Времени в последние дни совсем мало, но с этой задачей мне кажется есть противоречие. Пусть круг радиуса 1, а дракон это отрезок длинной 2 с глазом на конце. Ну и как такой отрезок может уместиться в круге радиуса 1, чтобы глаз был по центру?
УПС, оказывается даже читать условие разучился.
Парочка простых классических задачек, которые упоминаются еще у Перельмана (того, который Яков Исидорович):
1. Как разделить эту фигуру (из полукруга вырезан полукруг вдвое меньшего радиуса и приставлен с другой стороны) одним криволинейным разрезом на две равные части?
2. Некий раджа, умирая, оставил свои брильянты сыновьям. В завещании его дети прочитали: старший сын получает 1 брильянт и седьмую долю всех остальных; второй сын получает 2 брильянта и седьмую долю всех остальных; третий сын - 3 брильянта и седьмую долю всех остальных; четвертый - 4 брильянта и седьмую долю всех остальных и т. д. Таким образом наследство было разделено между сыновьями без остатка. Сколько сыновей было у раджи и сколько он оставил брильянтов?
Имеется в виду, конечно, что брильянты на части распиливать нельзя. Да, у раджи было, конечно, много сыновей, но в разделе имущества принимают участие только законные наследники, а их было точно меньше двадцати
Ну, это действительно просто(1-ая) - надо только задуматься на секунду
2-ая вроде ясно, но скучно(а может я просто помню
)
Напомню классику, и имхо поразительной красоты. Здесь по-моему не рассказывал, хотя математики наверняка знают, но тут же не только ...
На плоскости нарисована фигура площадью больше 1. Доказать. что в ней существуют 2 точки А и В такие, что вектор АВ - целый(т е его координаты - целые числа)
Напомню классику, и имхо поразительной красоты. Здесь по-моему не рассказывал, хотя математики наверняка знают, но тут же не только ...
На плоскости нарисована фигура площадью больше 1. Доказать. что в ней существуют 2 точки А и В такие, что вектор АВ - целый(т е его координаты - целые числа)
Да, это очень красивая задачка. В моем списке самых красивых задачек она явно входит в первую тройку.
Кстати, Сергей, может я Вас не понял? Я собственно написал на секунду задуматься имея ввиду равные по площади. Вы это имели ввиду или дествительно равные?
Совмещаем драконов, а потом вырезаем 2-ой круг по линии пересечения кругов(АБЦ на рисунке), и перекладываем внешнюю часть 2-ого круга чтобы она накрыла внешнюю часть 1-ого(они очевидно равны). И получается требуемое.
Кстати, Сергей, может я Вас не понял? Я собственно написал на секунду задуматься имея ввиду равные по площади. Вы это имели ввиду или дествительно равные?
действительно равные, т.е., одну часть можно движением наложить на другую
Кстати, к задаче о радже...
У Гарднера была аналогичная задача, допускающая суперизящное решение
Пять матросов и мартышка потерпели кораблекрушение и высадились на необитаемом острове. Весь первый день они занимались сбором кокосовых орехов. Вечером они сложили все орехи в кучу и легли спать.
Ночью, когда все заснули, один из матросов встал. Он подумал, что утром при разделе орехов может вспыхнуть ссора, и решил взять свою долю орехов немедля. Поэтому он разделил все кокосовые орехи на пять равных кучек, а один оставшийся орех отдал мартышке. Затем он спрятал свою долю, а все остальные орехи снова сложил в одну кучу.
Через некоторое время проснулся другой Робинзон и сделал то же самое. У него тоже остался один лишний орех, и он отдал его мартышке. И так один за другим поступили все пятеро потерпевших кораблекрушение. Каждый из них взял себе одну пятую орехов из той кучи, которую он нашёл при пробуждении, и каждый отдал один орех мартышке. Утром они поделили оставшиеся орехи, и каждому досталось поровну - по одной пятой. Разумеется, каждый из матросов не мог не знать, что часть орехов не хватает, но так как у каждого из них совесть была одинаково нечиста, то некто ничего не сказал. Сколько кокосовых орехов было первоночально?
Один дракон целиком лежит в одном круге, другой дракон - в другом. Значит, если совместить драконов, получившийся дракон будет целиком лежать в каждом из кругов, т. е. будет целиком лежать в пересечении двух кругов.
2. Некий раджа, умирая, оставил свои брильянты сыновьям. В завещании его дети прочитали: старший сын получает 1 брильянт и седьмую долю всех остальных; второй сын получает 2 брильянта и седьмую долю всех остальных; третий сын - 3 брильянта и седьмую долю всех остальных; четвертый - 4 брильянта и седьмую долю всех остальных и т. д. Таким образом наследство было разделено между сыновьями без остатка. Сколько сыновей было у раджи и сколько он оставил брильянтов?
Имеется в виду, конечно, что брильянты на части распиливать нельзя. Да, у раджи было, конечно, много сыновей, но в разделе имущества принимают участие только законные наследники, а их было точно меньше двадцати
Serge_P, может я туплю, но у меня 1 законный наследник получился.
Решил задачку из #667. Линия разреза - та же малая полуокружность, повёрнутая вокруг её верхней точки на 90 градусов.
Интересно и имхо важно, что решение - в некотором смысле автоматическое, К нему неизбежно приходишь, как только поймёшь, что у тебя нет выбора - надо делать то, что необходимо - в данном случае - совмещать половинки исходной полуокружности друг с другом.
Например, так же автоматически получается д-во теоремы Кантора-Бернштейна, а это - действительно сложная задача, известно, что Борель её сам не сделал(он благодарил кого-то за сообщение решения; правда, неизвестно сколько он думал сам
Решил задачку из #667. Линия разреза - та же малая полуокружность, повёрнутая вокруг её верхней точки на 90 градусов.
Интересно и имхо важно, что решение - в некотором смысле автоматическое, К нему неизбежно приходишь, как только поймёшь, что у тебя нет выбора - надо делать то, что необходимо - в данном случае - совмещать половинки исходной полуокружности друг с другом.
Например, так же автоматически получается д-во теоремы Кантора-Бернштейна, а это - действительно сложная задача, известно, что Борель её сам не сделал(он благодарил кого-то за сообщение решения; правда, неизвестно сколько он думал сам
)
Картинка для наглядности:
Про теорему Кантора-Бернштайна - это верно подмечено. Но мне там больше нравится доказательство через последовательности образов/прообразов.
Я вроде именно это д-во и имел ввиду.
А именно (f:A- B', g:B:-A')
- У нас ничего нет кроме f и g. С ними и работаем. Начнём с f. Не на всё B? Не беда! у нас же есть g**(-1)! Берём его прообраз( т e образ g с непокрытой части) и отображаем той же g**(-1). Но тогда остаётся непокрытой(возможно) та часть, которая покрывалсь f из прообразa непокрытой части. Её опять закрываем тем же макаром. Опять образуется новая непокрытая часть и снова делаем тоже(непокрытые части всё время вложены друг в друга - последующая в предыдущую). И так до бесконечности. В пределе получаем что нужно.
Несравненное по вируозности, красоте и краткости д-во изложено у Келли в Общей топологии. Но обдумывая его, видишь что это цивилизованное изложение этого же д-ва.
