Странно, что здесь до сих пор не было одной из самых красивых элементарных задач - леммы о сватовстве. Математики все конечно знают
Пусть есть некоторое конечное(видимо это несущественно) число юношей и девушек. Некоторые юноши дружат с некоторыми девушками. Известно, что для любой группы из К (К - любое) юношей есть не менее К девушек, с которыми дружит кто-то из группы. Доказать, что каждого юношу можно женить на девушке, с которой он дружит(брак моногамный
Известно, что для любой группы из К (К - любое) юношей есть не менее К девушек, с которыми дружит кто-то из группы. Доказать, что каждого юношу можно женить на девушке, с которой он дружит(брак моногамный ).
Что-то я опять не так как все понимаю условие:
Один юноша может (по условию он же кто-то из группы) дружить с К+1 девушкАМИ, а остальные юноши дружат с той самой (К+1)-й и только с ней? (Чувствую, что тут как в той задаче о шестизначных, которые делятся на 7, что-то я не учитываю). З павагай
International mathematical congresses: An illustrated history 1893-1986 lib.homelinux.org/_djvu/M_Mathematics/Al...story%201893-1986%20 Albers D.J., Alexanderson G.L., Reid C. International mathematical congresses.. An illustrated history 1893-1986 (2ed.,%20Springer,%201987)(ISBN%200387964797)(600dpi)(T)(70s)_M_.djvu
По кругу написан набор из 1 и -1 длины 2**к. Из него получаем другой, умножая каждое число на следующее за ним. Доказать, что после нескольких повторений получим набор из одних единиц.
У Григория с операторами конечно изящное решение.
У меня другой метод нарисовался. Не изящный
1. Мы можем рассмотреть последовательность только с одной -1. (1111111-1) Назовем G|k ( конечно это не функция Грина
) , где к-позиция -1 в кольце
Любую другую последовательность мы получаем умножением последовательностей типа G|i.
Оператор A(
G|i ) =
A (G|i) )
2. Предположим, что (A^n)(G|n) = Еn, где En - последовательность из n единиц, а n=2^k
На последнем шаге последовательность будет состоять полностью из -1
Это легко проверяется для k=1,2,3.....
Для определенности поставим -1 в хвост
3. Рассмотрим последовательность G|2*n
4. На шаге n-1 будем иметь две группы по n элементов.
(111...1)(-1 -1 -1 -1 .... -1)
Заметим, что элемент n+1 может стать -1 только на этом последнем шаге.
5. Шаг n дает
(111...1 -1)(111...1 -1)
т.е две последовательности G|n. Независимые, что важно, на следующих n-1 шагах.
6. По исходному предположению на шаге 2*n-1 обе последовательности станут состоять из -1
(-1 -1 -1 -1 .... -1)(-1 -1 -1 -1 .... -1)
7. И на шаге 2*n все становится 1.
Ладья посещает каждую клетку шахматной доски ровно один раз и возвращается на исходную позицию. На каждом ходу она переходит на соседнюю клетку. Маршрут ладьи замкнут и представляет собой (невыпуклый) многоугольник без самопересечений (имеется в виду что маршрут проходит через центры клеток). Найти все возможные значения, которые может принимать площадь этого многоугольника.
Ответ: 31.
Это сразу получается по формуле Пика (если предположить, что точки решетки находятся в центрах клеток), мы ее здесь уже обсуждали, см. quantoforum.ru/mathematics/60-matematika...ikov?start=720#81606
Можно решить и без этой формулы. Зафиксируем какое-нибудь направление обхода, скажем, по часовой стрелке (т.е., когда ладья находится на а1, то следующий ход будет на а2). Заметим, что когда ладья проходит клетку напрямую, то она отсекает для нашей фигуры площадь 1/2. Когда поворачивает направо - то 1/4, а когда налево - то 3/4. Ответ теперь получается из того, что
(количество поворотов направо)-(количество поворотов налево)=4.
Задачка, связанная с вероятностью и динамическими системами. Не совсем, правда, для чайников
Рассмотрим две функции f(x)=3x, и g(x)=3x-2. Далее, действуем так:
1. Берем некоторую точку x из отрезка [0,1].
2. Положим x[0]=x.
3. Потом повторяем следующую процедуру бесконечное число раз: независимо от предистории, с вероятностью 1/2 положим x[k+1]=f(x[k]), и с вероятностью 1/2, x[k+1]=g(x[k]).
Пусть C(x) - это вероятность того, что последовательность x[0], x[1], x[2],... (при x[0]=x) стремится к +. Вопрос: как называется функция C(x)?
Вроде бы кусочно постоянная функция по степеням двойки получается. Правда я никак не воспользовался наводкой про динамические системы. Будем проверять.
Вроде бы кусочно постоянная функция по степеням двойки получается. Правда я никак не воспользовался наводкой про динамические системы. Будем проверять.
Тут получается ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BD...BD%D0%B8%D1%86%D0%B0 Канторова лестница (из общих соображений еще нетрудно понять, что искомая функция должна быть непрерывна). Мне эта задачка нравится тем, что такой странный объект, как Канторова лестница, происходит из простой модели.
В 1910 году парень из Флориды Клиффорд Адамс увидел в местной газете задачку: нужно было расположить числа от 1 до 19 в клетки шестиугольника со стороной три так, чтобы их суммы по любым прямым линиям была равны, - другими словами, нужно было найти магический гексагон. Не имея специального образования Адамс начал искать решение перебором, используя набор из керамических плиток с числами. Всё свободное от работы грузчиком время он отдавал поиску, который продолжался сорок семь лет. Наконец, в 1957 году он нашёл решение и записал его второпях на клочке бумаги, который тут же... потерял. В попытках воспроизвести решение прошло ещё пять лет. В декабре 1962 года нашлась та самая бумажка. И да, Адамс нашёл первый известный магический гексагон.
via eblamot.ru
Как вывернуть сферу наизнанку?
+ большой
А если как в известном примере с лестницей- в зависимости от точки зрения (над лестницей или под..)
Мысленно. Но тогда, что главное - не процесс, а результат? З павагай
Утка плавает в круглом пруду и ей надо выбраться на берег. Роль утки играет красный кружок. На берегу её ждёт лиса (синий кружок), она постоянно бегает вокруг озера, держась на максимально близком расстоянии от утки. Обе могут двигаться в любом направлении, но лиса передвигается в 4 раза быстрее утки.
Какое то время назад у нас обсуждалась подобная задача
Да, как раз обсуждали примерно год назад (вот quantoforum.ru/mathematics/60-matematika...-chajnikov?start=270 здесь и раньше). Там мы пришли к выводу, что критическое отношение скоростей - это приблизительно 4.6, т.е., в данном случае утка может добраться до берега (не уверен, правда, что это ее спасет
). Но с практическим воплощением у меня получилось далеко не с первого раза...
In the above magic hexagon of order n=3, each line (those of lengths 3, 4, and 5) adds up to 38.
It was discovered independently by Ernst von Haselberg in 1887 (Bauch 1990, Hemme 1990), W. Radcliffe in 1895 (Tapson 1987, Hemme 1990, Heinz), H. Lulli (Hendricks, Heinz), Martin Khl in 1940 (Gardner 1963, 1984; Honsberger 1973), Clifford W. Adams, who worked on the problem from 1910 to 1957 (Gardner 1963, 1984; Honsberger 1973), and Vickers (1958; Trigg 1964).
Воспоминания о Мехмате - Шафаревич, Арнольд, Новиков ...
Большое спасибо за ссылку! Заинтересовался задачами от В.И.Арнольда
Бикфордов шнур прогорает от одного конца до другого за час, но горит неравномерно:
за полчаса огонь дойдёт не до середины шнура. Имея два таких (по-разному
неравномерных) шнура и не располагая часами, отмерить 45 минут.
Основано на предположении, что в другом направлении шнур горит неравномерно зеркальным образом...
Интересно, откуда вообще берутся такие задачки на поджигание?
ОК, вот мое решение:
поджечь первый шнур с 2-х концов, в второй - с одного. Когда первый полностью сгорит, поджечь второй с друго конца. 45 минут будет, когда второй шнур полность сгорит.
На самом деле неочевидно например, что подожженный с другого конца шнур сгорит тоже за час.
Очевидно. Единственное допущение - что скорость горения в обоих направлениях одинакова(в каждой точке). Но оно совершенно естественно.
На самом же деле естественно рассматривать даже не скорость, а некое обобщение - что любой бесконечно малый кусок сгорает за одно время будучи подожжён с любого конца. Т е выражаясь более формально, предел скорости горения слева когда переменная точка стремится справа к данной равен скорости горения в данной точке справа.
Единственное допущение - что скорость горения в обоих направлениях одинакова(в каждой точке). Но оно совершенно естественно.
Оно конечно, совершенно естественно, и даже без него видимо не было б задачки.
Но если рассмотреть процесс с точки зрения физики, то представляется немного иная картина. Естественно предположить, что более быстрые участки горения имеют более высокую температуру - там процесс протекает более интенсивно. Так вот, поджигать следующий участок шнура лучше от более горячего кусочка.
Дейтвительно простая. Первым ходом узнаем сумму коеффициентов А=а0+а1+... (х=1).
Вторым ходом полагаем х=1/А. Тогда целая часть - свободный член а0, отбрасываем ее и умножаем на А, целая часть результата - а1, и т.д. пока не получим целого числа.
