Ключевое слово
18 | 11 | 2019
Новости Библиотеки
Шахматы Онлайн
Welcome, Guest
Username: Password: Remember me

TOPIC: Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 02 Янв 2012 03:15 #1

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
В этом и состоит конёк теоремы Гёделя о неполноте арифметики: (якобы) очевидные, бесспорные истины всегда оказываются за пределами аксиом. В заметном отличии, не менее недоказуемая из аксиом гипотеза контимуума и многие другие далеко НЕ напрашиваются как очевидные. Почему, черт побери?

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 02 Янв 2012 08:26 #2

  • Alexander
  • Alexander's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 10151
  • Thank you received: 103
  • Karma: 11
Хайдук написал(а):
В заметном отличии, не менее недоказуемая из аксиом гипотеза контимуума и многие другие далеко НЕ напрашиваются как очевидные. Почему, черт побери?
А почему же, черт побери, они должны быть очевидными? Ведь именно неудачные попытки доказательств нетривиальных утверждений (вроде континуум-гипотезы) наталкивают на мысль, что возможно они недоказуемы в принципе.

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 02 Янв 2012 08:37 #3

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
Аксиома Цермело еще более очевидная. Но недоказуемая.

Каждому - своё.

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 02 Янв 2012 15:57 #4

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
Дело в том, что никто не утруждается ставить аксиому Цермело под сомнение для конечных или счётных множеств, хотя мог бы. Находят, видимо, что бессмысленно и неинтуитивно НЕ использовать аксиому в таких случаях - мол, а что вообще делать-то будем, если забанить аксиому даже для конечных множеств? А ведь можем, имеем право, благо недоказуема

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 02 Янв 2012 16:16 #5

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
Alexander написал(а):
А почему же, черт побери, они должны быть очевидными? Ведь именно неудачные попытки доказательств нетривиальных утверждений (вроде континуум-гипотезы) наталкивают на мысль, что возможно они недоказуемы в принципе.
Дело в том, что недоказуемость даже нетривиальных арифметических утверждений, вроде диофантова уравнения сферху, никак НЕ приводит к заключению об их недоказуемости/неразрешимости в принципе. В арифметике (и может в счётных областях вообще) мы уверены, что недоказуемость (в любой (!) аксиоматической системе) не приводит к неразрешимости, то бишь всегда сможем выбрать или узнать верное, истинное утверждение, несмотря на его недоказуемость. К примеру, никто не сомневается, что гипотезы Римана или Гольдбаха или простых-близнецов уже обладают однозначным ответом, только мы пока того не знаем. А вот в несчётных областях уже не так - существование верной, истинной альтернативы как-бы НЕ гарантировано

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 02 Янв 2012 21:50 #6

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
Курьёз заключается в том, что наши моски не могут мыслить/вообразить, не знают что делать с отрицаниями/альтернативами конечных и счётных утверждений. Альтернативы такие представляются совершенно бессмыслеными и невозможными, потому и немыслимыми, несуществующими. Если существует n, значит существует и следующее, n+1, и между ними другого нет и не может быть. Однако таким образом, то бишь минимальным (бОльше уж некуда) отличием +1 от предыдущего, нельзя достучаться до континуума, который выглядит неопределённо отдалённым. Чем, как заполнить этот пробел? А никак, дело вкуса и произвола, однозначного существования, как в счётных областях, принципиально НЕ бывает.

В этом смысле очень интересно знать почему (то бишь точные детали метода вынуждения/форсинга Коэна), черт побери, аксиома выбора оказывается логически недоказуемой/независимой? Как она якшается со счётными областями и как с несчётными?

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 00:14 #7

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
К примеру, никто не станет возиться с отрицательным вариантом, что диофантово уравнение, которое привел сверху ув. Владимирович, всегда имеет решения в натуральных числах, хотя такой вариант НЕ противоречит любой непротиворечивой теории Т. А вот с отрицанием гипотезы континуума возятся на полном серьёзе

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 06:58 #8

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
Хайдук написал(а):
А вот с отрицанием гипотезы континуума возятся на полном серьёзе
Ну потому что это в разы более фундаментальное утверждение

Каждому - своё.

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 06:58 #9

  • Автор: infolio
  • Автор: infolio's Avatar
Бог в принципе может делать все, что угодно, даже забанить самого себя, но тогда угодит в руки диалектической логики (противоречий) Гегеля, тем самым выстрелиф себе в ногу и сыграв на руку последнего в подтверждении фундаментальности и самодостаточности его (Гегеля) подхода
Бог в принципе может делать все, что угодно, даже забанить самого себя, но ... любое предположение или высказывание ЗА Бога верующие (в т.ч. и математики, которые всерьёз попытались достучаццо= знакомый и подходящий термин= до осмысленности сложного Мира) настоящие не считают, не высказываются и не будут.
Что касается
диалектической логики (противоречий) Гегеля
теоремы Гёделя о неполноте арифметики
доказательства совместимости утверждений теории
множеств: метод Гёделя, метод форсинга Коэна, метод
булевозначных моделей, метод Френкеля — Мостовского. При
помощи этих методов строятся модели для многих
известных гипотез теории множеств: обобщенной континуум-гипо-
континуум-гипотезы, отрицания континуум-гипотезы, отрицания аксиомы
выбора, гипотезы Суслина и ее отрицания и т. д.
не говоря уже о понятиях целых чисел (Диофантовых сечениях, уравнениях...)
то при малейшем желании с учетом понятия Вселенсконатурального вместо полноты - да простят меня эти понятия- худосочность, вместо беспредельности- предельная очевидность, вместо противоречий- четкая кратность однозначностей и т.п. выскочат (пользуясь вашей терминологией ув. Учитель учителя бывшего) как из табакерки.
И курить лишнего не понадобится, всевозможные незыблемости типа
В этом и состоит конёк теоремы Гёделя о неполноте арифметики: (якобы) очевидные, бесспорные истины всегда оказываются за пределами аксиом. В заметном отличии, не менее недоказуемая из аксиом гипотеза контимуума и многие другие далеко НЕ напрашиваются как очевидные. Почему, черт побери?
становятся для желающих предельно очевидными.
Предельность и очевидность в том, что математика нынешняя, даже на ваш взгляд, не запрещает оперировать с понятиями множества мощности 0 а так же с мощностью АЛЕФ. (Как по мне, так они близнеца братья, одинаково выдуманные и одинаково недостижимые и несуществующие).
Новый конёк - понятие миллионоричной или стремящейся к алефоричной системы счисления позволяет все прочие натуральные кроме ДО Вселенсконатурального отодвинуть за пределы нынездравствующей вселенной.
Тудаже успешно задвигаются и все отрицательные и рациональные, не говоря уже о всяких прочих иных числах.
Просто напросто представьте мысленно что вся числовая ось - это окружность, да такого бесконечнолюбимого вами радиуса, что не только в масштабах Земли или/и Солнца она выглядит прямой, а и во вселенских масштабах (просто напросто потому что на ОДНОМЕРНОЙ оси умещаются все дискретные элементарнонеделимые элементы значков-знаков-цифр-букв-слов-чисел+ части будущих элементарных частиц т.н. нынездравствующего пространственно-временного континимума который во Вселенских масштабах с точностью до 10 в минус 50й естественно обозначается КОНЕЧНЫМ набором натуральных чисел БЕЗ нуля + всевозможные осмысленные и бессмысленные комбинации-перестановки слов+букв+цифр+чисел в соответствии с рациональными и иррациональными сознательными и бессознательными-подсохнательными во сне и наяву образами и желаниями типа промелькнувшего в сознании и произнесенного, как когда-то в Философии науки сказал Крест, подойдя к холодильнику...
Итак, Фсе-фсе, что может, могло и имеет место быть в нашей Вселенной может быть описано, озвучено, осмысленно только конечным набором целых!!! чисел, не превосходящим Супервселенсконатуральное= факториалу Вселенсконатурального. А ваше дюбимое N=N+1, а также всевозможные рициональные и иррациональные + трансцедентные остаются ЗА пределами Вселенной.
Это во Власти Всевышнего, в Вечности до и после всяких сингулярностей, до и после человеческих цивилизаций.
Неужели так трудно представить, что если взять за общепринятый масштаб единицы, способной пересчитать Фсе-все перечисленное тот самый предельно малый синус=тангенсу = 1/Вселенсконатуральное, то совершенно без надобности будет привлечение дробей, нулей и даже отрицательных чисел.

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 07:19 #10

  • Автор: infolio
  • Автор: infolio's Avatar
Хайдук написал(а):
А вот с отрицанием гипотезы континуума возятся на полном серьёзе
Ну потому что это в разы более фундаментальное утверждение

Такое пропустить мне трудно. (Это почти точное попадание в огород КРАТНОСТИ сущего, рационального и иррационального).

Если кто-то прочитал весь предыдущий пост или оценил как МНОГОБУКАФ, то смысл его в том, что
1) выбираем ДОСТАТОЧНОЕ количество целых положительных натуральных чисел, которые однозначно позволят описать самое маленькое значение любой нынездравствующей функции тригонометрической, логарифмической или любой иной алгебраической(например, как в прошлом тысячелетии позволял калькулятор Электроника Б-33 оперировать с числами 10 в минус 99 степени и 10 в 99й.)
2)вычисляем факториал от общего количества этих чисел.
3)обозначаем 1 то число, которое сейчас соответствует 0, т.е. это середина всех супервселенсконатуральных.
Все прошлое и будущее, как и само собой нынешнее может быть описано, обсчитано формализовано с заранее определенной точностью, с конкретной, а не как любит выражаться Хайдук, с любой, сколь угодно точной.

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 07:32 #11

  • Автор: штащдшщ
  • Автор: штащдшщ's Avatar
Пойду куда послали в стиле форсинга

Т. Йех
Теория множеств
и метод форсинга
##*¦**#***¦**#
Перевод с английского
В. И. Фуксона
Под редакцией
В. Н. Гришина
Издательство «Мир»
Москва 1973

Пойду почитаю (там даже буквы узнаваемо и на моем компе воспроизводятся...) h t tp://booklists.narod.ru/M_Mathematics/MA_Algebra/MAa_Abstract_algebra/J_ex_T.___T.J.Jech___Teoriya_mnozhestv_i_metod_forsinga__Mir_1973__ru__T__152s__MAa_.1.htm

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 17:13 #12

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
Vladimirovich написал(а):
потому что это в разы более фундаментальное утверждение
Причем тут якобы фундаментальность? Попросту никто НЕ может себе представить, что у Вашего уравнения всегда будут решения, это идёт в пику всему опыту и интуиции математиков. Допущение такого непротиворечивого для любой формальной теории Т утверждения приводит к т.н. нестандартным моделям арифметики, которые сугубо неинтуитивные и скорее бесполезные, чисто формальные.

В отличие, отрицание континуум-гипотезы вполне якшается с неопределённостью скачка за пределы наращивания мощности (конечных/счётных) множеств путём минимального базового +1. Сам Поль Коэн думал, что в конце концоф гипотеза континуума должна оказаться НЕверной, так как скачок казался ему слишком большим, то бишь должны существовать промежуточные мощности. Однако до сих пор никому не удалось предложить удовлетворительные механизмы для генерации таких мощностей, интуитивно как-бы непосредственно следующие за счётным механизмом +1. Любой такой механизм был бы новой, разной идеей по сравнению с +1 и значит встанут те же самые проблемы, что и с континуум-гипотезой, то бишь с её новой, разной идеей о мощности множества всех подмножеств. По-видимому, интуитивное представление об арифметическом количестве +1 нельзя расширить/экстраполировать на определение любых мощностей как классов эквивалентности на всех множествах, порождаемых взаимно-однозначным соответствием/морфизмом/mapping-ом между теми же множествами

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 17:17 #13

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
Хайдук написал(а):
Любой такой механизм был бы новой, разной идеей по сравнению с +1 и значит встанут те же самые проблемы, что и с континуум-гипотезой, то бишь с её новой, разной идеей о мощности множества всех подмножеств.
Должен сказать, что здесь я уже не понимаю Вашу мысль.
Каждому - своё.

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 17:39 #14

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
Мощность множества элементов НЕ есть количество/число этих элементов, а определяется как-бы качественным понятием/концепцией о взаимно-однозначном (биективном) соответствии между элементами любых множеств. Можем всякими разными, логически как-бы НЕ связанными между собой способами задавать/постулиравать существование всяких множеств, к примеру те же самые аксиомы больших мощностей/кардиналов. Как понятия/идеи/интуиции аксиомы эти не имеют ничего общего с элементарным понятием +1 счётной интуиции/арифметики

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 17:47 #15

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
Хайдук написал(а):
Мощность множества элементов НЕ есть количество/число этих элементов, а определяется как-бы качественным понятием/концепцией о взаимно-однозначном (биективном) соответствии между элементами любых множеств. Можем всякими разными, логически как-бы НЕ связанными между собой способами задавать/постулиравать существование всяких множеств, к примеру те же самые аксиомы больших мощностей/кардиналов. Как понятия/идеи/интуиции аксиомы эти не имеют ничего общего с элементарным понятием +1 счётной интуиции/арифметики
Понятие +1 далеко не элементарно. Оно рождается из понятия упорядоченности на множестве и вообще говоря, постулируется.
Я бы тут не стал доверять своей интуиции, когда речь идет о бесконечных множествах.

Каждому - своё.

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 17:59 #16

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
Vladimirovich написал(а):
Понятие +1 далеко не элементарно. Оно рождается из понятия упорядоченности на множестве и вообще говоря, постулируется.
Пожалуй, хотя должно быть несколько эквивалентных способов заполучить +1


Vladimirovich написал(а):
Я бы тут не стал доверять своей интуиции, когда речь идет о бесконечных множествах
Не понял-с

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 18:15 #17

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
Хайдук написал(а):
Vladimirovich написал(а):
Я бы тут не стал доверять своей интуиции, когда речь идет о бесконечных множествах
Не понял-с
Я имею в виду, что Вы постоянно апеллируете к интуиции.
Для меня континуум-гипотеза не может быть предметом интуитивных размышлений.
При этом она носит несомненно фундаментальный характер
Каждому - своё.

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 18:39 #18

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
Vladimirovich написал(а):
континуум-гипотеза не может быть предметом интуитивных размышлений
А как иначе заниматься математикой?
Раздумывая интуитивно методом вынуждения, Коэн в конце концоф пришел, видимо, к пониманию, что можно по разному заполнить пробел перед континуумом или вовсю забанить того, как предлагала сама гипотеза

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 19:58 #19

  • Alexander
  • Alexander's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 10151
  • Thank you received: 103
  • Karma: 11
Хайдук написал(а):
А вот в несчётных областях уже не так - существование верной, истинной альтернативы как-бы НЕ гарантировано
Полно подобных утверждений в матанализе. Например, непрерывная функция имеет минимум и максимум на отрезке...

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 03 Янв 2012 20:17 #20

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
НЕ гарантировано, Александр, но порою бывает, смотря на проблему

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 04 Янв 2012 08:50 #21

  • Alexander
  • Alexander's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 10151
  • Thank you received: 103
  • Karma: 11
Хайдук написал(а):
Если существует n, значит существует и следующее, n+1, и между ними другого нет и не может быть. Однако таким образом, то бишь минимальным (бОльше уж некуда) отличием +1 от предыдущего, нельзя достучаться до континуума, который выглядит неопределённо отдалённым.
Это определенно кривая логика. Используя +1 даже до счетного множества нельзя достучаться, точнее, если можно до счетного, то можно и до континуума (осуществив +1 континуумное число раз)

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 04 Янв 2012 10:33 #22

  • Автор: infolio
  • Автор: infolio's Avatar
+64
Это определенно кривая логика. Используя +1 даже до счетного множества нельзя достучаться, точнее, если можно до счетного, то можно и до континуума (осуществив +1 континуумное число раз)
Вот - вот, тут меня за это и размазывали непрерывно и многомерно, потому что еще в прошлом тысячелетии возмутился тем, что число 1 существует, числа 0,(9) = 1 = 1,(0) существуют, а вот число 0,(9) НИЗЗЯ чтобы существовало, как натуральное, иначе даже Гармонический ряд сходиться будет (например даже сумма всех подряд конечных сумм будет меньше, чем (9) бесконечный набор девяток (даже не 256 ричной системы счисления)
З павагай , дзякую

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 04 Янв 2012 10:54 #23

  • Автор: infolio
  • Автор: infolio's Avatar
Понятие +1 далеко не элементарно. Оно рождается из понятия упорядоченности на множестве и вообще говоря, постулируется.
Я бы тут не стал доверять своей интуиции, когда речь идет о бесконечных множествах.

+
тем более ЧУЖОЙ.
Хотя я лично 100% доверяю этому понятию как базовому или/и фундаментальному особенно когда речь идет о множестве множеств нулевой мощности!!! или о множестве множества подмножеств или о существовании бесконечности не только Суслина ТОЛЬКО на том основании, что там, в бесконечности, никто пока не бывал (короче, ТАМ точно правят бал демоны всякие, которых какой то демон тоже пересчитает... когда нибудь фундаментально, жаль только в пору такую прекрасную ...)
З павагай

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 04 Янв 2012 14:08 #24

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
Дорогой infoliokrat, я уже просил Вас пользоваться корректно цитированием.
Без этого очень трудно выделить Вашу мысль, и как результат, трудно отвечать.

Каждому - своё.

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 04 Янв 2012 15:40 #25

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
Alexander написал(а):
Используя +1 даже до счетного множества нельзя достучаться
В принципе это так, но экстраполяция до счётного довольно естественная, без пробелов - искать промежуточных мощностей никому в голову не приходило.

Alexander написал(а):
если можно [достучаться через +1] до счетного, то можно и до континуума (осуществив +1 континуумное число раз)
Дело в том, что не будете знать когда достучались, дабы остановиться. Посредством аксиомы выбора можно вполне-упорядочить континуум (а также любое множество) и тогда тот будет выглядеть как последовательность +1 натуральных чисел. Однако это ничего не говорит о том где на шкале мощностей может находиться континуум.

Сама эта шкала итеративная, тавтологичная и неинформативная без содержательных, нетривиальных гипотез/предложений разных (несчётных) мощностей, наподобие континуума. Первую несчётную мощность алеф_1 определяют как мощность ВСЕХ ... счётных прибавлений (т.н. ординалов) +1. Подобным образом определяют следующую, алеф_2, как мощность ВСЕХ прибавлений +1 мощности алеф_1 и т.д.
Ясно, что само по себе занятие такое не имеет особой ценности.

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 04 Янв 2012 21:03 #26

  • Alexander
  • Alexander's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 10151
  • Thank you received: 103
  • Karma: 11
Почему это не буду знать?
Во-первых, мощностью континуума обладает множество всех подмножеств счетного множества, и умея прибавлять +1 более счетного числа раз я составлю список и буду на него оглядываться

А во-вторых, не беда даже если и промахнусь слегонца, так даже континуумное число множеств мощности континуума все равно имеет нужную мощность

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 04 Янв 2012 22:04 #27

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
Alexander написал(а):
мощностью континуума обладает множество всех подмножеств счетного множества, и умея прибавлять +1 более счетного числа раз я составлю список и буду на него оглядываться
Список чего? Так ведь, по Коэну, не будете знать какому несчётному множеству соответствует континуум. Известно только (Кёниг, 1905), что континуум НЕ может быть т.н. предельной/сингулярной мощностью, как алеф_, и т.д.

Alexander написал(а):
континуумное число множеств мощности континуума все равно имеет нужную мощность
Верно, что объединение
М(k) континуумного числа k дизъюнктивных (непересекающихся) множеств М мощности континуума имеет ту же самую мощность континуума, но все равно не сможете её узнать, потому что она может быть любым регулярным алеф-ом. Лишь уже первая недостижимая мощность будет наверняка бОльше континуума

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 05 Янв 2012 00:43 #28

  • Alexander
  • Alexander's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 10151
  • Thank you received: 103
  • Karma: 11
Хайдук написал(а):
Список чего? Так ведь, по Коэну, не будете знать какому несчётному множеству соответствует континуум.
Как это чего? Набор бесконечных последовательностей типа 10001101010101010101000101... Вполне определенный набор, разные элементы легко различимы. Буду выбирать из него последовательности и осуществлять Ваше +1
Как только все выберу, там, куда я делаю +1, окажется точно континуум. И никаких Коэнов

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 05 Янв 2012 05:16 #29

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
Видимо, нужно уточнить о чем говорим и чего добиваемся. То, о чем хлопочете выше, скорее не список/набор (по смыслу слова списки не более, чем счётные
), а принципиальная возможность вполне-упорядочить континуум (и любое множество), что оказывается возможным с помощью аксиомы выбора.

Может я погорячился, когда утверждал, что механизмом +1 не можем получить множеств бОльших, чем счётных. Счётную мощность алеф_0 и последующие несчётные мощности алеф_1, алеф_2, алеф_3, ... алеф_, алеф_+1, алеф_+2, ... алеф_2, алеф_2+1, ... и т.д. получаем именно такой естественной экстраполяцией механизма +1. По существу этот механизм порождает индексы алеф-ов справа от _ . Индексы эти суть не что иное, как т.н. ординальные/порядковые числа или короче ординалы. Такой процесс наращивания индексов-ординалов и мощностей принципиально неограниченный, конечно, но и ... немного тривиальный из-за своей тавтологичности. К примеру, алеф_1 есть мощность (всех) не более, чем счётных ординалов, за которыми следует первый/наименьший несчётный ординал мощности как раз алеф_1. алеф_2 есть мощность (всех) ординалов мощности не более, чем алеф_1, за которыми следует первый/наименьший ординал мощности именно алеф_2 и т.д.

Таким образом ординалы-индексы и мощности оказываются вполне-упорядоченными, то бишь похожими на натуральные числа +1 с их дискретным порядком/топологией. Так как континуум тоже можно вполне-упорядочить, можно и должно поискать ему место в йерархии сверху ординалов-индексов и мощностей. Я нахожу скорее НЕудивительным то, что однозначного места найти НЕ удаётся - континуум может занять почти любую ступеньку на этой лестнице. По мне, это как-бы потому, что способ построения континуума имеет мало общего со способом +1 и его экстраполяциями, приводящими к вполне-упорядочению ординалов и мощностей

Бесконечность, алефы и континуум-гипотеза 05 Янв 2012 21:21 #30

  • Автор: infolio
  • Автор: infolio's Avatar
Как только все выберу, там, куда я делаю +1, окажется точно континуум.
Это мне напомнило, как на КаспаровЧесс в теме Философия науки мне Владимирович написсал, что как только речь идет о сколь угодно малой но наперед заданной дискретности (счетности всего с наперед заданной точностью)то рука тянется к пистолету...
Это было когда я предложил пронумеровать все-все числа от 0 до 1 простейшим однозначным способом, сопоставляя любому набору значащих цифр после запятой такой №, который получается при записи всех значащих цифр в обратном порядке, а для сравнения с Диагональным методом Кантора записывать каждый получающийся таким образом № обыкновенной бесконечной последовательностью 11111...
Например число 0,10001101010101010101000101 будет соответствовать № 10100010101010101010110001, что конечно же можно и успешно обозначить таким количеством только одной цифры. Естественно для условного обозначения таких длинных последовательностей из 1 цифры никто и ничто не запрещает использовать такие обозначения как алеф_0 и последующие несчётные мощности алеф_1, алеф_2, алеф_3, ... алеф_, алеф_+1, алеф_+2, ... алеф_2, алеф_2+1, ... и т.д. коль смысл таких обозначений однозначно определен (яко бы).
Тогда высказывания типа
Как только все выберу, там, куда я делаю +1, окажется точно континуум.
будут с некоторой вероятностью успешно заменены такими как ничто не помешает применив алефоричную систему счисления считать возможным континуум такой если не сосчитать, то считать счетным.
Ибо ничто не мешает в качестве единицы взять сегодняшнее Вселенсконатуральное. Повторяюсь: для дискретной нынеизмеренной Вселенной. (А для классической математики никто не мешает брать несчетные множества за запредельными несчетными границами, за гуголом, за гугоплексом, за инфолиогуголплексом - последний - это не мой термин.) З павагай к дочитавшим до инфолиогуголплекса. Ведь остаются же в наших головах прямые непрерывные линии, идеальные окружности, непрерывно текущее время (хотя даже йоктосекунды никто точно не сосчитал в обыкновенном году, а не то что в високосном или за время всего-навсего нескольких жизней Солнечных Систем) и прочие выдумки чистейшей воды в приложении к нынеизвестному понимаемому Миру, см. сабж.
Moderators: Grigoriy
Рейтинг@Mail.ru

Научно-шахматный клуб КвантоФорум