Ключевое слово
17 | 10 | 2019
Новости Библиотеки
Шахматы Онлайн
Welcome, Guest
Username: Password: Remember me

TOPIC: Математика для чайников №3

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 14:19 #1501

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
Множество, равномощное собственному подмножеству, бесконечно...

Вот, докажите это элементарно без аксиомы выбора.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 17 Апр 2019 14:21 by сам-пят.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 14:20 #1502

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
Vladimirovich wrote:
Множество, равномощное собственному подмножеству, бесконечно, а значит содержит счетное множество.

Вот, докажите это без аксиомы выбора.

Аксиома выбора не в том, что без нее нельзя выбрать из множества один элемент
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 14:23 #1503

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Один элемент выбирать можно, но не бесконечно.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 14:33 #1504

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Ну, т.е. не так: выбираем из бесконечного множества один элемент; оставшаяся часть бесконечна, выбираем из нее второй элемент; оставшаяся часть бесконечна, выбираем...
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 14:43 #1505

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
Бурбаки
Определение 1. Говорят, что кардинальное цисло А конечно, если А ≠ А+1
конечное кардинальное число называется также натуральным целым числом (или просто целым числом, если можно не опасаться путаницы...
Определение 1. Говорят, что множество бесконечное, если оно не является конечным.

И еще 50 страниц...
Так что, как говорил папаша Мюллер, это вовсе не ерунда не элементарно, дружище самоед :) , если мы хотим полной строгости.
Весь вопрос в том, какой уровень мы считаем достаточным для доказательства, нещадно пропуская "самоочевидные" промежуточные леммы...

А если попросту, то
Если подмножество конечно, то все равномощное ему также конечно. А это не наш случай. Значит оно бесконечно
Если бесконечно подмножество, то бесконечно и само множество

Зачем тут аксиома выбора?
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 14:59 #1506

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Да нет, дорогой Владимирович, никаких кардиналов, никаких страниц, схема много элементарнее. Еще раз:

Доказать без аксиомы выбора, что множество, равномощное собственной части, содержит счетную часть.

Пусть множество Х равномощно своей собственной части Ф(Х), где Ф взаимно однозначно.
Берем точку х вне Ф(Х). Тогда требуемой счетной частью будет последовательность

х, Ф(х), Ф(Ф(х)), Ф(Ф(Ф(х))), ... .
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 17 Апр 2019 15:12 by сам-пят.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 15:14 #1507

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
Если бесконечно подмножество, то бесконечно и само множество

А нам надо доказать, что из бесконечного множества можно выделить счетную часть. Без аксиомы выбора вы не сможете сделать это.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 15:34 #1508

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
Vladimirovich wrote:
Множество, равномощное собственному подмножеству, бесконечно...

Вот, докажите это элементарно без аксиомы выбора.

Вы это хотели доказать?
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 15:48 #1509

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
сам-пят wrote:
Vladimirovich wrote:
Множество, равномощное собственному подмножеству, бесконечно...

Вот, докажите это элементарно без аксиомы выбора.

Вы это хотели доказать?

Нет, это я поспешно оборвал ваше утверждение:

Vladimirovich wrote:
Множество, равномощное собственному подмножеству, бесконечно, а значит содержит счетное множество.

Оборванную часть докажите без аксиомы выбора, нам ведь это требуется.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 17 Апр 2019 15:50 by сам-пят.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 15:52 #1510

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
Оборванную часть докажите без аксиомы выбора, нам ведь это требуется.
Сформулируйте сначала аксиому выбора.
Меня терзают смутные сомнения, что Вы не так ее понимаете
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 16:13 #1511

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Это не я обнаружил, что при доказательстве т. Больцано - Вейерштрасса используется аксиома выбора.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 17 Апр 2019 16:14 by сам-пят.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 16:52 #1512

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
Это не я обнаружил, что при доказательстве т. Больцано - Вейерштрасса используется аксиома выбора.

Так Вы сформулируете ее или нет?
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 17:11 #1513

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Ну, формулировок много, и часто стараются сформулировать ее не в предельной общности, а в той, в которой собираются ее использовать. Вашего доказательства я пока не видел, поэтому давайте его сюда. Мне же лично нравится утверждение, эквивалентное аксиоме выбора и называемое теоремой Цермело - что всякое множество можно вполне упорядочить.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 17 Апр 2019 17:12 by сам-пят.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 17:21 #1514

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 38109
  • Thank you received: 85
  • Karma: 22
ну, это довольно НЕ очевидная формулировка, мягко выражаясь :lol: , я тоже боюсь какой-либо формулировки... :blush: :dumb:

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 17:32 #1515

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
Мне же лично нравится утверждение, эквивалентное аксиоме выбора и называемое теоремой Цермело - что всякое множество можно вполне упорядочить.
Ну, во первых, множество натуральных чисел и действительных вполне упорядоченные без всякой теоремы Цермело, поэтому попытки прикрутить ее к школьному курсу эквивалентны прикручиванию слону на хобот бантик.
Я так вижу, Вы действительно не понимаете, о чем идет речь, и притащили сюда где-то прочитанную хрень от очередного умника типа Мишина...
И еще требуете "элементарного" доказательства
сам-пят wrote:
Вашего доказательства я пока не видел, поэтому давайте его сюда.
Я так понимаю, что с первой частью вопросов более нет.

Т.е. любое бесконечное множество содержит счетное множество нам надо?

Пусть есть множество М и оно бесконечно
Тогда мы можем выбрать любой (это очень важно) элемент х и построить множество M' без оного элемента
На абсолютно не важен порядок на множестве М
Затем мы можем выбрать любой из оставшихся, который ессно не равен уже x. Например y
Если у нас есть множество M без N элементов, то мы можем получить множество M без (N+1)
Ибо если не сможем, то M конечно

А тогда действует принцип мат.индукции (пятая аксиома Пеано) и мы можем выбрать совсем любое количество элементов, которое и образует счетное множество - некое подмножество М.
Мы упорядочиваем не всякое множество, а вполне конкретное - требуемое подмножество, что ни в коей мере не доказывает теорему Цермело.
Если же Вы недовольны и принципом мат.индукции, то Вам лучше вообще забыть о каких либо доказательствах на всем множестве натуральных чисел.

Как-то так.
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 18:07 #1516

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
1. Это не я прикручиваю вполне упорядоченность к данной задаче, а вы. Я же просто сформулировал свое предпочтение и ждал вашего доказательство. И насчет вполне упорядоченности множества действительных чисел это вы глупость сказали; да, это можно сделать, но не по-школьному.

2. Я подозреваю, что принцип мат. индукции в данном случае - это замаскированное применение аксиомы выбора в той ее форме, когда рассматривается счетное множество подмножеств одного множества и из каждого подмножества выбирается один элемент. И насчет вот этого я не понял: "Тогда мы можем выбрать любой (это очень важно) элемент х и построить множество M' без оного элемента". Почему "это очень важно"?
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 17 Апр 2019 18:12 by сам-пят.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 18:20 #1517

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
И насчет вполне упорядоченности множества действительных чисел это вы глупость сказали; да, это можно сделать, но не по-школьному.
ну да, не вполне упорядоченное, согласен
вполне упорядоченность таки требует Цермело...
сам-пят wrote:
Я подозреваю, что принцип мат. индукции в данном случае - это замаскированное применение аксиомы выбора в той ее форме, когда берется счетное множество подмножеств одного множества. И насчет вот этого я не понял: "Тогда мы можем выбрать любой (это очень важно) элемент х и построить множество M' без оного элемента". Почему "это очень важно"?

А вот то, что Вы подозреваете, к математическим методам не имеет никакого отношения.
Если есть возражения, указывайте какой конкретно пункт неверен.

В данном случае речь идет о счетном множестве, где аксиома выбора совершенно не нужна.
Множество натуральных чисел вполне упорядочено, а любое счетное ему равномощно.
Что касается "очень важно", это относится к слову любой, а значит никакие соображения об упорядоченности и тем более вполне упорядоченности множества М НЕ используются
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 18:40 #1518

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
А вот то, что Вы подозреваете, к математическим методам не имеет никакого отношения.
Если есть возражения, указывайте какой конкретно пункт неверен.

Ну хорошо. Поскольку это место подозрительно, давайте обойдемся в доказательстве без него, без мат. индукции. Или, на худой конец, подкрепите это каким-нибудь авторитетом, который доказывает именно так. А то "притащили сюда где-то прочитанную хрень от очередного умника типа Мишина". :mad: Я вот посмотрел, как у П.С. Александрова это доказывается: он вообще безо всякой индукции и аксиомы выбирает... выбирает, и точка.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 18:42 #1519

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
А нам надо доказать, что из бесконечного множества можно выделить счетную часть. Без аксиомы выбора вы не сможете сделать это.
сам-пят wrote:
А то "притащили сюда где-то прочитанную хрень от очередного умника типа Мишина".
Не вижу противоречия :)
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:00 #1520

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Ну вы свели исходную задачу к своей. Давайте вернемся к исходной.

сам-пят wrote:
Элементарная задачка. Доказать без аксиомы выбора, что множество, равномощное собственной части, содержит счетную часть.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 17 Апр 2019 19:01 by сам-пят.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:04 #1521

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
Давайте вернемся к исходной.
Ну и что не доказано?
Где была использована аксиома выбора?
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:06 #1522

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Ну что, опять за рыбу деньги?
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:15 #1523

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
Ну что, опять за рыбу деньги?

Вам нужно мне обязательно возразить или хотите разобраться?
Если первое - я более не буду Вам докучать и отвечать
Если второе, то не нужно валить все на мат. индукцию. Без нее вообще ничего нельзя доказать будет в этой сфере
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:21 #1524

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
Я вот посмотрел, как у П.С. Александрова это доказывается: он вообще безо всякой индукции и аксиомы выбирает... выбирает, и точка.
Или Вы просто не понимаете его доказательства
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:28 #1525

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
Решил найти у Александрова, не поленился

201904_aleksandrov.jpg


И что мы видим...
Продолжая наш процесс...

Это очевидно и есть мат.индукция, которую самоед принимает за непонятную зверюшку :figa:

Тот факт, что Александров строит сразу два счетных множества, ничего не меняет
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:30 #1526

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
Вам нужно мне обязательно возразить или хотите разобраться?
Если первое - я более не буду Вам докучать и отвечать

Ну так и не кидайтесь словами "притащили сюда где-то прочитанную хрень от очередного умника типа Мишина". Я, кстати, не знаю, кто такой Мишин. Вы же со своей стороны догадайтесь вот, кто это написал в книжечке для школьников, автор "724 статей и 50 книг", уж он-то, надо думать, знал толк и в мат. индукции, и в аксиоме выбора.

Si.png
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:31 #1527

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
И это индукция :figa:
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:35 #1528

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81025
  • Thank you received: 1127
  • Karma: 81
сам-пят wrote:
Ну так и не кидайтесь словами...
Ну вот и не кидайтесь всякими "это вы глупость сказали"
Я тоже могу так помечать Ваши утверждения, причем в гораздо большем количестве
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:38 #1529

  • инфолиократ
  • инфолиократ's Avatar
Vladimirovich wrote:
сам-пят wrote:
Я вот посмотрел, как у П.С. Александрова это доказывается: он вообще безо всякой индукции и аксиомы выбирает... выбирает, и точка.
Или Вы просто не понимаете его доказательства
Ну вы свели исходную задачу к своей. Давайте вернемся к исходной.
Мне, как примитившику, не то что Аксиома выбора, но и индукция - порождение выдуманности, типа непрерывностей и разнообразия бесконечностей. Раз они есть - значит кому-то нужны.
Хотя очень понравилось то, что приводился кем-то пример "индукции" о парах простых чисел (типа 11 и 13, до полусотни кажись). Вот и не представляю, почему в бесконечности подобное работает. Ведь как сказал ув. Хайдук, это так, потому что там никто не бывал, значит там действительно (с учетом ПУСТОГО множества тем более), может быть и то, чего в пределах вселенсконатурального быть не может.

сам-пят wrote:
Элементарная задачка. Доказать без аксиомы выбора, что множество, равномощное собственной части, содержит счетную часть.

Quote Selected
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 17 Апр 2019 19:45 #1530

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
Ну вот и не кидайтесь всякими "это вы глупость сказали"
Я тоже могу так помечать Ваши утверждения, причем в гораздо большем количестве

"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!" Первый-то кто начал. Но я зла не помню. :)
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Moderators: Grigoriy
Рейтинг@Mail.ru

Научно-шахматный клуб КвантоФорум