infolio написал(а):Десятичными или двоичными цифрами нельзя пронумеровать/пересчитать отрезок, как показывает диагональный аргумент. Только порядковыми числами (т.н. ординалами) 1, 2 ... до , +1, +2, ... 2, 2+1, ... 3, ... ^2, ... ^, ... omega, omega+1, ... можно вполне-упорядочить, но НЕ пересчитать отрезок, так как omega уже НЕ счётно.

infolio написал(а):Не путайте сходимость бесконечных цифр после запяты с расходимостью тех же цифр слева от заптяты. Бесконечное число цифр в одной единственной бесконечной строке всегда счётно, но в целом таких строк несчётно много и потому нельзя составить список этих строк, как показывает диагональный аргумент

Хайдук написал(а):А это что такое?

Vladimirovich написал(а):Два конца по два яйца...

Хайдук написал(а):Vladimirovich написал(а):Это счётное порядковое число или ординал в последовательности 1, 2, ... , +1, +2, ... 2, 2+1, ... 3, ... ^2, ... ^, ... omega, omega+1, ... Можно думать, что после того, как впервые исполнили 1, 2, ... , продолжили дальше и исполнили ещё раз +1, +2, +3, ..., то бишь достучались до 2 , потом снова +1, +2, +3, ..., достигая 3 и т.д. Ясно, что таким путём достучимся до ., что записываем как ^2, дальше доберёмся до ^3 и в конце концов до ^. Все это просто удобная и понятная из арифметики запись числа/количества счётных итераций +1, +2, +3, ... Такие итерации НЕ ограниченные и обозначений для всех выдумать нельзя, конечно.

Если подумать о всех счётных таких итерациях, то за ними должен последовать первый несчётный ординал, обозначаемый omega-ой. Он и есть первая несчётная мощность алеф_1

Хайдук написал(а):Способ счета мне как-то не очень... Да и равномощно это . В чем смысл?

По мне способ счёта естествен, хоть мощность и остаётся счётной . Именно такой итеративный/тавтологический счёт по счётным ординалам делает наглядным существование первой, наименьшей несчётной мощности алеф_1, непосредственно следующей за счётными ординалами и совпадающей с первым несчётным ординалом omega (точнее omega1, так как выше я заменил первый счётный ординал, следующий сразу за натуральными числами, саму omega-у, с ). Ординалы или порядковые числа вполне-упорядочены и этим похожи на натуральные числа. Потому у них любое множество обладает первым, наименьшим элементом. Так как любое множество можно вполне упорядочить аксиомой выбора, значит можно сопоставить этому множеству некоторый ординал/порядковое число. Мощность ординала становится мощностью множества. Оказывается, что (вполне-упорядоченному) континууму нельзя сопоставить однозначно некий ординал. По мне это потому, что способ образования ординалов +1 никак не похож (суть независимая идея) на способ образования континуума как множество из подмножеств натуральных чисел. Даже мутен переход от счётных ординалов типа ^ к первому несчётному таковому omega1, но с лёгкой руки принципа вполне-упорядочения существование последнего оказывается гарантированным и непротиворечивым, хоть и довольно немотивированным, в отличие от континуума.

При отсутствии ординалов с ихним вполне-упорядочением множества становятся несравнимыми по ... мощности, нельзя сказать кто бОльше и кто меньше

cпособа подсчета Фсех чисел от 0 до 1 точности какой то. Я не возражаю: если просто с заранее заданной или сколь угодно малой погрешностью все числа этого отрезка числовой оси подсчитывать, то их Фсе удастся сосчитать ВСЕМ, даже приверженцу классики, ув. Хайдуку. Но до сих пор не понимаю, почему нельзя подсчитывать все числа отрезка числовой оси от 0 до 1 не подряд, точка за соседней точкой, а путем подсчета в каждом отрезке равноудаленных на 1/к долю (где к- основание выбранной нами ЛЮБОЙ целочисленной системы счисления, можно и десятичной, можно и двоичной? еще лучше -ЕДИНИЧНОЙ !!! При этом очевидно, что НОМЕРА порядковые точек в каждой системе счисления будут свои, индивидуальные). Так для десятичной точки выберем следующие: 1я= 0,1 вторая=0,2 .. №9 = 0,9 ВНИМАНИЕ, а 10й точкой будем считать =0,01 для 11й=0,11 для 12й=0,21 .. для №98 =0,89 для №99 =0,99 далее для 100й, 101й ... 999й соответственно точки чисел 0,001 0,101 ... 0,999, далее числа 0,0001 и 0,1001 получат №10000 и 10001 и так далее.
А то, что нет никакого предела все возрастающей точности пересчета Фсех точек этого отрезка как раз и соответствуей аналогии, что нет никакого найбольшего НАТУРАЛЬНОГО числа. Вот и получится, по выражению Хайдука, что можно наглядно достучаццо до ЛЮБОГО числа, получаемого по любой формуле-функции - будь то иррациональной или трансцедентной...

Мало того, при таком способе пересчета точек отрезка от 0 до 1 абсолютно ОДИНАКОВО мы будем приближаться как к точному значению корней или трансцедентных чисел, так и к ОБЫКНОВЕННЫМ, считающимся легко счетными дробям типа 1/3 или 2/7 и т.д.

Тут видится только одно препятствие, что так бесконечность в степени бесконечность ТОЖЕ получит свой номер, при этом соседом слева будет №(бесконечность^бесконечность)-1 а соседом справа будет №(бесконечность^бесконечность)+1 и, соответственно, наоборот, какое бы число не выбрали. типа ПИ-3, или иррациональное в степени транцедентное, то оно никуда не денется, будет сидеть в диапазоне от 0 до 1 и до него можно достучаццо мысленно при такой нумерации или 1:1 соответствии.

З павагай к читателям темы (и ПОчитателям, когда данная тема отпочковалась в самостоятельную, то постов было больше чем просмотров в 2,5 раза)

Vladimirovich написал(а):так это речь идет не о кардиналах, а об ординалах. Грубо говоря, каждому способу упорядочить множество данной мощности (обычно речь идет о счетной) соответствует свое ординальное число. См. en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number

Кстати говоря, ув. Хайдук: правильно писать не 2, а 2 (так как умножение ординалов некоммутативно, как, кстати говоря, и сложение).

Слава Всевышнему, что объявился наконец эксперт в лице ув. Сергея - всегда можно чему-нибудь научиться

Никогда не задумывался об умножении именно ординалов, on top of my head существенных применений того как-будто не найти, а вот сложение их очевидно некоммутативно, да. На самом деле, должно 2 = 2+2+2+... ( число раз) = , а 2 = +. По мне, гораздо интереснее умножение (но НЕ сложение) кардиналов/мощностей, где маячит много нетривиальных, открытых и даже неразрешимых/независимых проблем.

Serge_P написал(а):Yes, к примеру можно сосчитать сперва чётные числа 2, 4, 6, ... , а потом нечётные 1, 3, 5, ... и значит приплыли НЕ к , то бишь , а к .2, то есть 2

Вы не подскажете, какие ординалы или кардиналы насчитаются, если при вышеупомянутой нумерации все-все, включая бесконечные периодические и непериодические, десятичные дроби в диапазоне от НУЛЯ до 1 пересчитываются ? З павагай и паклонам

infolio написал(а):Наверняка насчитаются все счётные ординалы, а вот каких несчётных ординалов и кардиналов насчитается определить принципиально нельзя - как раз в этом и состоит неразрешимость гипотезы континуума

Я знаю по меньшей мере об одном существенном употреблении (счётных) ординалов: индукцией до некоторого счётного ординала, т.н. эпсилон, Генцен доказал непротиворечивость арифметики (Пеано), при этом выходя, разумеется, за общепринятые конструктивные пределы теоремы Гёделя о недоказуемости непротиворечивости. Следующая последовательность счётных ординалов даёт представление насколько удалён/большой этот (все ещё счётный, однако) ординал,

, + 1, + 2, …, ·2, ·2 + 1, …, ^2, …, ^3, …, ^, …, ^^, …, 0, …

Так может и он насколько удалён/большой этот (все ещё счётный, однако) ординал тоже сосчитается, ему же деваться то некуда, коль сосчитываюся бесконечные периодические дроби наравне с иррациональными, № свои они получают одним и тем же способом- задом наперед? Ведь, например, между каждыми бесконечными еще более близкими чем 0,(31) и 0,(32), например, сколько угодно , + 1, + 2, …, ·2, ·2 + 1, …, ^2, …, ^3, …, ^, …, ^^, …, 0, все равно сосчитаться может, коль они счетные близнецы? З павагай

infolio написал(а):Иррациональные (дроби) НЕ сосчитываются, дружище, ни задом наперёд, ни ... п***ой назад Сосчитать значит выложить список с пронумерованными 1, 2, 3, ... строками иррациональных, а диагональный метод показывает, что всегда найдётся иррациональных, которых будет оставаться за бортом любого такого списка

Так это же девальвируемый диагональный метод показывает, что всегда найдётся такое число, построенное из РАЗНЫХ точнее различных цифр, которые НЕ совпадают с цифрами, имеющимися в СПИСКЕ, составленном В СТРОГО ВОЗРАСТАЮЩЕМ порядке и разными цифрами, а не только одной единственной. Это раз
Предположим что задом наперёд, ни ... п***ой назад , так последняя цифра числа записывается первой цифрой номера, т.е. всего - навсего не номер сначала в строке списка, а сначала число, которое и определяет НОМЕР в списке, кроме того ФСЕ числа, хоть конечные десятичные дроби с хваленой известной записью бесконечной последовательности незначащих нулей в хвосте числа, хоть бесконечные периодические, хоть непериодические, абсолютно любые попадают в такой список совершенно одинаково однообразно, ибо №, т.е. место в списке определяется с первой (с последней) до последней (до первой) ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ СПОСОБОМ, т.е. СОСЧИТЫВАЮТСЯ абсолютно одинаково, только попадают в такой список любые числа именно такие, которые находятся в сосчитываемом отрезке. Если брать другой отрезок, то и разбивка на очередность подсчета будет другая, если брать другое основание системы счисления - то тоже очередность единственным образом в формируемом списке будет иная, но однозначная! Это два
Третий довод ЗА несостоятельность ДИАГОНАЛЬНОГО числа нужен или и так понятен, дружище Хайдук?

Что скажет рефери? З павагай

Да, к слову, при диагональном методе весь список не выкладывается, а просто ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ, как и диагональное число, которое выбирается скольугодно многими способами, так как для каждой цифры ОДНОЙ-единственной для диагонального числа годится любая иная, только НЕ ТАКАЯ ЖЕ.

infolio написал(а):infolio написал(а):Строго возрастающий порядок никак НЕ обязателен, дружище, произвольный порядок никак не хуже. Вы правильно заметили, что достаточно различение одной-единственной цифрой по диагонали, чтобы такое диагональное число НЕ совпадало ни с каким числом из списка; стало быть список НЕ полный, любой список будет неполным из-за своего диагонального числа. Значит любым списком нельзя пересчитать иррациональные, то бишь они ... несчётные

Дружище, поймите наконец, что пересчёт или не десятичных дробей НЕ имеет ничего общего с записью их любыми цифрами

сам по себе, без дальнейших рассуждений и при соблюдении требования 1 строка списка = 1 число
для ВАС, точно так же он не имел бы и для меня, если бы не придуманный найденный непризнанный (выкинутый из ВИКИ русскоязычной) способ зашифровать обозначить однознаяно, т.е. записывать в списке диагонального метода любое число от 0 до 1 в виде деятичной дроби в одну строку. Таким образом, по диагонали таких чисел, НЕЛЬЗЯ никоим образом вместо одной и той де цифры записывать точно такую. А если добавлять к каждому числу одну цифру, то Это всего навсего приводит к увеличению на один и тот же знак бесконечного числа этих цифр в каждом одном числе, т.е. к добавлению еще одной равноценной строки в списке натуральных чисел. Что и позволяет ТА ЖЕ самая, что моя что ваша, бесконечность списка. Но это только ПЕРВОЕ, связанное чисто с обозначением чисел недоверие к Диагональному методу.
Т.е.ВАША совершенная железобетонная истина (как выражался ДОС или РР)
истинная ВНЕ Диагонального метода, но для Диагонального метода, например применение двоичной системы вызывает необходимость в диагональном числе ОДНОЗНАЧНО первую цифру оставлять неизменной, ведь не только в первом числе нашего списка, а и во всех строках=числах списка в двоичной системе счисления приходится оставить 1, т.е. НИЧЕГО иного не остается, первый 0 ведь считается незначащим? З павагай к любой системе счисления

Строго возрастающий порядок никак НЕ обязателен, дружище, произвольный порядок никак не хуже.если цифра в записи чисел НЕ одна, если способ определения № никак не связан с числами и если первому числу не должно соответствовать только одно ЕДИНСТВЕННОЕ, а не произвольное число, (это только ДВА инфолиовозражения: связанные с обозначение и назначением но не со значением для списка Диагонального метода).
Вы правильно заметили, что достаточно различение одной-единственной цифрой по диагонали, чтобы такое диагональное число НЕ совпадало ни с каким числом из списка; следовательно, как Учитель учителя, ВОЗМОЖНО согласитесь, что в двоичной системе счисления во всех числах первой цифрой будет ТАКИ только 1 единственная 1 ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ № ЧИСЛА , а при записи дробей естественно что могут быть как 1 так и 0. Но в предлагаемом однозначном для любой конкретной системы счисления построении списка Для Диагонального метода, № и число связаны однозначно!
что что, а это привлекательное утверждение заключение, с учетом того, что как в детском журнале спорили мальчики Сева и слава, смотревшие с противоположных сторон на котят сидящих между ними и доказывавшими друг другу: мой котенок слева, мой справа...

Дружище, дроби между 0 и 1 в двоичной записи имеют вид 0,01100101110010000111001101010000110101111001... Слева от запяты всегда 0, а справа любые бесконечные последовательности нулей и единиц и все нули - значащие. Каким бы не был (счётно-бесконечный) список таких последовательностей (следующая под предыдущей столбом), достаточно поменять все диагональные 0 на 1 и 1 на 0, чтобы заполучить последовательность/дробь за пределами этого бесконечного и счётного списка. Значит двоичных дробей между 0 и 1 сосчитать НЕЛЬЗЯ - вот и все, дружище, проще не бывает

Хайдук написал(а):Это так и есть.

Хайдук написал(а):Не понял, а какие там есть проблемы с умножением кардиналов (по крайней мере, если от Аксиомы Выбора не отказываться)?

Так нет возражений, это я написал после того как в 5 утра в командировку жена уезжала и мысленно прикинув, что последняя цифра в двоичной системе даже в бесконечных числах будет 1, вот и спутал последнюю с первой. Значит в Диагональном методе (о Учитель учителя, я это без подкалывания только сейчас сообразил) Все последние подряд единицы заменяются по вашему алгоритму на НУЛИ, которые будут то НЕЗНАЧАЩИЕ!!
Но даже без этого перла Диагональный метод выглядит слабовато: возьмем взамен ПИРАМИДАЛЬНЫЙ: В вершине пирамиды два числа: 0 и 1, на следующем витке уже четыре числа 00 01 10 11 и т.д. И на какую грань пирамиды засунется диагональное число? Для любого найдется ОДНОЗНАЧНАЯ дорожка (подумаешь, что с другой стороны пирамиды...) Но это Такие же диагональноподобные кажущиеся верными рассуждения упрощенно, и всего навсего ВТОРОЕ соображение в пользу девальвации его. Осмелюсь напомнить ПЕРВОЕ: то же что и у вас, коль числа бесконечные и список бесконечный, то вывод о СЧЕТНОСТИ равноправен выводу о несчетности. А про третий вы сознательно не спросили, помня что на него удочку можно попасться.
ТРЕТИЙ довод такой: Для любого одного, как и для любого количетва диагональных, всегда определятся ОДИН единственный № места ему в списке при вышеупомянутом способе формирования номеров.
Итак: вывод о НЕсчетности с помощью Диагонального метода сделан был без учета (в то время) возможных РАЗНЫХ обозначения значения и назначения диагонального числа поэтому так и трактовался: от обратного. Для получения желаемого результата о несчетности. А для счетности можно, выходит, и все наоборот рассматривать:
1) если записываем в списке ТОЛЬКО номера, то каждый № начинается с 1 (в двоичной системе).

2) если обозначаеM любое число только ОДНОЙ цифрой- 1 знаком, то его НЕЛЬЗЯ заменить на иной (тривиально)

3) если номер определяется обратной последовательностью цифр, со строгим 1:1 соответствием, то для любого числа будет только один № (в том числе и для Диагонального). З павагай

Serge_P написал(а):Речь о декартовом произведении кардиналов, на что указывает корифей Saharon Shelah в qps.ru/ji2IVстатье, shift from cardinal exponentiation to the more general notion of an infinite product of infinite cardinals (c)

Слава Богу, следствия бывают довольно нетривиальными даже с Аксиомой Выбора. Полагаю, что без неё хаос был бы полным и потому тривиальным - мощности можно наделить почти любым частичным порядком (по Йеху), то бишь они оказываются несравнимыми и т.д.

infolio написал(а):Последней цифры справа у бесконечной последовательности НЕ бывает, дружище, пора уже это усвоить. Значащие или не нули НЕ имеет никакого значения для пересчёта (или не) строк последовательностей.

infolio написал(а):Каждый номер конечный, хоть их и (счётно) бесконечно много. А вот справа от запятой можем иметь бесконечную последовательность (в заметном отличии от конечного номера!). Это потому, что бесконечный номер/целое число не имеет смысла/расходится нах**, в то время как бесконечная последовательность справа от запятой сходится к конечному пределу/точке отрезка {0,1}

infolio написал(а):Тогда потребуется несчётного числа цифр/знаков, дабы обозначить ВСЕ несчётно много бесконечных последовательностей нулей и единиц справа от запятой.

infolio написал(а):Даже если номер определяется НЕ обратной (справа налево), а прямой (слева направо) последовательностью цифр, номеров понадобится несчётно много, так как самих последовательностей цифр будет несчётно много

Пора зарубить себе на носу, дружище, что бесконечных последовательностей двух или более цифр/знаков НЕ сосчитать, то бишь НЕЛЬЗЯ застукать в строгом 1:1 соответствии с натуральным рядом 1, 2, 3, ...

Вниманию нашему другу инфолио: точек/дробей на отрезке [0,1] нельзя сосчитать, как и подмножеств натуральных. Способы обозначений цифрами/знаками соверешенно непричем, НЕ колышут

Вы отлично это сказали= Нельзя сосчитать и всё! (Особенно если их там и нет, так как можна представить такие числа с таким количеством нулей, что ни один квантокомп за время существования Солнечной системы не сгенерирует! А мне так бы хотелось натуральным считать то, что В НАТУРЕ ПРИДУМАТЬ хоть можно.) Хотя количество их счетное, как и натуральных. Только вот для того чтобы каждому возможному числу 1:1 соответствовал № натуральный именно так и надо: чтобы в натуральном числе было бесконечное число цифр.
Именно этот нюанс и настораживает, что счетное но сосчитать нельзя.
Остается еще один вопрос, подскажите мне, как с такой точки зрения трактуется сходимость ЛЮБОГО = на ВАШЕ усмотрение иррационального или транцедентного числа к ОДНОМУ конкретному значению, если ЗНАЧАЩИХ (или незначащих) цифр после запятой у этих чисел бесконечно много: значит можно и бесконечно много разных значений, например для основания натуральных логарифмов заиметь! Типа хвост их неизвестно какой: , ... 11111 или , ... 22222 и т.п. и т.д. Прямо странно даже, почему только одно единственное НЕ натуральное, а трансцедентное не считаетсч НЕСЧЕТНЫМ? Ведь нет у него последней цифры, хоть тресни!
Ведь в такой нынездравствующей математике действительно получается что ( для счетности, точнее для НЕСЧЕТНОСТИ в существующем смысле), имеются непоколебимые основания, особенно с учетом ТОГО ЧТО
Тогда и множество подмножеств такого множества, которое можно только незначащими нулями РАЗДУВАТЬ в несчетное число раз даже мне такое очевидное становится очевидным, оно будет естественно превышать ПО МОЩНОСТИ само исходное множество.
Это же так удобно таким образом оперировать с бесконечными множествами (предполагая ЯКО бы какое=никакое распространение на них конечных методов), и так неудобно на примере конечного множества (из трёх элементов) произвести эти примечательные манипуляции (хотя считается что для конечных множеств мощность совпадает с количеством элементов?).

Например, на инфолиодурацкий вопрос:
что получится, ув. Учитель бывшего учителя, если ЭТО применить к конкретному счетному множеству из ТРЕХ элементов, 1 и 2 и 3. Сколько таких подмножеств этого множества получится в соответствиии с 0бщепринятым подходом (желательно без привлечения ОЧЕНЬ привлекательного множества мощности 0, т.е нулевой мощности) имеем
2012-01-19 20:16:59
Автор: Хайдук
{1, 2, 3} есть конечное множество, дружище, и не поможет с бесконечными. Все-таки НЕ очевидно, что у континуума якобы не может быть бОльше счётно-бесконечных подмножеств, чем его самого . Несомненно континуум можно разбить на столько же дизъюнктивных (непересекающихся) счётных подмножеств, но вопрос немного другой: сколько разных, хоть и перекрывающихся, счётных подмножеств можно застукать у континуума?

А вот любые конечные подмножества у континуума равны ему по мощности - вспомним Декартову плоскость (2-мерный континуум) с парами (x,y) действительных чисел. Должно быть, чем бОльше мощность самих подмножеств, тем бОльше их по мощности и потому в конце концоф успевают переплюнуть по мощности исходное множество, в нашем случае континуум.

Отредактировано Хайдук (2012-01-19 23:30:48)

Придется, наверное ограничиваться Вселенсконатуральным. Уж с конечными в масштабах Вселенной, наверное, нельзя будет истиной считать утверждения типа:

любые конечные подмножества у континуума равны ему по мощности Наверное ПЧК (пора чистить картошку- половина из командировки досрочно возвращается с локтем разломанным, поскользнулась в столице, а не тут, прости Господи)

Хайдук написал(а):А почему нельзя?

п.1. УСТАВА математического знаю: аксиома всегда права, так какой в соответствии с применением (иди без) несчетных методов получится ответ
Например, на инфолиодурацкий вопрос:
что получится, ув. Учитель бывшего учителя, если ЭТО применить к конкретному счетному множеству из ТРЕХ элементов, 1 и 2 и 3. Сколько таких подмножеств этого множества получится в соответствиии с 0бщепринятым подходом (желательно без привлечения ОЧЕНЬ привлекательного множества мощности 0, т.е нулевой мощности) З павагай, ПЧК

wpiter написал(а):Фсё равно не усечёшь, браток

Хайдук написал(а):Мировоззрение другое (с) wpiter