Найдите все натуральные числа n, обладающие таким свойством: множество {n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5} может быть разделено на две части так, что произведение чисел из одной части равно произведению чисел из другой.
Если в этом множестве только одно число делится на 5, то произведение одной части делится на 5, а другой-нет. Значит, n кратно 5. Тогда произведение любых двух чисел меньше произведения остальных четырёх, значит в каждой части должно быть по три числа. Но n*(n+3)*(n+4)(n+1)*(n+2)*(n+5). Значит, n и n+5 попадают в одну группу, а произведение другой не делится на 5. Следовательно, решений нет.
сли в этом множестве только одно число делится на 5, то произведение одной части делится на 5, а другой-нет. Значит, n кратно 5. Тогда произведение любых двух чисел меньше произведения остальных четырёх, значит в каждой части должно быть по три числа. Но n*(n+3)*(n+4)(n+1)*(n+2)*(n+5). Значит, n и n+5 попадают в одну группу, а произведение другой не делится на 5. Следовательно, решений нет.
Забавно. Serge_P, куда спрятали хоть одно такое n?
Если в этом множестве только одно число делится на 5, то произведение одной части делится на 5, а другой-нет. Значит, n кратно 5. Тогда произведение любых двух чисел меньше произведения остальных четырёх, значит в каждой части должно быть по три числа. Но n*(n+3)*(n+4)(n+1)*(n+2)*(n+5). Значит, n и n+5 попадают в одну группу, а произведение другой не делится на 5. Следовательно, решений нет.
во-первых, ясно что у чисел {n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5} (удовлетворяющих условию задачи) не может быть других простых делителей кроме 2,3,5 (если у одного из них есть простой делитель p5, то другие не делятся на p). Далее, рассмотрим три последовательных нечетных числа, которые там есть. Одно и только одно из них делится на 3, и не более одного из них делится на 5. Значит, (по крайней мере) одно из этих последовательных нечетных чисел вообще не имеет простых делителей, и, следовательно, равно 1. Но {1,2,3,4,5,6}, очевидно, нельзя разделить на 2 группы нужным образом, так как только одно из этих чисел делится на 5.
Губернатор некой области господин Чичов решил посадить некоторую часть местных либерастов. В ответ на возмущение правозаshitных организаций губернатор успокоил их. Он сказал, что среди либерастов 99% евреев, сажать будут только евреев и в результате среди либерастов станет 98% евреев. Какой процент либерастов посадит господин Чичов?
PP или Сергей, а можно решение проблемы о сравнении приизведений логарифмов (пост 624).
Эквивалентно сравнению log3(4)*log5(6)*...log79(80) и 2. log3(4)*log5(6)*...log79(80)log4(5)*log6(7)*...log80(81), log3(4)*log4(5)*...log80(81)=log3(81)=4. Т. е. log3(4)*log5(6)*...log79(80)2. Значит, первое выражение больше.
Все узлы двумерной целочисленной решетки покрашены в красный, синий, или зеленый цвета. Известно также что при раскраске каждый из этих цветов был использован хотя бы один раз. Докажите, что существует прямоугольный треугольник с красной, синей, и зеленой вершинами.
Задача звучит очень завлекательно. К сожалению, найденное мной решение весьма уныло. А должно существовать красивое, эффектное решение.
Моё решение вкратце такое:
Существует прямая на которой есть тоцки 2-х цветов. Не ограничивая общности, можно считать что она горизонтальная и на ней есть 2 точки синяя и зелёная. Дальше 2 случая - красная точка есть только на той же прямой или нет. Если на той же, то понятно сразу, что вертикальные прямые над синей и зелёной точками целиком того же цвета(иначе задача сразу решается), Если нет, то сначала видим, что проекции красной точки на эти вертикальные прямые не м б красного цвета( те могут, но тогда снова сразу строится искомый треугольник), Но не могут они быть и другого цвета, чем точка внизу - т е опять обе вертикальные прямые одного цвета.. А тогда выпускаемиз красной точки лучи по диагоналям - и точки пересечения с вертикальными прямымии красная точка дают искомый треугольник.
Маразм
Существует прямая на которой есть тоцки 2-х цветов. Не ограничивая общности, можно считать что она горизонтальная и на ней есть 2 точки синяя и зелёная. Дальше 2 случая - красная точка есть только на той же прямой или нет. Если на той же, то понятно сразу, что вертикальные прямые над синей и зелёной точками целиком того же цвета(иначе задача сразу решается), Если нет, то сначала видим, что проекции красной точки на эти вертикальные прямые не м б красного цвета( те могут, но тогда снова сразу строится искомый треугольник), Но не могут они быть и другого цвета, чем точка внизу - т е опять обе вертикальные прямые одного цвета.. А тогда выпускаемиз красной точки лучи по диагоналям - и точки пересечения с вертикальными прямымии красная точка дают искомый треугольник.
У меня примерно такое же решение получилось. Может быть и есть решение покрасивше, но я его не знаю...
По крайней мере, одна изюминка в этой задаче есть: надо не забыть, что катеты треугольника не обязаны быть вертикальными/горизонтальными.
Предположим такого треугольника нет.
Возьмем треугольник (0,0) (1,0) (0,1). Без ограничения общности предположим, что там нет цвета номер С.
Далее предположим, что точки (0,0) (1,0) разного цвета (А и B условно) . Это вроде должно перестановками достигаться без влияние на существование...
Тогда (0, N) и (1, N) НЕ цвета три.
Далее (2, 0) также цвета А или В, иначе треугольник мгновенно строится.
Тогда (2, N) также не цвета C.
И т.д.
Получаем, что точка (M,N ) не может быть цвета С. Противоречие.
( Слаб я стал в смысле строгости доказательств, мож чего упустил
Т.е., что будет, если (0,0) и (0,1) - цвета А, (1,0), (2,0) - цвета В, и (3,0) - цвета С?
Надо лемму доказать, что вертикаль должна состоять из одного цвета. ( ну это уже Григорий упоминал)
Тогда вертикаль 0 - цвета А, вертикали 1 и 2 - цвета B
А тогда (0,1) (2,2) (3,0) - треугольник
В 2-х одинковых бумажных кругах художнк нарисовал 2-х однинаковых драконов. Но расположены они по разному. В одном глаз дракона(это точка) совпадает с центром круга, а в другом - нет.
Доказать, что можно разрезать 2-ой круг на несколько частей, потом сложить их заново, и при этом получится тот же круг, в нём тот же дракон - но глаз дракона будет совпадать с центром круга.
В 2-х одинковых бумажных кругах художнк нарисовал 2-х однинаковых драконов. Но расположены они по разному. В одном глаз дракона(это точка) совпадает с центром круга, а в другом - нет.
Доказать, что можно разрезать 2-ой круг на несколько частей, потом сложить их заново, и при этом получится тот же круг, в нём тот же дракон - но глаз дракона будет совпадать с центром круга.
как-то даже слишком просто получается, достаточно на 2 части разрезать. Или есть какой-то подвох, которого я не заметил?..
Нет, несколько сказано для отвода глаз от простого решения
Но простое-то оно простое, а заметить не так легко. Я помнится думал часа 2. Тупой
Там трудность имхо психологическая - трудно представить, что круг вообще можно разрезать на несколько частей, сложить их по друому и получить круг. Как так?!
А это при всех размерах и формах дракона можно?
У меня есть только мысль, что дракона надо заключить в окружность и повернуть, так чтобы глаз на месте оказался.
