных и нет пересечения более чем 2-х прямых в одной точке. По каждой движется человек с постоянной скоростью( у каждого своя) из бесконечности в бесконечность. 1-ый и 2-ой встречаются со всеми другими. Доказать что и 3-ий встречается с 4-м.
Нормальная скорость решения для профи(математик, физик, инженер) - 30 сек
Время пошло!