Пока Сергей пишет решение, я подумал и в результате совсем разуверился в якобы тяготеющих к всюду-плотным областях фазового пространства на границе между орлом и решкой
. Граница эта вряд ли фрактал, хотя имеет сложную, запутанную форму и наверняка обладает глобальной симметрией. Поднял я этот вопрос, однако, ради другого: можно ли считать разделение меры на фазовом пространстве пополам конечной причиной статистике выпадов орла и решки? Обязательна ли логически дополнительная гипотеза о равной изначальной вероятности любых траекторий? В чем смысл подобной гипотезы, если сама мера на фазовом пространстве и есть такая вероятность? Ведь лучшего причинного обоснования статистики, чем самой этой меры, не найти
Пусть f(x,y) - функция двух переменных, обладающая таким свойством: если (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), (x_4,y_4) - вершины квадрата, то тогда f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)+f(x_3,y_3)+f(x_4,y_4)=0. Можно ли построить нетривиальный пример такой функции f (т.е., так что f отлична от нуля хотя бы в одной точке)?
Докажем, что функция, обладающая таким свойством, обязана быть тождественно равной нулю. Пусть h=(x,y) - произвольная точка, и обозначим для краткости 8 соседних точек так: h++=(x+1,y+1), h+-=(x+1,y-1), h-*=(x-1,y), и т.д. Тогда имеем
0 = (f(h) + f(h+*) + f(h++) + f(h*+))
+ (f(h) + f(h*+) + f(h-+) + f(h-*))
+ (f(h) + f(h-*) + f(h--) + f(h*-))
+ (f(h) + f(h*-) + f(h+-) + f(h+*))
= 4f(h) + (f(h++) + f(h-+) + f(h--) + f(h+-))
+ 2(f(h+*) + f(h*+) + f(h-*) + f(h*-)),
и отсюда получаем f(h)=0.
А нельзя ли тут рассмотреть решетку NxN и записать систему уравнений для квадратов образуемых этой решеткой и показать, что нетривиального решения нет?
Ну вот, и почему спрашивается я полез доказывать обратное?
Я думаю, что в принципе нельзя обосновать логически почему какая-либо вероятность именно такая, а не сякая. Можно иметь очень правдоподобные или даже очевидные ожидания, но дальше моделей измеримых пространств динамики пойти нельзя. В конце концов вероятность суть эмпирическая статистическая частота, а всякие теории так называемых априорных вероятностей на основании якобы степени психологической убедительности (?) НЕ обладают каким-либо серьёзным и надёжным рациональным фундаментом.
я подумал и в результате совсем разуверился в якобы тяготеющих к всюду-плотным областях фазового пространства на границе между орлом и решкой. Граница эта вряд ли фрактал, хотя имеет сложную, запутанную форму и наверняка обладает глобальной симметрией. Поднял я этот вопрос, однако, ради другого: можно ли считать разделение меры на фазовом пространстве пополам конечной причиной статистике выпадов орла и решки? Обязательна ли логически дополнительная гипотеза о равной изначальной вероятности любых траекторий? В чем смысл подобной гипотезы, если сама мера на фазовом пространстве и есть такая вероятность? Ведь лучшего причинного обоснования статистики, чем самой этой меры, не найти
насчет точной глобальной симметрии я, все-таки, не уверен. Там ведь надо строить модель считая, что в начале есть какое-либо фиксированное положение монеты (например, горизонтально решкой вверх), поэтому соотнести естественным образом одну траекторию типа орел данной траектории типа решка мне представляется затруднительным.
Тут, видимо, дело вот в чем: хотя, строго говоря, в пространстве начальных условий множества орла и решки и не являются всюду плотными, но они на глаз весьма близки к этому. Поэтому, при разумной вероятностной мере (которая описывает, как подбрасывается монета) на этом пространстве начальных условий получается что вероятности обоих конечных результатов с большой точностью равны 1/2 (строго говоря, носитель этой меры содержит в себе очень много маленьких областей орла и решки, и эти маленькие области очень похожи друг на друга, хотя точной симметрии может и не наблюдаться). Однако, если уж хочется рассматривать такую модель, то все равно без введения вероятностной меры, описывающей как производится бросок, не получится. Проще уж сразу предположить, что вероятности равны 1/2 (что прекрасно согласуется с экспериментом) и не мучиться
Насчет равной изначальной вероятности любых траекторий , честно говоря, не понял.
Цивилизованное изложение.
Возьмём любую точку и построим целочисленную сетку с ней как с началом координат.
Рассмотрим 4 единичных квадрата сетки, для которых наша точка - вершина и напишем для их вершин суммы значений функции. Каждая из них равна нулю, и сумма равна нулю.
Но в неё входят 3 компоненты:
1. Сумма значений функции на вершинах квадрата со стороной 2 с центром в нашей точке - ноль.
2. Удвоенная сумма значений функции в серединах сторон предыдущего квадрата - тоже ноль, т тк эти середины сами - вершины квадрата.
3. учетверённое значение функции в нашей точке.
Тоже стало быть ноль.
Не хватает нам тут Дроузи, он недавно кандидатскую в эргодической теории защитил, а теперь сидит в банке каком-то, хотя наверное порой приходится и думать, а не только сидеть
Мне кажется, что должно учитывать весь диапазон практически разумных начальных условий и способов бросания монеты. Гипотеза состоит в том, что если удастся посчитать меру орла на этом диапазоне, то она окажется равной мере решки на том же диапазоне. На таком основании предсказываем одинаковую статистическую частоту исходов орла или решки. Вопрос в том, нужно ли ещё предположение о том, что во время статистических экспериментов не будет отдано, вольно или невольно, предпочитание некоторому подмножеству всего диапазона. Вот это я подразумеваю под равной изначальной вероятностью любых траекторий. С логической и эстетической точек зрения желательно обойтись без такого кругового предположения, уже подразумевающего понятие вероятности и фактически заполучить саму вероятность как меру на пространстве вполне определённых и детерминированных начальных условий с последующими гладкими траекториями всех возможных статистических экспериментов бросания монеты
Учитывая такие точные симметрии как идеальную гомогенную монету, произвольное начальное положение (горизонтально орлом или решкой вверх) и практически разумные способы подбрасывания, можно надеяться на приблизительное равенство мер. К сожалению, даже такая модель выглядит очень сложной для более-менее точной оценки мер. Может в теории динамических систем существуют более простые модели с небольшим числом крайних состояний, где сколько-нибудь точная оценка меры/вероятностей доступна. Правда, не ясно насколько таким идеализированным моделям можно будет сопоставить статистические эксперименты
Учитывая такие точные симметрии как идеальную гомогенную монету, произвольное начальное положение (горизонтально орлом или решкой вверх) и практически разумные способы подбрасывания, можно надеяться на приблизительное равенство мер.
если разрешить произвольные начальные положения, то тогда конечно будет и точная симметрия. Но проблема в том, что в этом случае, грубо говоря, мы должны будем с вероятностью 1/2 выбрать начальное положение решкой вверх, и с вероятностью 1/2 наоборот. Т.е., уже на этом этапе от случайного выбора никуда не деться. Поэтому я и сказал, что надо зафиксировать какое-нибудь одно начальное положение, но тогда точной симметрии не будет.
На интуитивном уровне вероятности 1/2 или 1/6 предсказывают прежде всего на основании симметрий гомогенных копеечки или игральной кости. Сумбурная динамика бросков должна как-бы утопить и выровнять начальные условия. Соображения симметрии перемешивания подсказывают статистическую частоту слепых выборов из мешка и т.д. Всегда казалось, что подобные соображения симметрии НЕ дотягивают до достаточного логического вывода или доказательства наблюдаемых статистических частот. Если задуматься, то как-бы приходим к тому, что интуитивные ожидания почти всегда подразумевают именно меру событий на фазовом пространстве конкретной задачи. Мне кажется, что учёт достаточно реалистического/представительного по разбросу значений параметров подмножества фазового пространства позволяет как-бы избежать каверзный вопрос со случайным выбором начальных условий и значит вводом априорных вероятностей. Любые модели классической (неквантовой) динамики в конце концов строго детерминированные и даже необязательно, чтобы динамика эта была неустойчивой/хаотической. Разумеется, оценка детерминированной меры на детерминированном фазовом пространстве для сколько-нибудь реалистических примеров представляется скорее проблематичной. Потому и начинаем с правдоподобных априорных вероятностных распределений/мер
Если не ошибаюсь, законы термодинамики и статистической физики не удаётся последовательно и строго вывести из первых принципов, то бышь вполне детерминированной динамики множества элементарных конституентов/степеней свободы
. Всегда приходится делать хоть и убедительные, но все же вероятностные предположения. Может трудности чисто технические из-за сложности, запутанности и громоздкости детерминированной динамики. Интересно можно ли хотя бы доказать существование некоторой естественной и детерминированной меры исходов типичных вероятностных моделей, даже если посчитать такую меру представляется практически нереальным
На интуитивном уровне вероятности 1/2 или 1/6 предсказывают прежде всего на основании симметрий гомогенных копеечки или игральной кости. Сумбурная динамика бросков должна как-бы утопить и выровнять начальные условия. Соображения симметрии перемешивания подсказывают статистическую частоту слепых выборов из мешка и т.д. Всегда казалось, что подобные соображения симметрии НЕ дотягивают до достаточного логического вывода или доказательства наблюдаемых статистических частот. Если задуматься, то как-бы приходим к тому, что интуитивные ожидания почти всегда подразумевают именно меру событий на фазовом пространстве конкретной задачи. Мне кажется, что учёт достаточно реалистического/представительного по разбросу значений параметров подмножества фазового пространства позволяет как-бы избежать каверзный вопрос со случайным выбором начальных условий и значит вводом априорных вероятностей. Любые модели классической (неквантовой) динамики в конце концов строго детерминированные и даже необязательно, чтобы динамика эта была неустойчивой/хаотической. Разумеется, оценка детерминированной меры на детерминированном фазовом пространстве для сколько-нибудь реалистических примеров представляется скорее проблематичной. Потому и начинаем с правдоподобных априорных вероятностных распределений/мер
Хайдук, я, все-таки, не понимаю, как Вы собиратесь избавляться от случайности в момент броска (т.е., от случайного выбора начальных условий). Ведь если начальные условия абсолютно точно известны, то тогда, теоретически, можно и посчитать конечный результат точно.
Другое дело, что задача очень хаотическая, т.е., очень маленькое изменение начальных условий (возможно даже лежащее в пределах погрешности измерений) может сильно изменить конечный результат. Но все равно, обосновать таким способом точный ответ 1/2, мне кажется, нельзя. Для примера, рассмотрим ситуацию когда монету бросают (на какую-нибудь ровную неупругую поверхность) таким образом, что в полете она повернется очень малое количество раз, скажем, 2-3. Ясно, что в этом случае начальное положение монеты и результат довольно сильно коррелированы. Но тогда должно быть ясно и то, что если монета бросается обычным образом, какая-то ненулевая (хотя и очень малая) корреляция должна присутствовать, чего в идеальной модели нет.
Король Артур проводит рыцарский турнир по системе с выбыванием (как в теннисе); стартовый номер участника определяется жребием. Среди 2^n рыцарей, одинаково искусных в ратном деле, есть два близнеца. Какова вероятность того, что эти два близнеца встретятся в поединке?
Мне кажется, что это вообще не вероятностная задача в каком то смысле. ( это я про монету)
В фазовом пространстве траекторий будут существовать линии бифуркаций, разделяющих аттракторы, ведущие к тому или иному финальному положению.
Другое дело, что практически ( в смысле пригодном для практических целей) рассчитать бифуркации подбрасывания монеты очень тяжело
и народ считает этот процесс случайным, имеющим вероятность 1/2
Кроме того, для каждого стартового положения монеты вероятность выпадения, например орла (интегральчик по всем фазовым траекториям - но тут надо договориться что есть случайный запуск) может быть существенно не 1/2
Король Артур проводит рыцарский турнир по системе с выбыванием (как в теннисе); стартовый номер участника определяется жребием. Среди 2^n рыцарей, одинаково искусных в ратном деле, есть два близнеца. Какова вероятность того, что эти два близнеца встретятся в поединке?
так ведь, если n=2, то вероятность равна 1, а дальше по индукции (если второй близнец попал в ту же половину таблицы, что и первый - то применяем предположение индукции, а если они попали в разные половины, то встретиться они могут только в финале, и вероятность этого легко считается).
