Пора уже НЕ сомневаться, дружище, а постараться ПОНЯТЬ как ГР или любой ряд может расходиться: какое бы число не выбрали (100, 1000, милльон, миллярд, Вселенсконатуральное), всегда будет возможно найти такое число 10^Другое_Вселенсконатуральное членов ГР, что сумма их превысит первое Вселенсконатуральное. Это показывают логичные, надёжные и вполне дискретные/конечные рассуждения и значит пора к этому привыкать

infolio написал(а):Разумеется, что остановка/наблюдение/идентификация/записывание отдельной 1-цы применимы и к диагональному, и к 11111... Но когда у нас везде одни сплошные 1-цы, мы НЕ сможем различить отдельные числа, поэтому нам нужны по меньшей мере 2 (две) цифры, 0 и 1. Несколько раз уже подчеркивали, что только 1-цами можно записать очень НЕбольшое (счётное) множество чисел

штащдшщ написал(а):Без многоточий НЕНАТУРАЛЬНОЕ получить нельзя, все время будем оставаться со все возрастающими натуральными. Первое НЕНАТУРАЛЬНОЕ омега получаем после первого многоточия и эта омега суть первое счётно-бесконечное ординальное (но НЕ натуральное) число.

штащдшщ написал(а):Если к омеге бесконечно добавлять по +1, то получим счётные омегу.2, омегу.3, ..., омегу^2, ..., омегу^омега,... Когда закончим со ВСЕМИ этими счётными добавлениями +1, достигнем лелеянную, первую несчётную омегу_1/алеф_1.

штащдшщ написал(а):Проделать ... конечных мысленных остановок/наблюдений/идентификаций у каждой в отдельности и всех без остатка цифр НЕЛЬЗЯ даже для диагонального, даже для 11111..., потому они и бесконечны

Так как сегодня я был вместо д/с (внук требовал внимания) то только сейчас увидел что посты Ваши остаются без ответа, т.е. как буд-то они убедительно-железобетонно непоколебимые. Начну с того, что пройдясь по вашей ссылке в ВИКИ (раньше даже не замечал ТАКОГО!) обнаружил, что т.н. несходящий ся ГР НАЗВАН оригинальнейшим образом, привожу повторно последний пост с предыдущей страницы:
Да-Аа, конеЕечно! Кто бы еще, кроме меня мог сомневаться, что k-тых гармоник скрипичной струны много больше не только чем атомов или молекул в струне, но и значительно больше Вселенсконатурального! З павагай к дискретности
Наверное не просто так эта реплика остается без комментариев, ну посудите сами, ведь там же, в ВИКИ сказано:
Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10^43 (!!) элементов ряда). Значит, используя ВАШИ же убеждения, не сомневаясь в истинности определений (а в жизни ОПРЕДЕЛЕНИЙ выше крыши, как естественнонаучных, так и юридических, где у сильного всегда закон как дышло!), не уточните ли момент, когда начинают сказываться полесские грибы
. Предположим, что воистину



Тогда, предполагая что 10^Другое_Вселенсконатуральное членов ГР по определению является конечным и натуральным, и учитывая что по гороскопу я баран, подскажите мне в чем смысл ТАКОЙ СХОДИМОСТИ , если применяя логичные, надёжные и вполне дискретные/конечные рассуждения многократно ПОШАГОВО
№1) чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10^43
№2) чтобы частичная сумма превысила 10^43, необходимо около 10^?
№3) чтобы частичная сумма превысила 10^?, необходимо около 10^??
...
№)10^Другое_Вселенсконатуральное чтобы частичная сумма превысила 10^Другое_Вселенсконатуральное (которое является очевиднейшим пределом суммы Геометрической прогрессии с соответствующим знаменателем) , необходимо около ИНФОЛИОГУГЛЛПЛЕКС^43*??
Неужели и для такого № (натурального!!) вы будете утверждать что НЕ найдется НИ ОДНОГО сомневающегося в том, что понятие таких ]k-тых гармоник скрипичной струны подразумевает НАТУРАЛЬНОЕ число k-тое, которое много больше не только числа атомов или молекул в струне?
Мне лично такая натуральность выглядит несколько НЕНАТУРАЛЬНОЙ, т.е. остается в силе то, что
что никаких НАТУРАЛЬНЫХ гармоник в натуре за пределами Вселенной для меня даже мысленно НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Повторяюсь: каждый вправе считать так, ка считаете Вы, Учитель учителя, а не я (из д.Вавуличи после визита в Псыщево, после огурчиков и грибочков.) З павагай к разнообразию мнений

ИТАК: только 1-цами можно записать очень НЕбольшое (счётное) множество чисел не уточните ли какое? До вышеупомянутой К=той гармоники скрипичной струны доберемся, аль нет? (Как по мне, то применяя в одной строке АЛЕФОРИЧНОЕ количество единиц можно Фсе чмсла записать, ДА НЕ В НАТУРЕ- атомов во Вселенной не хватит, а гипотетически), включая
счётные омегу.2, омегу.3, ..., омегу^2, ..., омегу^омега,... Когда закончим со ВСЕМИ этими счётными добавлениями +1, достигнем лелеянную, первую несчётную омегу_1/алеф_1
А чтобы Вам показалось возможным такое, так применим следующую систему обозначений: записываем не так, как для диагонального, а после ЗПТ пишем словами-знаками в Вашей нотации, т.е.
,ОДНА1
,две1
...
,к1
...
,омегу.2ЕДИНИЦ
...
, омегу.3, ..., омегу^2, ...

, омегу^омега,...
Ведь никакуих лграничений на +1 и быть не может во ВСЕСИЛЬНОЙ математике.
Просто ТОЛЬКО для Диагонального запись-обозначение чисел в виде лишь из последовательности 1 НАГЛЯДНЕЕ, чем из двух цифр или их 10, 16-ти, 100ричной и т.п. систем счисления. вплоть до алефоричной. З павагай к счетности

infolio написал(а):Вы НЕ знаете насколько широкИ всякие (как вширь, так и вглубь) пределы Вселенной, дружище, потому лучше НЕ запрещать, что они не ширше ИНФОЛИОГУГЛЛПЛЕКС^43 или даже ИНФОЛИОГУГЛЛПЛЕКС^43000000 или даже бОльше (в теории суперструн число Вселенных порядка 10^500)

Дружище, видимо опять НЕ сечете о чем идёт речь - бОльше водки жрать надо, стало быть, чтобы силы рассуждать прибавилось

штащдшщ написал(а):Да ведь сказано же и подчеркнуто, что счётно-бесконечное множество чисел можно записать только 1-цами . Это значит, что до К=той гармоники скрипичной струны доберемся; даже до К^ИНФОЛИОГУГЛЛПЛЕКС=той доберёмся, даже бОльше

Можно мысленно, гипотетически сколь угодно много 1-иц записать, но их все-равно будет НЕСЧЁТНО много, если хотим обозначить и различить друг от друга ВСЕ действительные числа. Гораздо удобнее это зделать двумя цифрами, 0 и 1, тогда для любого числа потребуется только одного многоточия по сравнению со многими таковыми при записи омегами (любую омегу можно заменить на счётно-бесконечную последовательность 11111...)

infolio написал(а):

никаких НАТУРАЛЬНЫХ гармоник в натуре за пределами Вселенной для меня даже мысленно НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Вы НЕ знаете насколько широкИ всякие (как вширь, так и вглубь) пределы Вселенной, дружище, потому лучше НЕ запрещать, что они не ширше ИНФОЛИОГУГЛЛПЛЕКС^43 или даже ИНФОЛИОГУГЛЛПЛЕКС^43000000 или даже бОльше (в теории суперструн число Вселенных порядка 10^500)

Так там про скрипичные струны (из ВИКИ).. З павагай

infolio написал(а):А я про Вселенные вообще, в их полных объёме и царствии

Я слегонца прокололся постом #223 , так как довольно общее доказательство отсутствия 1-1 соответствия между любым множеством М и его подмножествами 2^M безразлично к мощности (конечной или бесконечной) М. По-видимому, применение принципа 1-1 соответствия сопряжено с аксиомой выбора, потому что без неё многие множества оказываются несравнимыми по мощности, то бишь нельзя попробовать 1-1 соответствия между ними

Бывают многие большие мощности как недостижимые, измеримые, компактные, суперкомпактные, громадные (huge) и пр. Не знаю между всеми ли можно провести проверку на 1-1 соответствие как между любым множеством и его подмножествами. В частности, недостижимую мощность ИНАКС попросту вводят руками: она бОльше подмножеств любой меньшей мощности, 2^M ИНАКС для любого М ИНАКС, а также бОльше любого объединения (любой меньшей мощности, ИНАКС) М(j) меньших мощностей М(j) ИНАКС. Тут 1-1 соответствие упразднено уже по ОПРЕДЕЛЕНИЮ

]Да ведь сказано же и подчеркнуто, что дает возможность предположить, что ДОСТАЛ я Вас, Учитель учителя. Но поверьте, что вовсе не хотел достигать такого эффекта, как принято в спорах- довести спорщика до состояния, чтобы он ошибся. (Так в школе ученики с учительницами предпочитают общаться...) Моя привязавшаяся ГАЛОША_ЖУЧКА= счетность Фсего в более-менее формализуемом реальном или/и мыслимом (рациональном) мире меня не сильно достает, а вот СЧЕТНОСТЬ Фсего, в том числе и ИРРАЦИОНАЛЬНОГО не столько в математическом, сколько в философском иррациональном смысле, т.е. счетность не только познаного, познаваемого но и непознаваемого- вот что страшно.
Можно мысленно, гипотетически сколь угодно много 1-иц записать, но их все-равно будет НЕСЧЁТНО много вот тут то и суть, ведь это (их все-равно будет НЕСЧЁТНО много) может как ДЕМОНЫ (упоминавшиеся в теме на КаспаровЧесс) съедать все, что угодно. И тогда то, что В частности, недостижимую мощность ИНАКС попросту вводят руками: она бОльше подмножеств любой меньшей мощности, 2^M ИНАКС для любого М ИНАКС, а также бОльше любого объединения (любой меньшей мощности, ИНАКС) меня вовсе не пугает, не озадачивает, не впечатляет, не колышет, так как позволят утверждать, подобно известной деревенской доярке на колхозном митинге: я не знаю кто такая Хунта и кто такая Чили, но если эта Хунта не оставит Чилю, то я свою корову Зорьку завтра доить не буду!.
Аналогичный 100_40% тут случай: я не знаю кто такая ИНАКС и кто такая Чили2^M ИНАКС для любого М ИНАКС , но если эта ХунтаИМХО не оставит Чилю ИНАКС, то я свою корову Зорьку= Вселенсконатуральное завтра доить не буду!. В переводе на общепонятный это так звучит: на КаспаровЧесс после прочих демонов был назван ИНФОЛИОДЕМОН = ИНАКС?
Если Вы или кто-то еще прочитал весь этот пост, то прошу ответить на такие вопросы:
1.Выходит не зря утверждается в ВИКИ, что гармонический ряд без слагаемых, в которых есть хоть 1 цифра, например 9, СХОДИТСЯ!!!Тогда Гораздо удобнее это зделать двумя цифрами, 0 и 1, тогда для любого числа потребуется только одного напомнило мне, что ГР, в котором в знаменателе натуральные записаны только цифрами 0 и 1 ТОЖЕ БУДЕТ сходящимся для всех 1/1111.. так как наличие в знаменателе 0 исключаем принудительно.

штащдшщ написал(а):Бесконечность и дальше несчётность напрашиваются скорее естественным образом, дружище. Особенно первая - любое конечное Вселенсконатуральное будет выглядеть произвольно и искусственно притащенным за шиворот из-за очевидного последующего +1. В отличие, несчётность далеко НЕ в такой мере обязательна, но тем не менее устраняет слишком qps.ru/RSB6wнапрашивающееся противоречие. Во всяком случае, списком (счётно-бесконечным по самому смыслу слова) действительные числа записать нельзя (будет диагональное число). Тем более нельзя записать одной цифрой, просто как 0,11111...

Хайдук написал(а):это новый телефон пожарной?

ну и их и разелось единиц

= че там с нулем то случилось - он перестал быть?

нулем вашего мракобесисия матмеха и матфизики ?

Олег написал(а):Спроси у дружища инфолио, это он недолюбливает нуля

Пока похоронить ЕГО - этот самый 0 окончательно, не удалось даже при применении способа записи только единицами ЛЮБОГО (абсолютно любого, хоть целого, хоть дробного, хоть смешанного числа) в исполнении Учителя учителя. Маэстро очень изысканно записывает его, этот самый 0 перед запятой, хотя его там нет и быть не должно, при записи только единицами ЛЮБОГО (абсолютно любого, хоть целого, хоть дробного, хоть смешанного числа) , НО ТОЛЬКО ТАКОГО ЧИСЛА, которое может быть записано в обычной нашей системе счисления с десятью цифрами и разделительной запятой В ОДНУ СТРОКУ.
Т.е. в единичной системе счисления нет никакой необходимости записывать ноль перед запятой: не стоит записывать ТАК
а вполне достаточно записывать так: ,11111... Ноль = это больше чем ничего... З павагай к знакам

напрашивающееся противоречие По ссылке нашел, что доказательством считаются такие рассуждения:

ДоказательствоПредположим, что существует множество A, равномощное множеству всех своих подмножеств 2A, то есть, что существует такая биекция f, ставящая в соответствие каждому элементу множества A некоторое подмножество множества A.

Рассмотрим множество B, состоящее из всех элементов A, не принадлежащих своим образам при отображении f (оно существует по аксиоме выделения): .

f биективно, а , поэтому существует такой, что f(y) = B.

Теперь посмотрим, может ли y принадлежать B.

Если , то , а тогда, по определению B, .

И наоборот, если , то , а следовательно, . В любом случае, получаем противоречие.

Следовательно, исходное предположение ложно и A не равномощно 2A.

Заметим, что 2A содержит подмножество, равномощное A (например, множество всех одноэлементных подмножеств A), а тогда из только что доказанного следует | 2A | | A | .

Посмотрел также
Схемой выделения называется следующее высказывание теории множеств: ...
, где — любое математически корректное суждение об элементе b множеств c и a , но не о множестве a и не о множестве c
И что в соответствии с такой АКСИОМАТИКОЙ плохого будет в вышеприведенном ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ-рассуждении, если все тоже озвучить в бездоказательном рассуждении о Диагональном числе?
Запросто можно получить, что В любом случае, получаем противоречие.

Следовательно, исходное предположение ложно и A МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА ЦИФР=элементов диагонального числа не равномощноА мощности ВСЕГО 2Aисходного списка . по ПОСТРОЕНИЮ списка, в котором мы ДОПУСТИМ после первой строки записали ЕЩЕ ДЕВЯТЬ таких же, но только отличающихся ПЕРВОЙ ЦИФРОЙ, после второй- Еще девяносто девять первых чисел, но отличающихся только первой и второй цифрой ... и т.д. А далее - в таком БЕЗДОКАЗАТЕЛЬНОМ рассуждении сделаем вывод:
(по аналогии с логарифмом натуральным для сзодимости ГР), что при КАЖДОМ УВЕЛИЧЕНИИ исходного списка в 10 раз (и даже!! подумать только, десятикратном повторении одного и того же списка!!) получаем, что Диагональное число ТЕРЯЕТ первую цифру, потом вторую и т.д. - следовательно не может быть построено (и список будет счетным!)

Не сомневаюсь, что с такой Схемой выделения, Вы можете сказать, что можно получить любой результат.
Так мне это и интересно, а что если, в соответствии с нынешней аксиоматикой утверждать такСОВЕРШЕННО НАОБОРОТ!!!:

Допустим, что диагональное число построено. Тогда множество цифр Диагонального числа 1=1 соответствует множеству чисел в несчетном списке! Но ведь цифры в диагональном числе записаны в ОДНУ СТРОКУ и могут быть пронумерованы? Следовательно в списке СЧЕТНОЕ ЧИСЛО чисел.
Предположим, что Вам захотелось добавить ЭТО ДИАГОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО в список исходный. Ну и что? +1 и снова список счетный... З павагай к счетности

Дружище, дисциплина Вашего ума с рассуждениями очень ... плохая . Даже в одном-отдельном предложении делаете массу ошибок/неточностей/лихих допущений

штащдшщ написал(а):ЧЕМ конкретно претит доказательство в Вики?

штащдшщ написал(а):Дальше постараюсь показать, что бездоказательными являются как раз .... Ваши рассуждения

штащдшщ написал(а):Что хотите сказать всем этим, а? Первые/левые цифры можно вполне опустить, коль скоро их конечное, хоть и сколь угодно большое, число. Почему? Потому что (счётно-)бесконечного хвоста они никак не колышут и мы даже не заметим, что вырезали конечное число слева - хвост вполне эквивалентен первоначальному числу!! Вы можете не 9 или 99 или 999 раз, а бесконечно много раз повторять число за числом (строку за строкой) первые/левые две или три или даже конечное число цифр - разницу между числами все-равно обеспечит бесконечный хвост Вам НЕ хватит счётного списка даже если первая цифра одинаковая у всех чисел списка, даже если сколь угодно длинная, но конечная левая часть цифр одинаковая у всех строк счётно-бесконечного списка

штащдшщ написал(а):В каком смысле теряет? Диагональное рассуждение можно провести для любого счётно-бесконечного списка чисел.

штащдшщ написал(а):У любого числа лишь счётное число цифр, а несчётных спискоф не бывает.

штащдшщ написал(а):Бесспорно, только это значит, что список всегда будет неполным, то бишь счётного списка НЕ хватит, чтобы записать все числа. Значит числа ... несчётные

Мы можем, конечно, вообразить, что счётно-бесконечный список продолжен до несчётного, хоть и вполне-упорядоченного (well-ordered, сохраняющего дискретную отделимость строк чисел) списка. Тогда, однако, диагональное число не будет уже действительным числом, так как число его цифр будет несчётным (по одной на каждой строке), a у действительных чисел типа 0,abcdefgh... всегда НЕ более, чем счётное число цифр. Для любого счётного списка таких чисел у диагонального числа тоже будет счётное число цифр и потому оно суть такое же действительное число, но ... ВЫПАДАЮЩЕЕ из списка. Значит счётным списком действительных чисел НЕ сосчитать.

В каком смысле теряет? Диагональное рассуждение можно провести для любого счётно-бесконечного списка чисел....
Так как ТАКИ не понял, как в классической математике допускается то, чего нет и быть не может, а также ОТЛИЧНО ПОНЯЛ И ПРИНЯЛ, что
Дружище, дисциплина Вашего ума с рассуждениями очень ... плохая . Даже в одном-отдельном предложении делаете массу ошибок/неточностей/лихих допущений
это ВАШЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ соответствует истине, (в отличие от названий типа Гармонический ряд или Натуральное число, которые воспринимаю как надуманные, лишь правдоподобные, а не истинные)
, и учитывая то, что вы, дружище Хайдук, потратили немало времени и усилий, чтобы я хоть слегка избавился от подобных замашек посягательств на классическую вездесущую математику, чтобы и НЕ ПЫТАЛСЯ (см. выделенное в нижеследующей цитате ) допускать недопустимое, то, целиком полагаясь на Ваше мнение-Учителя настоящего учителя бывшего, оцените и то, что на ваш взгляд приемлемо (что перечислено ПОСЛЕ нижеприведенной цитаты)
1. Что именно нельзя: допускать, воображать, сосчитать счетное, построить несчетное
причем:
1а. В пределах КОнечного множества вселенных по теории струн, т.е. таки некого гипотетического или имеющего место быть Вселенсконатурального
или
1б. В пределах одной единственной строки, состоящей из последовательности только 1 цифры все увеличивающейся и увеличивающейся методом +1 неограниченно беспредельно несчетно и даже
? В т.ч. и без каких=либо 1-1 соответствий, ибо
1в ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ можно же натуральным для 1арифметики считать НЕ КОЛИЧЕСТВО, а №, так как в количествах правят бал все действительные, а в № - только НАТУРАЛЬНЫЕ (или если хотите- неонатуральные?)

Ведь Вы же сами говорили, что к счастью, для практических целей требуется Точность меньше, чем 1/вселенсконатуральное? З павагай к убеждениям, вере, наблюдениям, сравнениям и измерениям- вычислениям.

2. Или еще так: Что именно нельзя: допускать, воображать, считать, строить, использовать, на ваш взгляд:
А) то, что абсолютно любое число, которое Вы фактически обозначаете строкой из арабских цифр с разделительной ЗПТ, мне удалось обозначить-зашифровать=записать только последовательностью одних единиц с разделительной зпт?
Подчеркиваю: только то количество знаков, что запишете Вы буду записвать ...111,111...!
Б) то, что НИ тригонометрические, ни показательные ни иные любые функции или/и МИРОВЫЕ КОНСТАНТЫ не имеет ни малейшего смысла вычислять и генерировать с точностью 1/вселенсконатуральное, превышающей количество +1, обозначаемого натуральным числом таким, которое НЕ МОЖЕТ ПРЕВЫСИТЬ самый мощный компьютер в течение жизни?
С)Итог: чтобы Фсе бесконечности оставить так, как вам угодно: счетными или несчетными, со счетной или/и несчетной бесконечностью между ними, для известных Вам целей (непротиворечивости, непрерывности ...), да и назвать НИЖНЮЮ и ВЕРХНЮЮ границу Вселенсконатурального ВАШУ, с учетом того что сама эта идея ввести в рассмотрение вселенсонатуральное, не нравящаяся вам по форме и сути, может пройти, проходит ИЛИ уже прошла, как любое новое, (нужное можете подчеркнуть) ТРИ СТАДИИ:
-это чушь, такого быть не может:
-это так, но не имеет никакого значения:
-это имеет место быть, и так есть, так и будет, и ничего нового в этом нет.

infolio написал(а):Имеете что-то против рассуждений от противного, недопустимого, чего нет и не может быть? Да мы НЕ знали наперёд, что того нет, потому зделали допущение, что оно есть, НО и к сожалению получили противоречие , после чего уже заключили, что того нет и не может быть.

infolio написал(а):Да нет же - можно допускать и воображать ФСЁ, что приспичит, только надо рассуждать внимательно/скрупулёзно и следить за противоречиями, которые НЕдопустимы в обычной классической (НЕдиалектической) логике.

infolio написал(а):Такое допустимо и непротиворечиво , как раз таким образом выглядит последовательность вполне-упорядоченных (то бишь похожих на дискретные натуральные) ординальных/порядковых чисел, то бишь омег (омега = 11111...)

omega (то бишь 11111...), omega1, оmega11, omega111, ... omega.2 ... оmega.3 ... оmega^2, ... omega^3 ... omega^omega ... omega^omega^omega ...

Не надо забывать, однако, что действительные числа записываются только одной-единственной, самой первой омегой, 0,11111... или (бОльшим числом цифр) 0,abcdefgh...

infolio написал(а):Натуральные числа суть как номер №, так и количество/счёт (штук овец, скажем). Ординальные числа сферху наследуют у натуральных номера, а счётная и несчётные мощности наследуют количество.

infolio написал(а):Тем не менее в теории естественно учитывать любую, сколь угодно большую/малую точность, потому что не знаем какая и когда приспичит

штащдшщ написал(а):Внимание: это обманчивое утверждение, грозящее подскользнуть!

Может и обозначили-зашифровали=записали (НЕсчётным числом 1-иц справа от зпт), но такая запись совершенно бесполезная, так как НЕ даёт представления о величине/количестве, выражаемых любым действительным числом и значит никаких арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и пр.) нельзя производить над такой записью

Ваша запись ...111,111... по существу ничем НЕ отличается от сопоставления любому множеству чего бы то ни было (вкл. чисел) некоторого (НЕсчётного, вообще говоря) порядкового/ординального числа-номера

штащдшщ написал(а):Чтобы вычислить с любой точностью, мы должны быть уверены в существовании того, к чему норовим приблизиться точностью вычисления. Ведь к сумме ГР не имеет смысла утруждаться приблизиться любой точностью вычисления, так как суммы таковой как (конечного) числа попросту НЕ существует

штащдшщ написал(а):Может Вселенная окажется дискретной и конечной, но пока мы НЕ знаем насколько большой/малой эта конечность будет. Потому лучше держать начеку любые размеры, вплоть до бесконечно больших/малых.

Я предполагал, что у мастера все будет четко, a infolio фривольно (с массой ошибок/неточностей/лихих) но не до такой же степени, в математике, а не философии, где цифры правят бал:


Это очень круто: предполагая, что критикую Диагональное число именно такого списка, получить результат что такое число не может быть составлено для списка, которого нет и быть не может. Согласен 100_40%.
Подчеркиваю: только то количество знаков, что запишете Вы буду записвать ...111,111...!
Внимание: это обманчивое утверждение, грозящее подскользнуть!
Вывод делаю такой: записывать могу, но критиковать Диагональное число, для чисел записанных только одной цифрой 1 нельзя. Записывать единички словами или 100ричной системой счисления - для выполнения арифметических действий- могу, но действия над такой записью производить нельзя, пока?

...
(функции, точность вычислений и т.п. оставим пока, а то получится опять, как со струнами = о скрипичных или/и вселенских...)
...
Вывод делаю такой: записывать ТРИ стадии могу, но критиковать = подвергать сомнению классический ответ лучше держать начеку любые размеры нельзя.
Вот если найду конкретные числа для гармонических сумм или какой-то алгоритм выполнения действий с числами - более наглядный или эффективный (только не в единичной, сторичной, миллионоричной или иной любой другой системе), короче что=то новенькое, не озвученное в ВИКИ, но, яко бы заслуживающее внимания (например с теми же конечными суммами ГР) - тогда (сегодня же) здесь выложу. З павагай к разнообразию

infolio написал(а):Такое диагональное число 0,1111... уже включено в списк и находится на последнем месте. Это немудрено, так как числа 0,1111... счётные, как и сам список.

0,1
0,11
0,111
0,1111
...........
0,111111...
..................

infolio написал(а):Для этого запись чисел должна быть конечной (в худшем случае минимально счётной, то бишь лишь одна омега = 0,abcdefgh.., как у 10-ричных иррациональных чисел) и выражать удобным образом величину/количество числа. С записью только 1-цами приходится подсчитывать их число, дабы слагать и вычитать ... кучами, как первые люди на Земле . Притом 0,03 = 0,1111... (30 единиц), что никак НЕ выражает величину 3/100 . При записи только одной цифрой 1 не избежать нагромождения омег с множеством многоточий и значит никаких арифметических действий нельзя выполнить

Пора то пора привыкать, да как привыкнуть, Вы сами сказали, что количество (а не мощность) натуральных чисел = количеству слагаемых ГР см. 192 правда от ТРИНАДЦАТОГО 2012-02-13 17:20:57 ФЕВРАЛЯ.
nfolio написал(а):

можно ли утверждать, что КОЛИЧЕСТВО натуральных чисел = количеству слагаемых ГР?
Конечно - ведь знаменатели ГР не что иное, как натуральные:

1 2 3 4 5 ...

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 ...
Разве не интересная картинка: Любое одно число из верхнего ряда =№ натуральные, потому что КОНЕЧНЫЕ, а сумма Фсех слагаемых из нижнего ГР Хи хи ехидное, которая очевидно для конкретного № станет даже меньше чем 1+1+1+1+ .. , т.е. меньше ЗАВЕДОМО известного числа, которое =№ натуральные, потому что КОНЕЧНЫЕ, считается расходящейся! Как по мне, то бесконечность в верхнем ряду, гораздо бесконечнее той, которая в нижнем ряду, считающейся расходящейся!

и любле число в знаменателе ГР тоже натуральное (ТОЧНО ТАКОЕ ЖЕ), но когда мысленно (а не физически, а то Вы сразу скажете их нельзя так записывать!) расположить их одни над другими, то окажется, что каждое увеличение в 10 раз количества слагаемых ГР дает увеличение ВСЕГО-ЛИШЬ на 2,3 гармонической суммы. (Число 23, которое считаю почти своим отличается всего лишь ЗПТ от 2.3 - вот так совпадение! пойду в ВИКИ добавлю эту фразу
Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10^43 элементов ряда, причем далее увеличение частичной суммы на 2,3требует каждый раз в 10 раз большего числа слагаемых).
И как вам такое 1-1 соответствие между сходящимся ГР и натуральными № ?
Никакой таинственности: просто-напросто для того чтобы переплюнуть любое Вселенсконатуральное или инфолиогуголплекс Фсего-навсего надо взять ЭТО (любое) натуральное/2,3 и (подумаешь- мелочь!) умножить на 10^43 степени.
Что-то мне не нравится в такой одинаковости КОЛИЧЕСТВА и взаимооднозначности КОЛИЧЕСТВА и № (что подразумевается определением натурального нынешнего). З павагай

штащдшщ написал(а):Ну ... эврика!, дружище, достучались наконец-то - попросту верхний ряд прёт к бесконечности намного шустрее и быстрее, сильнее, чем почти-что усопший нижний ряд . Потому нижнему приходится зайти очень и очень далеко числом членов, дабы выравниться даже мало-мальски с 5-ой, скажем, из верхнего ряда

штащдшщ написал(а):1-1 сответствие с расходящимся ГР имеет место между счётным числом его слагаемых и натуральными, практически усопшая сумма ГР никак НЕ колышет 1-1 соответствия сего

штащдшщ написал(а):Не уверен в этой оценке, хотя она все равно не имеет большого значения

штащдшщ написал(а):Подразумевается определением натурального нынешнего как КОЛИЧЕСТВО/СЧЁТ каких-либо штук, так и НУМЕРАЦИЯ натуральными . Число/количество членов ГР растёт вместе с числом/количеством натуральных, однако сумма ГР растёт гораздо медленнее по сравнению с числом/количеством членов-слагаемых эту сумму составляющих. Лично я не вижу никакой проблемы здесь - любое сколь угодно малое (сплошное) количество можно разбить на сколь угодно большое число таких же (сплошных) частей

штащдшщ написал(а):Только для конечных и счётных множеств мощность все ещё совпадает с количеством/счётом, однако НЕСЧЁТНЫЕ мощности обозвать количествами уже нельзя-с

[b]Выделено мною[/b]Лично я не вижу никакой проблемы здесь - любое сколь угодно малое (сплошное) количество можно разбить на сколь угодно большое число таких же (сплошных) частей ...
В этом и есть проблема: сколь угодно малое (сплошное) количество которое имеется в ХВОСТЕ ГР, для меня- ДИСКРЕТНОЕ, для Вас- сплошное, стремящееся к БЕСКОНЕЧНОСТИ медленнее, чем НАТУРАЛЬНЫЕ целые №.
Вот поэтому то и заинтересованы все, кто считает НЕПРЕРЫВНОСТЬ сплошную данной, очевидной, способной сожрать любую бесконечность (даже 2^бесконечность) незыблемой.
Ну посудите сами: 1-1 соответствие между 2^N при N стремящемся к бесконечности НЕСЧЕТНОЙ есть, это АКСИОМА, а 10^N - соответствующее нарастанию суммы ГР (с коэффициентом 2,3) стремящееся к тойже бесконечности не может ИМЕТЬ МЕСТО БЫТЬ!.
Я даже не знаю почему, но Вы, как Учитель учителя воскликнете!
-Это же разные вещи!
1. Сумма членов ГР дает Вещественное число, а не целое!
2. Бесконечность НЕСЧЕТНАЯ не может сравниваться с бесконечностью счетной!
3. Сами напишете (не буду сочинять).
Вывод:
любое сколь угодно малое (сплошное) количество можно разбить на сколь угодно большое число таких же (сплошных) частей ...
А сколь угодно большое ДИСКРЕТНОЕ нельзя!, потому что сказано же что это не количество, а мощность.
И самое главное, что когда число слагаемых ГР растет БЫСТРЕЕ, чем 2 в степени бесконечность, то это так надо, даже, как Вы говорили, если это будет Логарифм от логарифма повторяющиеся натуральное число раз, но конечное!, то все равно он обгонит натуральное. Вот это пока я не ПЕРЕСТУЧУ, пока не найду, как с логарифмической шкалой для гармонической суммы КОНКРЕТНОГО числа в таткую НАТУРАЛЬНОСТЬ нынешнего натурального бросить камешек желания не исчезнет, пока.
Другое дело если натуральное - это ТОЛЬКО №, а номер в любом КОНЕЧНОМ количестве дискретного чего либо присваивается 1й любому элементу, мало того, № могут присваиваться и ПОВТОРНО, или как в случае с с местной валютой- как когда-то Кебич сказал, с завтрашнего дня 1 зайчик (котрый на картинке в Анекдотах про бульбашей) в 10 раз весомее $1 зеленого, или наоборот 1 000 000 = 1 и опять № новые... Вот и получается, что нынешняя математическая непрерывность оОочень нужна, прямо необходима не только математикам, а не смердам простыс смертным. З павагай к дискретности

штащдшщ написал(а):Количество в (бесконечном) ХВОСТЕ ГР никак не сколь угодно малое, а равно ... . Во всяком случае сумма каких-либо членов ГР НЕ есть целое/натуральное число, а есть дробь типа a/b, медленно уходящая в . Количество есть количество и выражается действительным числом, бессмысленно обзывать его дискретным или сплошным. К примеру, за натуральным числом 5 могут маячить столько же штук овец или сплошная длина в 5 сантиметров некоторого отрезка. На числовой прямой число 5 никак НЕ отличается от числа и других иррациональных или рациональных чисел, выражающих количество, то бишь длину отрезков.


штащдшщ написал(а):Опять накосячили и заварили жуткую кашу, дружище

Во-первых, конечное натуральное N может стремиться только к КОЛИЧЕСТВЕННОЙ бесконечности . Пока N стремится, оставаясь конечным, 2^N тоже остаётся конечным, хоть и растёт гораздо быстрее, чем N.


Совсем другую ситуацию имеем, когда N выражает СЧЁТНУЮ мощность ВСЕХ натуральных чисел. Тогда 1-1 соответствия между подмножествами N (выражаемыми 2^N) и самим N НЕ будет.


НЕ путайте конечные количества и количественную с бесконечными мощностями, это разные понятия! 10^N при конечном N есть просто большое (бОльше, чем 2^N) конечное количество. При конечном N, стремящемся к (количественной!), такие же конечные количества, как 2^N и 10^N тоже стремятся к , только намного быстрее, намного бОльшими значениями.

Кстати, когда N суть СЧЁТНАЯ или даже любая бесконечная мощность, степени 2^N, 10^N и даже N^N обладают следующим, вполне определённым смыслом: они выражают мощность множества функций из множества N в множество из двух элементов (2^N) или десяти элементов (10^N) или даже из бесконечного N в самое себя (N^N). Оказывается, что как бесконечные мощности 2^N, 10^N и N^N одинаковы и равняются (при счётном N) ... отгадайте чему?


И последнее: легко видеть, что определение 2^N как множество функций из множества N в двухэлементное множество (скажем, 0 и 1) совпадает с множеством подмножеств N

штащдшщ написал(а):Это всего лишь подчеркивает, что нет ничего необычного в малости суммы очень большого числа слагаемых

штащдшщ написал(а):Утверждение бессмысленное . Число слагаемых ГР растёт точь-в-точь как (натуральное) N и настолько БЫСТРЕЕ суммы ГР (ползущей вверх приблизительно как Ln(N)), насколько МЕДЛЕННЕЕ оно растет по сравнению с 2 в степени растущего, но остающегося конечным N

штащдшщ написал(а):Что верно, то верно

Видите ли, дружище, у обычных действительных/вещественных чисел вроде 17, 3/4, и пр. есть лишь одна бесконечность в смысле неограниченно большого количества чего-угодно. Для любого числа n (может НЕ натурального) степень/экспонента 2^n и вообще а^n (а1) есть такое же число, как n. Когда n уходит величиной в , туда же мчится намного/экспоненциально быстрее и величина а^n. Для целых положительных (натуральных) n число 2^n тоже такое; вдобавок оказалось, что совпадает с числом всех разных (вкл. пустого) подмножеств любого множества из n элементов, а также совпадает с числом всех функций/отображений множества из n элементов в любое двухэлементное множество.


Понятия/идеи существенно меняются, когда N представляет собой множество/мощность ВСЕХ бесчисленных (но конечных каждое в отдельности и само по себе) натуральных чисел. Из смыслов степени/экспоненты A^B остаётся только последний в конце предыдущего параграфа. А и В уже НЕ есть почти любые действительные числа, а всего лишь натуральные или N. Если А = N, а В (конечное) натуральное, тогда получаем декартово произведение множества N на себя конечное B число раз, то бишь N^B = N x N x N x ... x N. Мощность этого декартова произведения остаётся счётной, однако, = N. Если В = N, тогда имеем дело с функциями/отображениями счётного множества N в конечное или счётное (когда А = N) множество А. Оказывается, что мощность таких отображений, хоть и остаётся ... одинаковой , как-бы НЕ может оставаться счётной, а должна быть как-бы ... бОльшей!

Обозвали эту мощность континуумом