Ключевое слово
18 | 07 | 2019
Новости Библиотеки
Шахматы Онлайн
Welcome, Guest
Username: Password: Remember me

TOPIC: Математика для чайников №3

Математика для чайников №3 18 Апр 2019 19:36 #1561

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1045
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
Так мы говорим о строгой теории, где нет места фантазиям об инопланетянах и химерах о том, что аксиома выбора автоматически доказывает индукцию. :figa:

Если множество вполне упорядочено, то принцип индукции доказывается. Почему он аксиома? В чем тут фишка?
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 18 Апр 2019 19:52 #1562

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 79461
  • Thank you received: 1089
  • Karma: 82
сам-пят wrote:
Если множество вполне упорядочено, то принцип индукции доказывается. Почему он аксиома? В чем тут фишка?

Докажите
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 18 Апр 2019 19:55 #1563

  • Grigoriy
  • Grigoriy's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 13564
  • Thank you received: 346
  • Karma: 16
Аксиома выбора не "доказывает индукцию", а даёт возможность производить рассуждения по индукции.
The following user(s) said Thank You: Vladimirovich

Математика для чайников №3 18 Апр 2019 19:58 #1564

  • Grigoriy
  • Grigoriy's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 13564
  • Thank you received: 346
  • Karma: 16
Впрочем, эта возможость весьма специфическая - ведь для бесконечных множеств не указано правило выбора следующего элемента(только известно, что он существует) - а как тогда переходить от свойства данного элемента к свойству следующего, т е делать шаг индукции?

Математика для чайников №3 18 Апр 2019 20:00 #1565

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 79461
  • Thank you received: 1089
  • Karma: 82
Вот это правильно, Григорий
:beer: :beer:

Упорядоченность есть только основа для применения индукции
На множестве натуральных чисел он называется мат. индукция, она же 5 аксиома Пеано. Упорядоченность же натуральных следует из первых четырех.
На несчетных множествах он называется трансфинитная индукция, и вот именно она не применима без аксиомы Цермело.
Но это совсем другая история...
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 19 Апр 2019 02:30 #1566

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 37351
  • Thank you received: 85
  • Karma: 22
вполне упорядоченность натуральных есть изначальное, характеристическое, неотменное их свойство вытекающее из аксиом Пеано (даже одной индукции должно хватить, не уверен о вкладе первых 4х :unsure: ); интересно то, что индукцию, уже трансфинитную, можно продолжить ЗА натуральными и получим счётные ординалы, хоть и неясно зачем нам такие; ещё интереснее (и бессмысленнее, к сожалению...) то, что могут приспичить несчётные ординалы и алеф-один будет первым/наименьшим таковым. Именно этому алефу континуум действительных чисел может, но не обязан равняться вслед за неразрешимостью по Коэну гипотезы континуума.

АВ обеспечивает, что любое множество "измеряется" неким вполне упорядоченным по определению ординалом или скорее алефом - первым/наименьшим из ординалов некоей мощности, обзываемым еще кардиналом. Стало быть, индукция порождающая вполне упорядоченные ординалы НЕ есть выбор, чем можем, однако, вполне упорядочить любое множество, дабы нашло своё место на шкале вполне упорядоченных по построению ординалов/кардиналов.

выглядит верхнее упорядоченно, но ... как-бы надуманно и выхолощенно, что ли, толку-то не очень... :dontknow:
Last Edit: 19 Апр 2019 12:31 by Хайдук.

Математика для чайников №3 19 Апр 2019 12:41 #1567

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 37351
  • Thank you received: 85
  • Karma: 22
в 30-ые прошлого века Генцен вроде доказал непротиворечивость арифметики индукцией вплоть до некоего ординала эпсилон, думаю, что ординал этот счётный, хоть и большой, далеко ЗА натуральными в смысле "числа" индуктивных шагов +1... :dontknow:
Last Edit: 19 Апр 2019 15:37 by Хайдук.

Математика для чайников №3 19 Апр 2019 15:14 #1568

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1045
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
сам-пят wrote:
Если множество вполне упорядочено, то принцип индукции доказывается. Почему он аксиома? В чем тут фишка?

Докажите

Пусть некое P(n + 1) верно при условии, что верно P(n), начиная с заведомо верного P(1). Докажем, что P верно безусловно.

Если бы P(n) было неверно при некотором n > 1 и (в силу вполне упорядоченности) первом таком n1, то P(n1 - 1) было бы верно, а значит, и P(n1), противоречие.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 19 Апр 2019 15:31 #1569

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 79461
  • Thank you received: 1089
  • Karma: 82
сам-пят wrote:
Если бы P(n) было неверно при некотором n > 1 и (в силу вполне упорядоченности) первом таком n1, то P(n1 - 1) было бы верно, а значит, и P(n1), противоречие.

Это только кажется очевидным.
Вы полагаете, что множество всех таких n, что P(n) неверно, существует, но у вас нет конструктивного метода его построения.
А значит и n1 неизвестно.

Собссно, неконструктивность и есть та царапина, что аксиому выбора делает несколько маргинальной.
Там, где есть конструктивный метод построения и аксиома эта не нужна.

Опять же, если взять для простоты Вики, то пятая аксиома и есть конструктивность для индукции, как мне видится
(Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Вы просто пытаетесь словами замаскировать использование этого самого принципа индукции, только двигаясь в обратную сторону
От некоторого n к n1
Каждому - своё.
Last Edit: 19 Апр 2019 15:37 by Vladimirovich.

Математика для чайников №3 19 Апр 2019 15:43 #1570

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1045
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Хорошо, а тут почему не возражаете?

Vladimirovich wrote:
На несчетных множествах он называется трансфинитная индукция, и вот именно она не применима без аксиомы Цермело.
Но это совсем другая история...
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 19 Апр 2019 15:43 by сам-пят.

Математика для чайников №3 19 Апр 2019 15:54 #1571

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 79461
  • Thank you received: 1089
  • Karma: 82
сам-пят wrote:
Хорошо, а тут почему не возражаете?
А что я должен возражать?

Есть счетные множества, равномощные натуральным, которые уже вполне упорядочены.
А раз они равномощные, то для любого счетного можно подобрать соотношение вполне порядка.

Вместе с аксиомой индукции этого достаточно для доказательств "для всех"
Ведь не случайно, это аксиома для натуральных чисел, а не теорема.
(Я понимаю, что какие то тонкости я вполне могу упустить или вовсе не понимать :) , но если бы она доказывалась, то аксиомой бы не называлась)

Трансфинитная же применяется к множествам несчетным, а вот вполне ли они упорядочены, уже неизвестно.
Вот тогда и запускается цермела, а с ней можно применять и трансфинитную.

Для натуральных же чисел аксиома выбора пятое колесо в телеге.

Как-то так
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 20 Апр 2019 04:19 #1572

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 37351
  • Thank you received: 85
  • Karma: 22
Vladimirovich wrote:
На несчетных множествах... трансфинитная индукция, и вот именно она не применима без аксиомы Цермело.
любая индукция ЗА натуральными будет трансфинитной и до поры до времени (до ординала алефа-одного, то бишь) даже счётной, но без АВ пройтись индукцией по каждому множеству будет нельзя, поскольку не знаем когда остановиться, то бишь исчерпали его или нет; или другими словами: множество будет несравнимо с ординалами и, в частности, с алефами/кардиналами :dumb:

ЗЫ. без АВ любой частичный порядокнесравнимостями!) на мощностях множеств может поиметь место быть, а это дикий хаосъ... :tired:
Last Edit: 20 Апр 2019 18:00 by Хайдук.

Математика для чайников №3 20 Апр 2019 17:02 #1573

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1045
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Замкнутое множество метрического пространства - это множество, содержащее все свои предельные точки. Интересно, почему в этом определении задействуется понятие предельной точки, а не точки конденсации? Чем первое лучше? Разница следующая: в каждой окрестности предельной точки должно содержаться счетное количество точек рассматриваемого множества, а в каждой окрестности точки конденсации - несчетное.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 20 Апр 2019 18:42 by сам-пят.

Математика для чайников №3 20 Апр 2019 18:04 #1574

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 37351
  • Thank you received: 85
  • Karma: 22
с какого перепугу такое обязательно? :unsure:

Математика для чайников №3 20 Апр 2019 18:11 #1575

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1045
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
по определению
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 22 Апр 2019 08:27 #1576

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1045
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Всем известно, что отрезок и квадрат равномощны. Доказывается тривиально.

С удивлением прочитал, что Кантор поначалу считал иначе и что доказательство очень сложное. И решал задачу целых 3 года.

Вот как трудно быть первопроходцем. А Владимирович думает, что легко, и обзывает пионеров каким-то Мишиным. :)
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 22 Апр 2019 08:28 by сам-пят.

Математика для чайников №3 22 Апр 2019 09:28 #1577

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 79461
  • Thank you received: 1089
  • Karma: 82
сам-пят wrote:
Всем известно, что отрезок и квадрат равномощны. Доказывается тривиально.

С удивлением прочитал, что Кантор поначалу считал иначе и что доказательство очень сложное. И решал задачу целых 3 года.

Вот как трудно быть первопроходцем. А Владимирович думает, что легко, и обзывает пионеров каким-то Мишиным. :)

Это совсем другая проблема. И вовсе нетривиально. :figa: Я никогда подобного не говорил.
Как раз именно Вы изволили толковать об элементарных доказательствах

У Бурбаки даже для счетных это 225 страница
Лемма 2. Множество NхN равномощно множеству N.

Главная проблема тут в том, что современные граждане зачастую просто пропускают множество промежуточных лемм, считая их чем то само собой разумеющимся. Т.е когда здание математики уже построено до 30го этажа, строить 31 легко.
И вот когда речь заходит о том, следует ли 5й этаж из 4го или нет, используется какой нибудь 21й этаж, который без 5го вообще не мог бы быть построен... Что некорректно.

А классики действительно строили с нуля.

Вот таким же типичным примером стоит теория Лобачевского. Это очень-очень нетривиально было тогда.
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 22 Апр 2019 10:50 #1578

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1045
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
Это совсем другая проблема. И вовсе нетривиально.

Берутся абсцисса и ордината точки и перемежаются их десятичные записи, вот вам точка отрезка, и наоборот. Правда, да, придется доказывать т. Кантора - Бернштейна, что либо одно, либо другое, либо равномощность (а четвертого не дано, если принять аксиому выбора). Без Бернштейна никуда. )) Или нет, в данном случае равномощность очевидна и без него.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 22 Апр 2019 11:32 by сам-пят.

Математика для чайников №3 22 Апр 2019 11:33 #1579

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 79461
  • Thank you received: 1089
  • Karma: 82
сам-пят wrote:
Берутся абсцисса и ордината точки и перемежаются их десятичные записи, вот вам точка отрезка, и наоборот.
Это мне известно. А вот строгое доказательство оного, а не пара слов за Бернштейна дело совсем другое
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 22 Апр 2019 12:15 #1580

  • Grigoriy
  • Grigoriy's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 13564
  • Thank you received: 346
  • Karma: 16
Хотя д-во равномощности отрезка и квадрата весьма нетривиально, и мне, например, вряд ли бы было по силам - но для хорошего олимпиадника это действительно задача на пару минут. А уровень Кантора как решателя задач думаю был много выше уровня хорошего олимпиадника.
Хитрость однако в том, что Кантор решал другую задачу :-)
А именно - что они не равномощны. И старался придумать конструкцию, это докaзывающую. А вот это действительно крайне трудная задача :-) Кантор решaл её 3 года, и ему ещё повезло - мог и 10 :-)
Last Edit: 22 Апр 2019 12:17 by Grigoriy.

Математика для чайников №3 23 Апр 2019 01:29 #1581

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 37351
  • Thank you received: 85
  • Karma: 22
не вижу никакой сложности: декартово произведение отрезка на себя не может увеличить мощность, это возможно тогда, когда само "число" множителей декартова произведения бОльше мощности любого множества-множителя :yess:

Математика для чайников №3 23 Апр 2019 04:14 #1582

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 79461
  • Thank you received: 1089
  • Karma: 82
Хайдук wrote:
не вижу никакой сложности: декартово произведение отрезка на себя не может увеличить мощность...

"Как хорошо быть молодым, здоровым, уметь ездить на велосипеде и получать плату по соглашению" (с) И.Ильф
:beer:
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 23 Апр 2019 09:58 #1583

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1045
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Grigoriy wrote:
А вот это действительно крайне трудная задача :-) Кантор решaл её 3 года, и ему ещё повезло - мог и 10 :-)

Мало того, в определенном смысле понятие мощности предшествовало понятию множества, поскольку множества у Кантора поначалу состояли из одних чисел или точек и только чуть ли не через 10 лет он додумался, что они могут состоять из абстрактных элементов.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 27 Апр 2019 12:04 #1584

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 37351
  • Thank you received: 85
  • Karma: 22
Vladimirovich wrote:
Хайдук wrote:
не вижу никакой сложности: декартово произведение отрезка на себя не может увеличить мощность...
"Как хорошо быть молодым, здоровым, уметь ездить на велосипеде и получать плату по соглашению" (с) И.Ильф :beer:
а как насчёт проекции отрезка на (непрерывную) кривую Пеано заполняющую квадрат? :idea:

Математика для чайников №3 27 Апр 2019 12:06 #1585

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 79461
  • Thank you received: 1089
  • Karma: 82
Да знаем мы, что фсё это возможно...
Вопрос в том, в чем разница между теми кто знает и кто может строго доказать...
That is the question
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 27 Апр 2019 13:49 #1586

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 37351
  • Thank you received: 85
  • Karma: 22
полагаю, что 1-1 соответствие между отрезком и любой кривой нетрудно строго доказать, труднее найти кривую исколесившую квадрат :glasses:

Математика для чайников №3 27 Апр 2019 13:53 #1587

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 79461
  • Thank you received: 1089
  • Karma: 82
Хайдук wrote:
полагаю, что 1-1 соответствие между отрезком и любой кривой нетрудно строго доказать, труднее найти кривую исколесившую квадрат :glasses:
Полагать каждый может...
:beer:
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 27 Апр 2019 19:08 #1588

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 37351
  • Thank you received: 85
  • Karma: 22
Cardinal arithmetic, by Saharon Shelah, Oxford Logic Guides, vol.29, Oxford Univ. Press, London and New York, 1994, xxxi + 481 pp., $105.00

www.ams.org/journals/bull/1996-33-03/S02...-0979-96-00673-8.pdf

Математика для чайников №3 28 Апр 2019 04:46 #1589

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 79461
  • Thank you received: 1089
  • Karma: 82
Хайдук wrote:
London and New York, 1994, xxxi + 481 pp
То-то и оно, что 481 страница :glasses:
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 28 Апр 2019 05:20 #1590

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1045
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Кстати, коль скоро, как пишут, он был пленарным докладчиком в 1986 году, то очередной математический конгресс пройдет в Петербурге в 2022 году, числа несколько изменились. У нас конгресс был единственно в 1966 году, в Москве конечно.

government.ru/news/36405/
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Moderators: Grigoriy
Рейтинг@Mail.ru

Научно-шахматный клуб КвантоФорум