Vladimirovich wrote:
Если множество вполне упорядочено, то принцип индукции доказывается. Почему он аксиома? В чем тут фишка?

сам-пят wrote:
Докажите

Аксиома выбора не "доказывает индукцию", а даёт возможность производить рассуждения по индукции.

Впрочем, эта возможость весьма специфическая - ведь для бесконечных множеств не указано правило выбора следующего элемента(только известно, что он существует) - а как тогда переходить от свойства данного элемента к свойству следующего, т е делать шаг индукции?

Вот это правильно, Григорий


Упорядоченность есть только основа для применения индукции
На множестве натуральных чисел он называется мат. индукция, она же 5 аксиома Пеано. Упорядоченность же натуральных следует из первых четырех.
На несчетных множествах он называется трансфинитная индукция, и вот именно она не применима без аксиомы Цермело.
Но это совсем другая история...

вполне упорядоченность натуральных есть изначальное, характеристическое, неотменное их свойство вытекающее из аксиом Пеано (даже одной индукции должно хватить, не уверен о вкладе первых 4х ); интересно то, что индукцию, уже трансфинитную, можно продолжить ЗА натуральными и получим счётные ординалы, хоть и неясно зачем нам такие; ещё интереснее (и бессмысленнее, к сожалению...) то, что могут приспичить несчётные ординалы и алеф-один будет первым/наименьшим таковым. Именно этому алефу континуум действительных чисел может, но не обязан равняться вслед за неразрешимостью по Коэну гипотезы континуума.

АВ обеспечивает, что любое множество "измеряется" неким вполне упорядоченным по определению ординалом или скорее алефом - первым/наименьшим из ординалов некоей мощности, обзываемым еще кардиналом. Стало быть, индукция порождающая вполне упорядоченные ординалы НЕ есть выбор, чем можем, однако, вполне упорядочить любое множество, дабы нашло своё место на шкале вполне упорядоченных по построению ординалов/кардиналов.

выглядит верхнее упорядоченно, но ... как-бы надуманно и выхолощенно, что ли, толку-то не очень...

в 30-ые прошлого века Генцен вроде доказал непротиворечивость арифметики индукцией вплоть до некоего ординала эпсилон, думаю, что ординал этот счётный, хоть и большой, далеко ЗА натуральными в смысле "числа" индуктивных шагов +1...

Vladimirovich wrote:
Пусть некое P(n + 1) верно при условии, что верно P(n), начиная с заведомо верного P(1). Докажем, что P верно безусловно.

Если бы P(n) было неверно при некотором n > 1 и (в силу вполне упорядоченности) первом таком n₁, то P(n₁ - 1) было бы верно, а значит, и P(n₁), противоречие.

сам-пят wrote:
Это только кажется очевидным.
Вы полагаете, что множество всех таких n, что P(n) неверно, существует, но у вас нет конструктивного метода его построения.
А значит и n₁ неизвестно.

Собссно, неконструктивность и есть та царапина, что аксиому выбора делает несколько маргинальной.
Там, где есть конструктивный метод построения и аксиома эта не нужна.

Опять же, если взять для простоты Вики, то пятая аксиома и есть конструктивность для индукции, как мне видится
Вы просто пытаетесь словами замаскировать использование этого самого принципа индукции, только двигаясь в обратную сторону
От некоторого n к n₁

Хорошо, а тут почему не возражаете?

Vladimirovich wrote:

сам-пят wrote: А что я должен возражать?

Есть счетные множества, равномощные натуральным, которые уже вполне упорядочены.
А раз они равномощные, то для любого счетного можно подобрать соотношение вполне порядка.

Вместе с аксиомой индукции этого достаточно для доказательств "для всех"
Ведь не случайно, это аксиома для натуральных чисел, а не теорема.
(Я понимаю, что какие то тонкости я вполне могу упустить или вовсе не понимать , но если бы она доказывалась, то аксиомой бы не называлась)

Трансфинитная же применяется к множествам несчетным, а вот вполне ли они упорядочены, уже неизвестно.
Вот тогда и запускается цермела, а с ней можно применять и трансфинитную.

Для натуральных же чисел аксиома выбора пятое колесо в телеге.

Как-то так

Vladimirovich wrote: любая индукция ЗА натуральными будет трансфинитной и до поры до времени (до ординала алефа-одного, то бишь) даже счётной, но без АВ пройтись индукцией по каждому множеству будет нельзя, поскольку не знаем когда остановиться, то бишь исчерпали его или нет; или другими словами: множество будет несравнимо с ординалами и, в частности, с алефами/кардиналами

ЗЫ. без АВ любой частичный порядок (с несравнимостями!) на мощностях множеств может поиметь место быть, а это дикий хаосъ...

Замкнутое множество метрического пространства - это множество, содержащее все свои предельные точки. Интересно, почему в этом определении задействуется понятие предельной точки, а не точки конденсации? Чем первое лучше? Разница следующая: в каждой окрестности предельной точки должно содержаться счетное количество точек рассматриваемого множества, а в каждой окрестности точки конденсации - несчетное.

с какого перепугу такое обязательно?

по определению

Всем известно, что отрезок и квадрат равномощны. Доказывается тривиально.

С удивлением прочитал, что Кантор поначалу считал иначе и что доказательство очень сложное. И решал задачу целых 3 года.

Вот как трудно быть первопроходцем. А Владимирович думает, что легко, и обзывает пионеров каким-то Мишиным.

сам-пят wrote:
Это совсем другая проблема. И вовсе нетривиально. Я никогда подобного не говорил.
Как раз именно Вы изволили толковать об элементарных доказательствах

У Бурбаки даже для счетных это 225 страница

Главная проблема тут в том, что современные граждане зачастую просто пропускают множество промежуточных лемм, считая их чем то само собой разумеющимся. Т.е когда здание математики уже построено до 30го этажа, строить 31 легко.
И вот когда речь заходит о том, следует ли 5й этаж из 4го или нет, используется какой нибудь 21й этаж, который без 5го вообще не мог бы быть построен... Что некорректно.

А классики действительно строили с нуля.

Вот таким же типичным примером стоит теория Лобачевского. Это очень-очень нетривиально было тогда.

Vladimirovich wrote:
Берутся абсцисса и ордината точки и перемежаются их десятичные записи, вот вам точка отрезка, и наоборот. Правда, да, придется доказывать т. Кантора - Бернштейна, что либо одно, либо другое, либо равномощность (а четвертого не дано, если принять аксиому выбора). Без Бернштейна никуда. )) Или нет, в данном случае равномощность очевидна и без него.

сам-пят wrote: Это мне известно. А вот строгое доказательство оного, а не пара слов за Бернштейна дело совсем другое

Хотя д-во равномощности отрезка и квадрата весьма нетривиально, и мне, например, вряд ли бы было по силам - но для хорошего олимпиадника это действительно задача на пару минут. А уровень Кантора как решателя задач думаю был много выше уровня хорошего олимпиадника.
Хитрость однако в том, что Кантор решал другую задачу
А именно - что они не равномощны. И старался придумать конструкцию, это докaзывающую. А вот это действительно крайне трудная задача Кантор решaл её 3 года, и ему ещё повезло - мог и 10

не вижу никакой сложности: декартово произведение отрезка на себя не может увеличить мощность, это возможно тогда, когда само "число" множителей декартова произведения бОльше мощности любого множества-множителя

Хайдук wrote:
"Как хорошо быть молодым, здоровым, уметь ездить на велосипеде и получать плату по соглашению" (с) И.Ильф

Grigoriy wrote:
Мало того, в определенном смысле понятие мощности предшествовало понятию множества, поскольку множества у Кантора поначалу состояли из одних чисел или точек и только чуть ли не через 10 лет он додумался, что они могут состоять из абстрактных элементов.

Vladimirovich wrote: а как насчёт проекции отрезка на (непрерывную) кривую Пеано заполняющую квадрат?

Да знаем мы, что фсё это возможно...
Вопрос в том, в чем разница между теми кто знает и кто может строго доказать...
That is the question

полагаю, что 1-1 соответствие между отрезком и любой кривой нетрудно строго доказать, труднее найти кривую исколесившую квадрат

Хайдук wrote: Полагать каждый может...

Cardinal arithmetic, by Saharon Shelah, Oxford Logic Guides, vol.29, Oxford Univ. Press, London and New York, 1994, xxxi + 481 pp., $105.00

www.ams.org/journals/bull/1996-33-03/S02...-0979-96-00673-8.pdf

Хайдук wrote: То-то и оно, что 481 страница

Кстати, коль скоро, как пишут, он был пленарным докладчиком в 1986 году, то очередной математический конгресс пройдет в Петербурге в 2022 году, числа несколько изменились. У нас конгресс был единственно в 1966 году, в Москве конечно.

government.ru/news/36405/