дальше по индукции (если второй близнец попал в ту же половину таблицы, что и первый - то применяем предположение индукции, а если они попали в разные половины, то
Индукция понятно...
Мне вот этот шаг быстро не дался...
Можем ли мы считать эквивалентными жесткую сетку и случайную жеребьевку после каждого тура....
Хмм, а я взглянул с другой стороны:
Если близнецы играют между собой, то они либо в первом раунде встречаются, либо нет, но оба выигрывают и встречаются позже.
Тогда P(n) = 1/(2^n-1) + (1-1/(2^n-1))*1/4*P(n-1)
Ну а теперь индукцией все проверяется.
Правильно я понимаю, что Вы хотите, в каком-то смысле, вообще избавиться от вероятности?
Нет, вероятностей (1) я под сомнение не ставлю, а пытаюсь согласовать их с полностью детерминированной динамикой точных математических моделей (2). Идея в том, что каким бы случайным не был выбор начальных условий, последние заведомо остаются в пределах объемлющего и детерминированного фазового пространства динамической модели (2). Значит в результате всегда выбирается лишь одна, уже находящаяся в фазовом пространстве однозначно детерминированная траектория. Отсюда и предположение, что вероятности различимых финальных исходов динамики можно идентифицировать с некоторой мерой именно на тех подмножествах фазового пространства, кои подмножества соответствуют (принадлежащие им детерминированные траектории ведут к) тем же самым различимым финальным исходам.
Никак не настаиваю на точную оценку, скажем 1/2 или 1/6, подобной меры, если такая в принципе существует. Ясно, что численная оценка должна зависеть от объёма базового фазового пространства, то бишь какие разбросы начальных условий и значит траектории во времени представляются практически правдоподобными и желательными включить и учитывать.
В фазовом пространстве траекторий будут существовать линии бифуркаций, разделяющих аттракторы, ведущие к тому или иному финальному положению.
Это и есть та граница меры 0 (ноль) открытых множеств финальных исходов, скажем орла и решки, которую ввёл Сергей и где копеечке придётся торчать вертикально, не упавши орлом или решкой, во веки веков
Отсюда и предположение, что вероятности различимых финальных исходов динамики можно идентифицировать с некоторой мерой именно на тех подмножествах фазового пространства, кои подмножества соответствуют (принадлежащие им детерминированные траектории ведут к) тем же самым различимым финальным исходам.
Ну да, разумеется, вероятность есть мера на некотором измеримом пространстве.
Король Артур проводит рыцарский турнир по системе с выбыванием (как в теннисе); стартовый номер участника определяется жребием. Среди 2^n рыцарей, одинаково искусных в ратном деле, есть два близнеца. Какова вероятность того, что эти два близнеца встретятся в поединке?
Спасибо за интересную задачку о сёстрах Вильямс. Хотя и несложная, но мне понравилась.
Кто то выше просил решение. Вероятность попасть на очную встречу в 1-м круге 1/(2^n-1). Tогда по формуле условной вероятности общая реккурсивная формула вероятности личой встречи при n участниках:
P(n) = 1/(2^n-1) + 1/4 * (2^n-2)/(2^n-1) * P(n-1)
При
n=1 P(1)=1
n=2 P(2)=1/2
По индукции легко доказать ответ - P(n)=1/(2^(n-1))
Хайдук написал: Нет, вероятностей (1) я под сомнение не ставлю, а пытаюсь согласовать их с полностью детерминированной динамикой точных математических моделей (2).
Так какие тут трудности?
Трудности мерещутся в том, дабы вывести и строго подсчитать меру, исходя из микроструктуры фазового пространства на уровне точных начальных условий и последующих детерминированных траекторий. За структурой этой мы не можем практически уследить, это ясно. Но наверное можно строго доказать, что мера-то существует. Значит можем надеяться угадать величину этой меры для разных различимых/отделимых финальных исходов, куда подможества траекторий приплывают. Угадать лишь величину, но НЕ структуру и распределение меры/вероятности на разбросе начальных условий и траекториях. Экспериментальная статистика покажет верно ли угадали эти величины мер/вероятностей исходов.
Выходит, что в конкретных условиях любых статистических экспериментов начальные условия и последующие траектории ненароком и равномерно меняются в некоторых пределах, кои пределы и определяют конкретные условия экспериментов и значит соответствующие подмножества фазового пространства с их мерами/вероятностями. Как раз эта равномерность, равновероятность флуктуаций в предалах конкретных условий практически любых статистических экспериментов не перестаёт меня удивлять
Вот и я о том же. В принципе все сводится к времени полета и угловой скорости вращения. Или монетка совершает четное или нечетное число оборотов. Понятно, что в пределе когда число оборотов много больше еденицы оба исхода будут равновероятны. Тоесть если начальная скорость больше некой критической (как функция начальной угловой), то будет 50/50. И никаких мер считать не надо если ты, конечно, не чистый математик
Значит можем надеяться угадать величину этой меры для разных различимых/отделимых финальных исходов, куда подможества траекторий приплывают.
так ведь, обычно и неплохо угадываем
Хайдук написал(а):
Выходит, что в конкретных условиях любых статистических экспериментов начальные условия и последующие траектории ненароком и равномерно меняются в некоторых пределах, кои пределы и определяют конкретные условия экспериментов и значит соответствующие подмножества фазового пространства с их мерами/вероятностями. Как раз эта равномерность, равновероятность флуктуаций в предалах конкретных условий практически любых статистических экспериментов не перестаёт меня удивлять
ненароком - это, пардон, не есть математическое понятие
Вот и я о том же. В принципе все сводится к времени полета и угловой скорости вращения. Или монетка совершает четное или нечетное число оборотов. Понятно, что в пределе когда число оборотов много больше еденицы оба исхода будут равновероятны. Тоесть если начальная скорость больше некой критической (как функция начальной угловой), то будет 50/50. И никаких мер считать не надо если ты, конечно, не чистый математик
я чистый математик, но тоже думаю, что этих мер считать не надо
Насчет точно 50/50 в реальных условиях эксперимента я все-таки сомневаюсь. Скорее, когда начальная скорость достаточно велика, получается приблизительно 50/50, но с вполне достаточной точностью.
я чистый математик, но тоже думаю, что этих мер считать не надо
Хотя я не чистый и даже не математик
, тоже думаю, что этих мер считать не надо. Просто хотелось найти удовлетворительный логический переход от точной детерминированной динамики, описываемой дифференциальными уравнениями, к не менее бесспорным вероятностным оценкам и наблюдаемой статистике. Показать как видимая случайность вероятностных событий согласуется с и выводится (почти) строго из 100% детерминированной динамической модели
Просто хотелось найти удовлетворительный логический переход от точной детерминированной динамики, описываемой дифференциальными уравнениями, к не в меньшей степени бесспорным вероятностным оценкам и наблюдаемой статистике.
ну, это очень сложный вопрос, многие над ним поломали головы
Просто хотелось найти удовлетворительный логический переход от точной детерминированной динамики, описываемой дифференциальными уравнениями, к не в меньшей степени бесспорным вероятностным оценкам и наблюдаемой статистике. Показать как видимая случайность вероятностных событий согласуется с и выводится (почти) строго из 100% детерминированной динамической модели
Если я еще помню, то еще очень интересным подходом является Колмогоровская теория турбулентности, где зависимости выводятся часто исключительно из физических размерностей
Понятно, что в пределе когда число оборотов много больше еденицы оба исхода будут равновероятны.
Хоть и понятно, но хотелось бы, чтобы все-таки была уверенность в существовании строгого доказательства
. Весьма правдоподобная гипотеза о равновероятных исходах фактически утверждает не что иное, как следующее: примерно половина из всех возможных траекторий (вместе с начальными условиями) ведут к орлу, а другая половина - к решке. Эти интуитивные половины суть не что иное, конечно, как мера на двух непересекающихся и дополнительных друг к другу (границей меры 0 пренебрегаем) подмножествах пространства всех возможных траекторий с начальными условиями.
На том же самом основании, на каком считаем выпад чисел лотареи равновероятным для каждого отдельного числа. Должны знать какое подмножество траекторий (с начальными условиями) покрывает мера; если подмножество меняется, меняются и пропорции меры/вероятности для разных исходов. Скажем, можно так ограничить начальные условия и подбрасывать копеечку, что один из исходов оказывается предпочтителнее
На том же самом основании, на каком считаем выпад чисел лотареи равновероятным для каждого отдельного числа.
нет, так дело не пойдет. Шары в лотерее совершенно одинаковые, и их конечное число. Траекторий же бесконечно много, и априори нельзя считать их равноправными (например, при подбрасывании монеты вряд ли будет разумно предположить, что начальные скорости в 1 м/с и 100 км/с равновероятны), чтобы ввести на фазовом пространстве равномерное распределение естественным образом.
Хоть и понятно, но хотелось бы, чтобы все-таки была уверенность в существовании строгого доказательства
. Весьма правдоподобная гипотеза о равновероятных исходах фактически утверждает не что иное, как следующее: приблизительно половина из всех возможных траекторий (вместе с начальными условиями) ведут к орлу, а другая половина - к решке. Эти интуитивные половины суть не что иное, конечно, как мера на двух непересекающихся и дополнительных друг к другу (пренебрегая границей меры 0) подмножествах пространства всех возможных траекторий с начальными условиями.
А тут возникнет такая проблема - если уж рассматривать множество действительно всех возможных траекторий (в математической модели; не будем учитывать, что скорость ограничена скоростью света
), то оно будет неограничено. Тогда будет довольно трудно определить, что есть половина от него.
A, B и C сходятся для трехсторонней дуэли. Известно (в том числе и участникам дуэли), что A попадает в цель (ежели, конечно, хорошо прицелится
) с вероятностью 0,3, C - с вероятностью 0,5, а B стреляет без промаха. Дуэлянты стреляют в циклическом порядке (сначала A, потом B, потом C, если еще жив
, потом A, и т.д.) до тех пор, пока не останется только один. Каковы оптимальные стратегии для A, B, C? Каковы вероятности выигрыша A, B и C, при условии что все они придерживаются оптимальной стратегии?
