Насчет библиотекаря есть такая мысль...
Надо создать некую неотрицательную метрику для числовой последовательности, которая бы при перестановке данного типа всегда уменьшалась и равнялась 0 для последовательности, полностью упорядоченной.
Тогда процесс всегда сойдется. А максимум будет соответствовать максимальному значению метрики.
Мне пока пришла в голову только следующая M= |Rn-n| где n - номер места на полке, а Rn - положение n-книги на полке.
Тогда данная перестановка может только оставить M неизменной. Книга k двигается на m позиций и сбрасывает свое отклонение до 0, а максимум m книг увеличивают модули на +1. Но это в самом худшем случае.
Это еще не доказывает сходимость процесса.
Есть гипотеза, что перестановка такого типа всегда уменьшает количество оставшихся худших случаев.
Если правда, то получится доказательство.
Но пока не особо удается над этим поразмышлять
По мне, почти единственным ответом является концепция меры на детерминированных фазовых пространствах моделей классической физики. Дабы наблюдали всем знакомые и характерные устойчивые статистические частоты, на фазовом пространстве должна существовать соответствующая частотам мера, которую называем вероятностной, ибо совпадает численно с вероятностями ожиданий.
Насколько я понимаю Ваши рассуждения, эта мера (назовем ее ) обязана быть вероятностной и в математическом смысле (т.е., d=1, где интеграл берется по всему пространству начальных условий). Все-таки, по-моему, все это абсолютно эквивалентно случайному выбору начальных условий согласно мере .
Хайдук написал(а):
Фазовое пространство фундаментально и детерминировано, потому и мера на нём фундаментальна и детерминирована, а экспериментальные статистические частоты оказываются как-бы следствиями, результатом.
Вот этого я не понял, почему потому? Если даже мы примем что есть такое базовое фазовое пространство, из каких соображений на нем должна сидеть еще и некоторая фиксированная вероятностная мера (мы же квантовые эффекты не рассматриваем)? Из каких физических законов можно вывести (подсчитать), скажем, плотность этой меры?
Хайдук написал(а):
Со строгой точки зрения случайным выборам в динамических моделях классической физике неоткуда взяться и, следовательно, нельзя остановиться на таких заключениях,
Что-ж, могу сделать одно предположение о том, как можно подойти к случайности через детерминированные модели. Рассмотрим какую нибудь систему которая выдает случайный результат сугубо механическим образом (т.е., без участия человека), например, машину которая размешивает 49 лотерейных шаров и выбирает из них 6. Почему, при казалось бы одинаковых начальных условиях (пусть даже при совершенно точно одинаковых), последовательность результатов (выигрышных комбинаций шаров) на вид вполне случайна? А потому что соответствующая динамическая система очень сильно хаотична, и небольшие изменения параметров системы (влажность воздуха, которая влияет на то, как шары проскальзывают друг относительно друга, микротрещины в шарах, микрошероховатости на их поверхности, небольшие флуктуации в скорости вращения мешалки, и т.п.) сильно влияют на конечный результат. Но теперь мы имеем проблемы того же типа для этих небольших факторов, которые тоже (вполне возможно) беруться из других сильно хаотических динамических систем, и у меня нет уверенности, что таким путем мы не доберемся все-же до квантовых эффектов. Другая проблема в том, что никаких независимых повторений эксперимента, строго говоря, быть не может, поскольку (в данном примере с лотерейной машиной) накапливаются микроизменения в шарах и в самом механизме, да и внешние условия могут (и будут) меняться.
Хайдук написал(а):
Значит надо попытаться показать почему практически неизбежные вероятностные гипотезы все-таки работают в иначе вполне детерминированной гранд-модели классической физики. К сожалению, по понятным причинам (гигантизма и практической недоступности) нельзя математически строго сформулировать эту гранд-модель, но надеюсь, что её принципиальное в довольно строгом смысле существование не должно вызывать сомнений.
У меня, все-таки, сомнения пока есть.
Хайдук написал(а):
Ясно, что такая многоуровневая модель слишком сложная и необозримая практически, хотя вряд ли выходит на квантовый уровень, где тусуются настоящие, автентические случайности. А раз не выходит, то все эти фазовые пространства мишц, мозгов и т.д. детерминированные из общих физических соображений.
Библиотекарь расставляет по порядку книги на полке (мы считаем, что у каждой книги есть свое место, но сейчас они стоят в беспорядке), используя следующий алгоритм: он наугад выбирает книгу, стоящую не на месте, и ставит ее на место, сдвигая в сторону мешающиеся книги (например, если книга №2 стоит на 5-ом месте, то он вынимает ее, сдвигает книги с мест 2,3 и 4 на одну позицию вправо и ставит вынутую книгу на место). Обязательно ли процесс сойдется? Если да, то за какое число шагов он гарантированно сойдется?
тут есть важное уточнение - библиотекарь выбирает книгу не наугад (=случайно), а, скорее, произвольным образом (т.е., он может сознательно делать наихудший выбор). Насколько я понимаю, чтобы решить эту задачку, достаточно доказать, что не существует ни одного цикла, и значит мы рано или поздно придем к конфигурации, из которой нет ни одного хода. Но это, вроде, нетрудно доказать от противного...
А если выбирать случайным образом, то решение совсем очевидно - рано или поздно мы поставим книгу 1 на ее место и она оттуда больше не уйдет, и т.д.
если выбирать случайным образом, то решение совсем очевидно - рано или поздно мы поставим книгу 1 на ее место и она оттуда больше не уйдет, и т.д.
Этoго можно добиться и систематическим образом, находя и вынимая 1-ую книгу, сдвигая с начала направо и вставляя 1-ую; то же самое со 2-ой, только сдвигаем направо с 2-ой позиции и т.д.
мера (назовем ее ) обязана быть вероятностной и в математическом смысле (т.е., d=1, где интеграл берется по всему пространству начальных условий). Все-таки, по-моему, все это абсолютно эквивалентно случайному выбору начальных условий согласно мере .
Serge_P написал(а):
есть такое базовое фазовое пространство, из каких соображений на нем должна сидеть еще и некоторая фиксированная вероятностная мера (мы же квантовые эффекты не рассматриваем)? Из каких физических законов можно вывести (подсчитать), скажем, плотность этой меры?
Должен признаться, что даже до Вашего поста начали осенять сомнения насчёт сей якобы сидящей объективной меры
. Дело в том, что хотя мера эта должна быть конечной, с какого перепугу быть ей нормированной к d=1? Можно подумать, что важна плотность/распределение меры, а не её тотальный объём. Ясно, что отличить такую якобы меру от очень подобной априорной непросто. С другой стороны, множество начальных условий и дальнейших траекторий как-бы фиксировано - в этом и состоит принципиальная детерминированность модели. Часть этого множества ведёт к орлу, а остальная часть к решке. Одна из частей может оказаться больше другой, если, скажем, копеечка не симметричная и траектории преимущественно загибаются к выделенному исходу. Как выразить подобные интуитивные догадки, не являлются ли они некорректными?
Хаотическая динамика меня не очень пугает, ибо в конце концов на макроуровне её тоже описывают вероятностными распределениями. Какими бы успешными не были эти априорные, так сказать, распределения в описании наблюдаемой статистики, всегда можно вроде сказать, что попали они в как-бы подходящее подмножество фазового пространства
. Можно ли всегда наделять по прихоти измеримое пространство некоторым распределением (конечной или вероятностной) меры (drowsy как-будто намекал, что не всегда существует конечная мера, хотя бесконечная все равно нас не колышет)?
Как-будто любое распределение угловой скорости в Вашей модели не поколеблет результата 50/50 до тех пор, пока включать будет примерно одинаковое число интервалов [_1,_2] орла и решки; избежать этого очень трудно из-за их узости и плотности.
Этoго можно добиться и систематическим образом, находя и вынимая 1-ую книгу, сдвигая с начала направо и вставляя 1-ую; то же самое со 2-ой, только сдвигаем направо с 2-ой позиции и т.д.
я имел в виду, что, быть может, библиотекарь хочет нарочно затянуть процесс. И надо доказать, что в конце концов процесс сойдется, что бы он не делал.
Одна из частей может оказаться больше другой, если, скажем, копеечка не симметричная и траектории преимущественно загибаются к выделенному исходу. Как выразить подобные интуитивные догадки, не являлются ли они некорректными?
думаю, что нетрудно построить аналогичную модель и для гнутой монетки
Хайдук написал(а):
Можно ли всегда наделять по прихоти измеримое пространство некоторым распределением (конечной или вероятностной) меры (drowsy как-будто намекал, что не всегда существует конечная мера, хотя бесконечная все равно нас не колышет)?
наделять по прихоти можно, ибо формулировка стерпит все
Вообще говоря, какую-нибудь вероятностную меру можно построить на любом измеримом пространстве, главное чтобы модель с этой мерой была нам полезна.
Вообще, лично меня, если честно, не очень волнует вопрос, откуда в этом мире берется случайность. Из эмпирического опыта ясно, что она в каком-то виде тут присутствует, и ладно
Статистика — это такой инструмент… Очень страшный в неумелых руках. В умелых того страшнее, способен разорвать мозг на куски.
Вот есть последовательности A, B, C и D, про которые известно следующее:
A B C D
Среднее значение x 9.00 9.00 9.00 9.00
Дисперсия х 10.00 10.00 10.00 10.00
Среднее значение y 7.50 7.50 7.50 7.50
Дисперсия y 3.75 3.75 3.75 3.75
Корреляция между x и y 0.82 0.82 0.82 0.82
Прямая линейной регрессии y = 3 + 0.5x y = 3 + 0.5x y = 3 + 0.5x y = 3 + 0.5x
То есть все указанные величины для них совпадают. По крайней мере, до второго знака после запятой.
Из en.wikipedia.org/wiki/Anscombe%27s_quartet : Edward Tufte uses the quartet to emphasize the importance of looking at one's data before analyzing it in the first page of the first chapter of his book, The Visual Display of Quantitative Information
выбирать для можно только книги которые справа от своего места?
Да, хватать за уши и вынимать из ряда можно только книгу, находящуюся справа от её места, а смещение на одну позицию (направо, конечно) тех книг, что нужно для освобождения её места, остаётся по-прежнему
простая, но симпатичная задачка:
Имеется выпуклый многогранник, такой что
- в каждой вершине сходятся ровно 3 грани
- все грани являются пяти- или шестиугольниками.
Сколько пятиугольных граней может быть у такого многогранника?
Давненько такие изящные условия не видел.
Итак - Пусть S - число шестигранников и F - пятигранников
Тогда - B - число вершин многогранника (6*S + 5*F) /3 - на 3, поскольку ровно 3 грани.
Число - R - ребер многогранника (6*S + 5*F) /2 - каждое ребро грани за два идет.
Число граней G = S+F
По теореме Эйлера для выпуклого многогранника B - R + G = 2
Итого все S сокращаются (+ 2 - 3 + 1) т.е неважно сколько шестиугольников
Остается (5/3 - 5/2 + 1) * F =2
Итого F=12 - не больше не меньше.
Я не успел подумать, хотя вероятно пришёл бы к тому же - путь естественный. Одно замечание. Нужен ещё и пример - пока доказано тоько, что в данных условиях число 5-угольных граней м б равно только 12. Но возможно, что таких многогранников нет вообще.
Интересно еще, можно ли там как-нибудь просто (без нудного перебора вариантов) понять, сколько может быть шестиугольных граней? Ясно, что может быть 0 (додекаэдр) и 20 (футбольный мяч), но какие есть другие варианты?..
Нужен ещё и пример - пока доказано тоько, что в данных условиях число 5-угольных граней м б равно только 12. Но возможно, что таких многогранников нет вообще.
Интересно еще, можно ли там как-нибудь просто (без нудного перебора вариантов) понять, сколько может быть шестиугольных граней? Ясно, что может быть 0 (додекаэдр) и 20 (футбольный мяч), но какие есть другие варианты?..
Если есть хотя бы один 6-угольник, то выберем его как плоскость проекции сетки ребер( по теореме Штейница сетку всегда можно в выпуклый многогранник обратно преобразовать) И задача вообще говоря сводится к нахождению соответсвующего плоского графа.
Пока думаю, что число 6-угольников может быть любое. По крайней мере 2 я смог визуально представить. С 1 сложнее, но я не вижу препятствий с точки зрения теорем существования.
