Так именно для этого ЧИСЛА с невообразимо бОльше 9999... - с любым количеством цифр, которые прячутся за МНОГОТОЧИЕМ, как только ОТМЕТЕМ возможность наличия в нынешних натуральных бесконечного количества цифр, так сразу и приходим к возможности
ВООБРАЗИТЬ число, значительно большее, которое будет ТОЖЕ натуральное, (не знаю как ВАМ, а мне очень просто предположить что ) достаточно только взять систему счисления с большим основанием, чем десятичная.
Т.Е. без многоточий после цифр в натуральном 9999... НИКАК НЕ ОБОЙТИСЬ, для оправдания расходимости ГР за счет число/номер слагаемых ГР будет невообразимо бОльше .
Я не буду повторять
В который сотый уже раз закрутились по тому же самому кругу отличных на темпов/скоростей/быстрот расходимости суммы ГР и числа/номера составляющих её слагаемых
если примем за исходное определение натурального числа что-то конкретное:
1. бесконечное, значит с бесконечным количеством цифр (с многоточием или без).

А то получается то НЕТ для вас никакого смысла в таких ГРОМАДНЕЙШИХ натуральных числах, которые нельзя даже сложить (7777... + 7777... МОЛ СМЫСЛА нет, а вот в 1/7777... +1/(1+7777...) у вас, ув. Учитель учителя, смысл ВЕЛИЧАЙШИЙ- именно в бесконечности таких сложейний где-то и прячется кащеевская бессмертность расходимости ГР).

2. Возможность наличия в ГР слагаемых типа 1/7777... +1/(1+7777...) но без допущения
возможности наличия таких ГП, в которых ТЕ ЖЕ числа применяются в знаменателе 7777.../(1+7777...), что слегка противоречиво.

ИЛИ ФСЕГО = навсего
3. Целесообразность КОНЕЧНОГО набора цифр в натуральном числе, то тогда РАЗРЕШИТЕ количество цифр в натуральном числе не только считать счетным, но и таким, что можно их все эти цифры ПЕРЕСЧИТАТЬ и СОСЧИТАТЬ (т.е. ЗАПИСЫВАТЬ в обратном порядке).

Иначе остается только самым приемлемым классическое: считать количество цифр в натуральном числе СЧЕТНЫМ, да таким, что оно может быть одновременно (в соответствии с субъективным желанием считающего)
и конечным (в гипотетической алефоричной системе счисления)
и неограниченным в десятичной системе счисления
и бесконечным (в двоичной или единичной кодировке), так, что ли?

Вижу, дружище, что проблема бесконечности для Вас серьёзная и никак НЕ удаётся застукать самосогласованное, однозначное и непротиворечивое представление о ней . По-видимому, очень трудным оказывается различение между конечными элементами некоторого множества и бесконечностью самого этого множества конечных (однако!) элементов

Прошу уделить времени и подумать над этой тонкой, но фундаментальной разницей

инфолио написал(а):Как хамстер крутитесь в своём колесе, повторяя одно и то же, притом не зная зачем

Во-первых, далеко НЕ в каждом наборе замена на 9-ки обеспечит Вам бОльше ЛЮБОГО наперед заданного числа слагаемых ГР. Во-вторых, должны подобрать подходящую, достаточно большую постоянную/константу const для ГП,

const(n/(n+1) + n/(n+1) + n^3/(n+1)^3 + ... n/(n+1) + ... ) ЛЮБОГО наперед заданного числа слагаемых ГР, где n = 9999...99

И во-третьих, далеко НЕ каждый член может оставаться бОльше ЛЮБОГО наперед заданного числа слагаемых ГР, потому что члены сходящейся ГП должны убывать к нулю.


инфолио написал(а):ЛЮБОЕ число, записанное в ЛЮБОМ знаменателе ХВОСТА ГР, можно переплюнуть суммой даже НЕ всех слагаемых ГР, а лишь конечного числа их, правда, невообразимо бОльшего числа, чем того ЛЮБОГО числа, записанного в ЛЮБОМ знаменателе ХВОСТА ГР. Раз это число слагаемых ГР конечное, хоть и невообразимо большое, то набор цифр в знаменателях этих же самых слагаемых ГР будет конечным, а не БЕСКОНЕЧНЫМ, как Вам ошибочно мерещится.

Туман и пурга у Вас в башке, дружище, столько времени уже никак не можете порвать с ошибочными видениями и иллюзиями

инфолио написал(а):Очень просто: увеличением до бесконечности КОЛИЧЕСТВА/ЧИСЛА СЛАГАЕМЫХ с конечными ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

инфолио написал(а):Напротив, бесконечный набор 9-ок в знаменателях только помешал бы сумме ГР достигнуть , так как эти члены равнялись бы нулю, что не способствует походу к .

infolio написал(а):Система счисления абсолютно не имееет значения

infolio написал(а):Тотально перерпутали ГП и ГР . Никакого смысла в 1/7777... +1/(1+7777...) нет, не приписывайте мне того, чего не говорил, ибо 7777... НЕ есть натуральное при бесконечности многоточия. A бесконечность сложений необходима для расходимости, но НЕ достаточна: у ГП тоже бесконечно много сложений, но тем не менее ГП сходится. Только бесконечность сложений может обеспечить бесконечность суммы при намертво конечных, бОльше нуля слагаемых (НЕ бывает бесконечных знаменателей типа 9999... и значит слагаемых 1/9999... = 0)

infolio написал(а):Никто этого не отрицал, не выдумывайте, каша в Вашей башке полная

infolio написал(а):Это очевидно и неинтерсно

infolio написал(а):Бессмыслица-с

Дружище, Вы застряли, временами такую ерунду несёте, как-будто ничего не усвоили из дискуссии до сих пор

никак НЕ удаётся застукать самосогласованное, однозначное и непротиворечивое представление о ней . По-видимому, очень трудным оказывается различение между конечными элементами некоторого множества и бесконечностью самого этого множества конечных (однако!) элементов

Пойду к внуку (на время присмотреть попросили). Может придет время и он мне (даст Бог) подскажет, как и откуда берется появляется различение между конечными элементами некоторого множества (их же количество этих самых элементов обозначается КОНЕЧНЫМ набором цифр) и бесконечностью самого этого множества конечных (однако!) элементов = т.е. бесконечным количеством слагаемых ГР.

Пока внук порадовал тем, что когда в мультике он (и дед) услышал слово виртуальное, увидел что внук на него никак не прореагировал, то после окончания мультика я с нескрываемым удовольствием спросил внука:
-А что такое ВИРТУАЛЬНОЕ?
-о нем не говорят. Четко и быстро ответил внук. (после очередного осмысления непонятной - запредельной, несуществующей?- бесконечности, еще раз спросил внука: -Ты сказал, что виртуальное, это такое, что о нем не говорят.) Так что такое виртуальное? Опять тут же последовал ответ:
-Не знаю. Я его не видел.

Так что пусть живет и здравствует та самая бесконечность, которую НИКТО никогда не увидит, не застукает, не достучится до нее (бесконечность натуральных, получающаяся +1), да такая ОБЪЕКТИВНО существующая, которая элементарно порождает очевидную (для вас, для всех) менее бесконечную сумму ГР. (пока, по существующим правилам). З павагай

infolio написал(а):Если 7777... конечное, то сумма ГП со знаменателем 7777.../(1+7777...) будет 1+7777... ГР переплюнет эту сумму некоторым конечным числом слагаемых, скажем, 9999... Сумма ГП со знаменателем 9999.../(1+9999...) будет 1+9999... ГР переплюнет и эту сумму некоторым ещё бОльшим, чем конечное 9999..., числом своих слагаемых.

Вообще можно построить сколько хочем бесконечных последовательностей быстро возрастающих натуральных номеров

N0 N1 N2 N3 N4 N5 ...

таких, что сумма ГР со следующим номером будет переплевывать сумму ГП с предыдущим номером

infolio написал(а):Нечего этому удивляться, дружище. Разница между номером и суммой ГР (до этого номера) увеличивается беспредельно при беспредельном увеличивании номера. Это попросту значит, что для любой, сколь угодно большой разницы можно указать тот номер, при котором эта разница наступит

Очень просто: увеличением до бесконечности КОЛИЧЕСТВА/ЧИСЛА СЛАГАЕМЫХ с конечными ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
На такое ояень просто можно ответить еще проще:
члены-слагаемые ГР имеют № число натуральное в знаменателе, причем каждый № больше, чем сумма слагаемых от 1 до № этого. Т.о. любые КОЛИЧЕСТВА/ЧИСЛА СЛАГАЕМЫХ с конечными ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ даже при умножении их этих чисел на 10 (что равносильно добавлению еще одной цифры в № хвосте обеспечивает таким образом Очень просто: увеличением до бесконечности суммы ГР.) Опять, как и раньше, вы мастерски утверждаете, (в пост 451)
Хайдук написал(а):

№
Не волнуйся, Олег, номер № НЕ бОльше , а прёт туды
что №, оставаясь конечным обеспечит значение суммы ГР. (Как для меня, то причина-следствие тут ОТДЫХАЕТ: только если № достигнет только тогда может ТУДА ЖЕ доплестись сумма ГР)

можно хотя бы мысленно обеспечить наличие МНОГОТОЧИЯ сферху находятся между знаками + , , без многоточия=увеличения до бесконечности КОЛИЧЕСТВА ЦИФР в знаменателях ГР?
Очень просто: увеличением до бесконечности КОЛИЧЕСТВА/ЧИСЛА СЛАГАЕМЫХ с конечными ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
Наверное мой нематематический склад тут опять не в строчку спрашивает: а разве в десятиричной системе счисления (не в новой) количество цифр = десятичному логарифму от №=количества слагаемых не обеспечит тоже стремление к бесконечности? Так как бесконечности - любые, хоть логарифмы не только по разным основаниям, а и многократные (в т.ч. натуральные), и даже пример вы привели? #473

infolio написал(а):= обясни физический смысл бесконечностей - кто является пиемником бесконечных чисел и что, он тоже должен быть бесконечный? как ну ках их там - обслуга гаремов ?

= бесконечность в степени бесконечности - это деление ноль на ноль ?

Тогда, вот было бы УДИВИТЕЛЬНО!, коль Это попросту значит, что для любой, сколь угодно большой разницы можно указать тот номер, при котором эта разница наступит, и учитывая что имеем дело с Очень просто: увеличением до бесконечности КОЛИЧЕСТВА/ЧИСЛА СЛАГАЕМЫХ с конечными ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
для обеспечения вышеупомянутой разницы между номером и суммой ГР (до этого номера) увеличивается беспредельно при беспредельном увеличивании номера, а № при этом беспределе ВОВСЕ не требует увеличения до бесконечности количества цифр, то не попугать ли людей такой гипотезой:
предполагаем, что БЕСПРЕДЕЛЬНОЕ увеличение № НЕ может превысить с увеличением до бесконечности КОЛИЧЕСТВА/ЧИСЛА СЛАГАЕМЫХ с конечными ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ , а значит
первый попавшийся желающий, может взять число=основанию натурального логарифма, вычислить е в степени с ЛЮБЫМИ конечными ВЫШЕУПОМЯНУТЫМИ знаменателями, и считать что сумма ГР и любое БЕСПРЕДЕЛЬНОЕ увеличение № НЕ может превысить полученное нецелое число.
Итак: волей неволей опять приходится наращивать количество слагаемых ГР до такой бесконечности, чтобы сумма ГР, которая значительно медленнее стремится к бесконечности, чем № = количество ее слагаемых, все-таки ОБОГНАЛА свое количество слагаемых. (Неужто при этом в слагаемом ГР так и не появится перспектива для бесконечного количества цифр, такого немыслимого, что больше чем число атомов во всей Вселенной и во всех вместе струнных вселенных?)

Это только одна из так называемых НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ. (Хорошо, что я уже на пенсии, а не в школе). начну все-таки с чисел, с той любимой темы- НОВАЯ система счисления. А для ФСЕГО началом является ЦИФРА, знак, который обозначает ЧИСЛО. Короче- опять получилось, что первооснова ЧИСЛО. А самым простым (аксиомой) понятием является НАТУРАЛЬНОЕ число.
И тут=то все начинается: в ВИКИПЕДИИ так
Натуральные числа (естественные числа) — [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9], числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).
А для меня важно чтобы был и ТРЕТИЙ вариант! Чтобы число было ДЛЯ ВСЕХ подходов, в любой кампании- хоть академиков, хоть солдат, одинаковым.

Что такое число? З павагай, к ВАШЕМУ МНЕНИЮ, Олег.

Олег написал(а):инфолио написал(а):Это НЕ неопределённость, ^ = , потому что для любых a 1 lim(а^b) = , когда b стремится к .

infolio написал(а):Требует, но у любого конкретного номера или слагаемого ГР количество цифр будет конечным. Бесконечные номера или слагаемые с бесконечным количеством цифр всегда будут в многоточии; это как-бы получается, потому что номеров или слагаемых бесконечно много и значит требуют беспредельно увеличивающегося количества цифр для своей записи. Это тривиально и никак не влияет на сумму ГР, так как даже если подумать о бесконечном номере с бесконечным числом цифр, то соответствующее слагаемое ГР будет =0

infolio написал(а):Сумма ГР может обогнать только предыдущий, а не свой текущий номер, см. #578

инфолио написал(а):НЕТ, так считать НЕЛЬЗЯ - при БЕСПРЕДЕЛЬНОМ увеличении № найдётся номер, при котором сумма ГР превысит полученное с предыдущим знаменателем/номером нецелое число

Что характерно, что ВСЯ фраза еще лучше звучит, если ГП и ГР в ней поменять местами!!!
ГОРАЗДО ПРОЩЕ Вообще можно построить сколько хочем бесконечных последовательностей быстро возрастающих натуральных номеров

N0 N1 N2 N3 N4 N5 ...

таких, что сумма ГП со следующим номером будет переплевывать сумму ГР с любым не только предыдущим, но и будущим мыслимым номером.

Мало того, в отличие от
Сумма ГР может обогнать только предыдущий, а не свой текущий номер, см. #578
СХОДЯЩАЯСЯ сумма ГП ФСЕГДА элементарно строится для ЛЮБОГО №=натурального числа такая, что будет большей на любое наперед заданное число, чем названный ЛЮБОЙ № ГР.

Я подразумевал, что для НЕМАТЕМАТИКОВ если в какой-то формуле имеется набор значков или/и операций с 0 и со знаками ^ = , то это уже своеобразная неопределенность, даже без корня степени из ^
1/(^ -1) + 1/(^ -2) -1/(^ -3) +1/(^ -4) -1/(^ -1) - ....
Кроме вышеупомянутых 2х понятий числа, какое, на ваш взгляд, Ув. Учитель учителя, определение числа ТРЕТЬЕ имеет место быть? З павагай

infolio написал(а):Почему, однако? Потому что любое слагаемое ГР конечное (даже малюсенькое) и значит только бесконечное число их может (но НЕ обязательно!) доплестись до . НЕ обязательно, потому что сходящейся ГП именно такое же бесконечное число слагаемых все равно НЕ хватает для того, дабы достучаццо до

ЗЫ. Словообразование выше № достигнет нужно понимать в таком смысле, что конечному номеру № придётся пробежать бесконечно много конечных/натуральных значений

инфолио написал(а):Беспредельное увеличение количества/числа цифр есть неизбежное, но несущественное следствие беспредельного увеличения самого натурального № или числа. Способ записи/обозначения всегда вторичен по отношению к первичному понятию неограниченно возрастающего натурального числа.

infolio написал(а):Каждое слагаемое равно нулю, зачем написали это?

infolio написал(а):Не догадываюсь о третьем

инфолио написал(а):Не уверен в этом

инфолио написал(а):

ГП никак не нужен следующий номер, она переплюнет ГР уже после гораздо меньшего номера. К примеру, ГР с номером 10^43 (1 с 43-мя нулями!) и суммой ~100 будет обойдён ГП со знаменателем 100/101 и суммой 101 уже после номера ... 464 (на оставшуюся 1-цу до полной суммы =101 уйдут все остальные бесчисленно много членов ГП )

Никакая ГП не может переплюнуть ГР, а может только выровниться на бесконечности

infolio написал(а):В чем смысл подобной конструкции, кого-либо колышет?

То что моё определение числа- любой набор цифр- никакого отношения к предметам или номерам за пределами Вселенсконатурального никого не задел, это понятно.
Поэтому перечислю так:
1. кол-во предметов
2. Номера чего-то.
3. с.26 вышеупомянутого справочника для СУЗ:
И.Ньютон. Всеобщая арифметика. Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. (Учтите, это не моё, так что пущай оно так и будет. Все таки XVII век!)

По инфолиоаналогии ^ с бесконечно-бесконечным количеством КОНЕЧНЫХ слагаемых ГР:
1/(^ -1) + 1/(^ -2) -1/(^ -3) +1/(^ -4) -1/(^ -5) - .... ....-1/(^ - (^ -5)) + 1/(^ -(^-4) -1/(^ -(^-3)) +1/(^-(^ -2) -1/(^ - (^-1) , Короче в хвосте такого ряда предполагал что будут знакомые слагаемые ГР в обратном порядке. (Вы же сами сказали, ув. Учитель учителя, что количество ЦИФР в любом знаменателе ГР есть число счетное, значит и бесконечности счетных слагаемых в степени СЧЕТНЫХ слагаемых- тоже счетные ) и точно так же, как Хвост ГР НЕ прекращается, точно так же для НАТУРАЛЬНОГО любого рано или поздно на 1 придется остановиться путем уменьшения на -1, значит и дроби в конце такого ряда будут -1/3+1/2-1/1
Или опять, можно только утверждать, что в сторону бесконечности можно двигаться, а из бесконечности обратно нельзя?
Если так, то как-то абсолютно без разницы, что там в бесконечности бесконечностей творится, пусть будет так, как принято.

Да так, ка вы говорили- идея такая, что для любой т.е. натуральной бесконечности, состоящей из бесконечного числа слагаемых ГР, в знаменателе которых конечные числа возможна конструкция ГП с знаменателем, который обозначим так:
(^) / (^ +1), которая сходится к числу (^ +1), каким бы большим такое число не оказалось. (Предполагаю, что и для такого числа у вас есть соответствующее количество слагаемых.... для расходящегося ГР. Подумаешь, что там, в хвосте ГР будут складываться бесконечно малые числа 1/(^ -1) + 1/(^ -2)=0+0, зато их будет много= в достаточном количестве для идеи расходимости ГР (по определнию)).

infolio написал(а):Правильно

infolio написал(а):Правильно - и это соответствующее количество слагаемых будет невообразимо бОльше, чем (^ +1).

infolio написал(а):В бесконечном хвосте ГР складываются НЕ бесконечно малые, а очень малые конечные числа, чьё бесконечное количество приводит к расходимости ГР

инфоли написал(а):

Бесконечность потому бесконечна, что обратно двигаться вычитанием НЕЛЬЗЯ - НЕТ последнего конечного элемента у бесконечности, значит НЕ из чего вычитать, а НЕ есть число и любые арифметические операции с ней бессмысленны

infolio написал(а):Глубоко и полностью НЕ верно

Число (обычное вещественное/действительное/реальное) выражает конечное количество дискретных штук или протяжённой, выглядившей сплошной величины. Цифры всего лишь дискретные графические знаки для обозначения и (эффективных!) манипуляций с числами/количествами. Немудрено, что бесконечно много разных чисел/количеств потребуют неограниченного числа цифр, к счастью не так уж разных - двух цифр хватит, 0 и 1.

Бесконечное количество чего-либо цифрами обозначить НЕЛЬЗЯ и потому обозначают специальным и единственным знаком,

infolio написал(а):

1/(^ -1) + 1/(^ -2) -1/(^ -3) +1/(^ -4) -1/(^ -1) - ....
Каждое слагаемое равно нулю,

Бесконечное количество чего-либо цифрами обозначить НЕЛЬЗЯ и потому обозначают специальным и единственным знаком,
.... для расходящегося ГР
Правильно - и это соответствующее количество слагаемых будет невообразимо бОльше, чем (^ +1).

infolio написал(а):

в хвосте ГР будут складываться бесконечно малые числа 1/(^ -1) + 1/(^ -2)=0+0, зато их будет много= в достаточном количестве для идеи расходимости ГР
В бесконечном хвосте ГР складываются НЕ бесконечно малые, а очень малые конечные числа, чьё бесконечное количество приводит к расходимости ГР

Итог: за знаком всегда прячется то, ЧТО КОМУ_НИБУДЬ надо:
т.о. получается что для простого человека, не для математика профессионала, 0+0+ ... +0 = 0*^
и дает любую бесконечность, бывает - медленнее рассходящуюся чем ГР, бывает быстее расходящуюся, чем 1+1+1+1+..., а бываеи и сходящуюся = как ГР истонченный, т.е. такой, в слагаемых которого нет чисел ни с одной ни со многими девятками.
Жаль, что ЛЮБОЙ набор цифр, в любой системе счисления, хоть в алефоричной,
Ну а ХОТЬ 1 единственная цифра в алефоричной системе счисления может обозначать число? Как, например, одна буква обозначает ЛЮБОЕ неизвестное число, или это тоже неверно, мелковато?
А что=же все таки число вообще? Не только Число (обычное вещественное/действительное/реальное)?
Сабж появился потому что мне взбрело пересчитывать Фсе числа, не делать разницы между всеми ТРЕМЯ (=см. пост выше)ипостасями числа
1. количество
2. №
3. отношения (любые, в том числе и даже такие, которые БУДУТ может быть когда-нибудь кем=то где=то завиксированы, вымышлены, найденные в объективном мире, о которых Учитель учителя замечательно точно = без иронии = сказал : Не догадываюсь о третьем ), так как для новго (патентноспособного) чего=либо ОДИН из ТРЕХ критериев и есть именно неочевидность для специалистов.

Бесконечность потому бесконечна, что обратно двигаться вычитанием НЕЛЬЗЯ - НЕТ последнего конечного элемента у бесконечности, значит НЕ из чего вычитать, а НЕ есть число и любые арифметические операции с ней бессмысленны
А как прелестно это звучит по инфолиоаналогии, если просто ЗАМЕНИТЬ эту мудрейшую бесконечность на НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО!. Ведь последнего конечного натурального нет, значит и от суммы ГР никаких ОПЕРАЦИЙ не дождешься! Интересно, а
сравнение относится к арифметическим операциям? И что за зверь такой, например поэлементное сравнение членов ГР и 1+1+1+1+... Нельзя их сравнивать?

инфолио написал(а):льзя, а зачем?

infolio написал(а):Может, но нельзя обозначить все числа после ЗПТ

infolio написал(а):Неа, как записано 0+0+ ... +0 = 0* = 0 и никакую бесконечность не даёт

Хоть какая то преспектива рассмотрения=сравнения других рядов, типа моего любимого ГП или ТОЛЬКО нечетных или только четных частей ГР и т.п.

infolio написал(а):Вопрос не имеет особого смысла. Чем, скажем, т.н. комплексные числа или кватернионы похожи на количественные числа? А ничем, хотя как-будто операции сложения с умножением такие же с той разницей, что умножение (но НЕ сложение) у кватернионов некоммутативно, ab ba. Неважно назовём ли числами некие объекты или сущности, важно, чтобы возиться с ними было интересно, полезно и непротиворечиво, приводило к согласию всеми, кому не лень повозиться