Здравствуйте! У меня гуманитарное образование, а работаю в ИТ, общаюсь с программистами. В обед зашел разговор о бесконечности.
Мне было бы интересно узнать:
Если любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность)

И

Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например | N | = | Z | {\displaystyle |{\mathbb {N} }|=|\mathbb {Z} |}.

То

Правильно ли, что если из бесконечного (пусть будет счетное) множества вычесть его подмножество ему равномощное, то получим пустое множество, то бишь 0?

ajiram wrote: Нет такой операции для множеств - вычесть.
Есть пересечение.
Если пересечь со своим подмножеством, то получится дополнение.
Мощность которого может быть любой (не более чем исходного ессно)

вроде же есть такое название альтернативное как разница множеств.

en.wikipedia.org/wiki/Complement_(set_theory)

в СУБД тоже для множеств строк, в Oracle операция MINUS, в MS SQL - EXCEPT.

ajiram wrote: Нет, неверно. Загляните в любую популярную нижку по теории мн-в, например в Радемахера-Теплица, или Куранта-Робинсона

ilib.mccme.ru/djvu/bib-mat-kr/num-fig.htm
ilib.mccme.ru/pdf/kurant.htm
Вкратце - может получиться множество любой мощности от пустого до мощности равной мощности исходного мн-ва.

Vladimirovich wrote:
Ну что Вы такое говорите
Определить можно вообще всё что угодно, а операция разности мн-в вполне употребительна. В отличие от Руслана я скажу по русски. Разность между мн-вами А и В определяется вполне естественно - это дополнение в А пересечения А и В Стандартное обозначение - А\В

Grigoriy wrote: Ну я и сказал - дополнение.
Зачем еще что-то определять

Жизнь потребовала!

Не стоит прогибаться под изменчивый мир... (с)

Вообще говоря - операция вычитания не коммутативна
А пересечение - таки да.
Поэтому это есть моветон

Grigoriy wrote: Не надо никуда заглядывать. Просто вычтете из множества целых равномощное ему множество четных.

Ну, это да, но раз человек с минимальными знаниями интересуется, надо ему указать качественную популярную литературу.

Спасибо большое за ответы!

Я поясню ситуацию, которая вызвала мой интерес к бесконечным множествам. Есть такая задачка (её ещё называют парадоксом Росса-Литтлвуда): За минуту до полудня в безразмерную бочку кладут 10 пинпонговых шариков и один из них достают, за пол минуты опять кладут 10 и один (из тех что там уже есть) достают, за четверть повторяют операцию. Каждый раз операция повторяется за половину от оставшегося времени до полудня и так до бесконечности. Все шарики пронумерованы от одного до бесконечности.

Мой коллега, любезно поведавший мне об этой задаче утверждает, что это не парадокс и ответ один - в полдень в бочке не останется ни одного шарика, так так в бочку кладут бесконечное число шариков и бесконечное достают, обе бесконечности счетные, значит они равномощные и вычитая (пересекая) из одной другую получим ничего (предполагаю пустое множество).

Меня смущает то, что полдень никогда не наступит, а ещё "Как мы знаем из Кантора, от любого бесконечного множества можно отнять бесконечную часть, и наше множество все равно останется бесконечным." Со слов коллеги идеи Кантора устарели и опровергнуты.

Мне интересно применимы ли операци с множествами также и к бесконечным множествам, или есть исключения?
Ну и заодно, верно ли решение задачи и почему?

интересно, ажирам, как такого дэбила как вашего коллегу ещё не уволили с ИТ? он наверно мучает комп решением таких задач

Сорри, но Ваш коллега то ли дурак, то ли(более вероятно) прикалывается. Хвост распускает.

Кроме того, он видимо неаккуратно изложил условие, т к его не понял, вообще видимо ничего не понимает в теме. Возможно, конечно, что Вы его не поняли.Как Вы изложили, задача вообще бессмысленна, точнее, ответ неопределён - как Вам уже обьяснили. Задача имеет смысл, если шарики пронумерованы в порядке как их кладут и вместо "один (из тех что там уже есть)" написать: "убирают шарик с наименьшим номером из тех, что есть".
Тогда да, действительно в полдень бочка пуста - любой шарик когда-то уберут.
Вообще, посмотрите те ссылки, которые я дал.

Хайдук wrote: Как раз наоборот, эта история отлично подтверждает мои собственные наблюдения. ИТ область изобилует плохо образованными людьми, которые смело рассуждают о высоких материях, требующих умения мыслить строго и абстрактно. Я например ещё не разу не встречал сантехника обсуждающего парадоксы теории множеств, зато среди программистов таких хоть отбавляй. Что касается парадокса, то он вызван неявным предположением, что бесконечное число шагов может быть выполнено и потом можно что то посчитать.

Бесконечное число шагов выполнено быть не может, но полдень таки наступит

Ерунда, запросто может. Мы регулярно проходим сначала полпути, потом четверть, потом 1/8 и так далее, а в итоге весь путь

PP wrote:
Это называется "абстракция актуальной бесконечности", и практически вся математика (кроме извращенцев конструктивистов/интуиционистов) на ней построена. Только не надо покупаться на жульничество Зенона, изложенное тут Александером. Всё дело б том(грубо говоря; я уже давно давал ссылку на моё подробное изложение; в Вики вроде тоже самое, но у меня, имхо, изложено лучше) что взятие половины, 3/4 и т д - рассматривается как бесконечный процесс. Да ради Бога, но тогда надо и всё расматривать как бесконечный процесс и модель вполне себе неплоха в себе, только вот для описания реального движения в целом не годится

onedrey wrote:
Это, между прочим, именно корень "парадокса" и его решения. Зенон мастерски заставляет забыть, что допущение о бесконечности выборов есть абстракция, модель, Можно было бы думать, что он реально не понимал этого, но я думаю, что он явно обнаруживает огромную логическую культуру, и просто жульничал, издевался над лохами.

Мы и рассматриваем модели, нами же и придуманные. Ибо ничего другого рассматривать в принципе не можем. Поэтому не надо гнать пургу

ajiram wrote:
Они совершенно не устарели. Они развиты в строгую теорию

(c) Абель

PP wrote: Наверняка они хотят, чтобы их оскорбили и унизили. Не тяните с этим!

ну, в ИТ просто много людей пошло, спрос вырос и потому всяких можно там встретить

Grigoriy wrote:
Не вполне соглашусь с Вами, Григорий, хотя Вы будете изволить гневаться

Расмотрение отрезка времени или пути, как бесконечного процесса, есть лишь ширма фокусника, которая только запутывает суть.
Нам всего лишь нужно знать, что этот первичный ряд строго сходится 1/2+1/4+... = 1

Парадоксы и Зенона и вышеупомянутый Росса-Литтлвуда сводятся к тому, что мы этому первичному ряду ставим в соответствие некие другие числа и уже их пытаемся сложить.

В случае Зенона при постоянной скорости Ахиллеса и черепахи все просто.
Второй ряд V(1/2+1/4...) строго пропорционален, тоже отлично сходится и никакого парадокса вовсе и нет.

С шариками хуже
Второй ряд, который мы хотим за ширмой сложить, тупо расходящийся (я же не случайно Абеля процитировал)
10-1+10-1

Сумма таких рядов, как мы с Вами знаем, может быть любой и зависит от группировки
Мне в свое время чуть не разрушило мозг, что
[tex]1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}[/tex] от Рамануджана

Собственно и с шариками в полдень может получиться любой результат
Допустим, после шарика 12 мы вынули 14, а 13 пропустили.
Тогда он и останется в полдень. И т.д.

Спасибо за ответы!

Коллега добрый малый. Вот, занимаемся соморазвитием.
Григорий, спасибо за ссылки на книги, прочитала "элементы теории множеств" - доходчево объясняется.

Что я более или менее усвоила:
Задача - это абстракция.
Бочка в результате пуста - любой шарик когда-то уберут.
Нет такой операции для множеств - вычесть, но есть такая как определить разность множеств. Разность - это дополнение - А\В.

Не до конца поняла:
В реальной жизни бесконечность не возможна, а в абстракции где она возможна полдень не наступит (может наступить момент сколь угодно близкий к нему)?
dunaevv1.narod.ru/other/infinity.htm (похожая задачка в конце)

Если бочка в итоге опять пуста (в начале за минуту до полудня она пуста и в полдень она пуста), а мы в неё добавляли и изымали (вычитали) из неё шарики, то от бесконечности отнять бесконечност будет ничего - пустое множество или ноль, какое это ничего?
Если отнимать (вычитать) нельзя, то что происходит с шариками в этой задаче? Какая арифметика применима в этом случае?
Утверждение "Как мы знаем из Кантора, от любого бесконечного множества можно отнять бесконечную часть, и наше множество все равно останется бесконечным." - не верное или оно относится к бесконечным множествам какого-то определённого типа?

Из любопытства:
Что будет, если доставать шарик не с наименьшим номером из тех, что есть, а например любой, или всегда один из последних?

Почему здесь несколько решений? en.wikipedia.org/wiki/Ross%E2%80%93Littlewood_paradox

ajiram wrote: Нет, нет... Результат неопределен и зависит от метода убирания шариков

Если так, то пустаGrigoriy wrote:
А если взятьajiram wrote: То, как я упоминал, можно просто пропускать номера и тогда в полдень в бочке будет все, что Вам будет угодно

Grigoriy wrote: Побудительные мотивы Зенона, Григорий, хорошо известны - и вам, наверно, тоже. Он защищал с помощью своих парадоксов учение своего учителя Парменида. Помните это стихотворенье Пушкина? "Движенья нет"-сказал мудрец брадатый. Другой смолчал - и стал пред ним ходить. Но лучше и не мог он возразить". Парменид отрицал существование движения, и его за это, по понятным причинам, безжалостно критиковали его оппоненты. Смешивая разум и опыт, они говорили, что учение его противоречит разуму.Зенон же вознамерился доказать, что как раз допущение этих оппонентов, утверждающих существование движения, противно разуму, поскольку сразу приводит к противоречиям. Надо сказать, что для греков тогда "доказательство" и "победа в споре" были практически тождественными понятиями: если ты в публичной дискуссии поставил оппонента в тупик, то есть заставил его, красного от смущения, замолчать, то ты доказал свою правоту. Можно себе представить, насколько действенным аргументом в таких обстоятельствах были эти парадоксы.

ajiram wrote: Это утверждение просто не верно. Результат может иметь любую мощность вплоть до мощности изначального множества.
Что касается самого парадокса, то Vladimirovich за меня уже все сказал. хочу только подчеркнуть, что в парадоксе бесконечные множества "появляются" только в полдень, до этого речь идет только о конечных множествах. Кавычки поставил, поскольку этот ряд конечных множеств не сходится.