Случилось так, что соратник Ландау и его соавтор по десятитомному курсу по теоретической физике академик Евгений Михайлович Лифшиц в 1959 году помогал выпускнику школы Боре Горобцу готовиться к поступлению в один из ведущих физических вузов Москвы. На письменном экзамене по математике в Московском физико-математическом институте предлагалась следующая задача:
В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, с углом C = 90°, стороной AB = s. Боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы , , . Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.
Будущий профессор не справился тогда с задачей, но запомнил ее условие и позже сообщил Евгению Михайловичу. Тот, повозившись с задачей в присутствии ученика, не смог решить ее сходу и забрал с собой домой, а вечером позвонил и сообщил, что, не одолев ее в течение часа, предложил эту задачу Льву Давидовичу. Ландау обожал решать задачи, вызывавшие затруднения у других. Вскоре он перезвонил Лифшицу и, довольный, сказал: Задачу решил. Решал ровно час. Позвонил Зельдовичу, теперь решает он. Поясним: Яков Борисович Зельдович - известный ученый, считавший себя учеником Ландау, был в те годы главным физиком-теоретиком в сверхсекретном Советском Атомном проекте (о чем, конечно, тогда мало кто знал). Примерно через час Е. М. Лифшиц позвонил снова и сообщил: только что ему позвонил Зельдович и не без гордости сказал: Решил я вашу задачу. За сорок минут решил!
А за какое время справитесь с этой задачей вы?
Мой результат - 15 минут (но тут повезло: способ, которым я часто пробую решать заковыристые геометрические задачки, как раз хорошо подошел
1) До высказывания мы имели три возможности мм, мд, дд их вероятность была 0.25, 0.5, 0.25 после того, как мы узнали, что один мальчик имеется, осталось мм и мд. P(мм) = 1/3?
2) Намекаете что если мм, то более вероятно, что один из мальчиков родился в Понедельник чем если мд?
Для Владимировича - логика следующая:
Возможны случаи м-д - мальчик в понедельник, девочка любой день - 7 случаев.
д-м мальчик в понедельник, девочка любой день - 7 случаев.
и 13 случаев м-м когда один из них родился в понедельник
13/(13+7+7) = 13/27
Получается, что можно сказать, мальчик родился в какой-нибудь брдвал, и вероятность повышается?
Смотрите на это так. В урне есть одинаковое количество (очень большое) белых и черных шаров. Они перенумерованы цифрами 1,...,7. Вы вытаскиваете два шара случайным образом. Изначально есть 49 возможных комбинаций для каждого типа ЧЧ, БЧ, ЧБ, ББ. Дополнительная информация отсекает кусочки этого пространства равновероятных возможных событий. Так, что остается только 27 равновероятных возможных начальных событий позволяющих сказать, что один из шаров черный и его номер 1. При этом 13 таких событий приходится на тип ЧЧ.
Логику, приводящую к 13/27 я понял, но она меня пока не убеждает - неясно, правилен ли выбор вероятностного пр-ва.
Да, тут ответ сильно зависит от того, как понимать задачу. Сначала о первой. Если человек просто выбрал наугад ребёнка, и проверил его пол, то второй будет мальчик с вероятностью 1/2. Если же мы рассматриваем только такие пары, в которых не меньше одного мальчика, то ответ 1/3.
Теперь с Понедельником. Если он просто у ребёнка посмотрел в в документе когда он родился (и нам сказал), то вероятность это никак не меняет. А если же рассматривать только такие пары, где есть хотя бы один мальчик, рождённый в понедельник, то ответ 13/27.
Как правильно заметил Григорий, тут нужно именно зафиксировать вероятностное пространство чётко, иначе не понятно, о чём разговор вообще.
В любом случае это очень неожиданный результат, что добавление Понедельника, с полом никак не связанного, меняет ответ.
Пусть S - конечное множество точек на плоскости, такое, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Для каждого выпуклого многоугольника P, чьи вершины лежат в S, обозначим через a(P) количество его вершин, и через b(P) количество точек из S лежащих вне P. Отрезок, точка, и пустое множество тоже считаются выпуклыми многоугольниками, с 2, 1, 0 вершин соответственно. Докажите, что для любого комплексного числа z
где сумма берется по всем выпуклым многоугольникам с вершинами в S.
