Vladimirovich wrote:
Вот, докажите это элементарно без аксиомы выбора.

сам-пят wrote:
Аксиома выбора не в том, что без нее нельзя выбрать из множества один элемент

Один элемент выбирать можно, но не бесконечно.

Ну, т.е. не так: выбираем из бесконечного множества один элемент; оставшаяся часть бесконечна, выбираем из нее второй элемент; оставшаяся часть бесконечна, выбираем...

Бурбаки
И еще 50 страниц...
Так что, как говорил папаша Мюллер, это вовсе не ерунда не элементарно, дружище самоед , если мы хотим полной строгости.
Весь вопрос в том, какой уровень мы считаем достаточным для доказательства, нещадно пропуская "самоочевидные" промежуточные леммы...

А если попросту, то
Если подмножество конечно, то все равномощное ему также конечно. А это не наш случай. Значит оно бесконечно
Если бесконечно подмножество, то бесконечно и само множество

Зачем тут аксиома выбора?

Да нет, дорогой Владимирович, никаких кардиналов, никаких страниц, схема много элементарнее. Еще раз:


Пусть множество Х равномощно своей собственной части Ф(Х), где Ф взаимно однозначно.
Берем точку х вне Ф(Х). Тогда требуемой счетной частью будет последовательность

х, Ф(х), Ф(Ф(х)), Ф(Ф(Ф(х))), ... .

Vladimirovich wrote:
А нам надо доказать, что из бесконечного множества можно выделить счетную часть. Без аксиомы выбора вы не сможете сделать это.

сам-пят wrote:
Вы это хотели доказать?

Vladimirovich wrote:
Нет, это я поспешно оборвал ваше утверждение:

Vladimirovich wrote:
Оборванную часть докажите без аксиомы выбора, нам ведь это требуется.

сам-пят wrote: Сформулируйте сначала аксиому выбора.
Меня терзают смутные сомнения, что Вы не так ее понимаете

Это не я обнаружил, что при доказательстве т. Больцано - Вейерштрасса используется аксиома выбора.

сам-пят wrote:
Так Вы сформулируете ее или нет?

Ну, формулировок много, и часто стараются сформулировать ее не в предельной общности, а в той, в которой собираются ее использовать. Вашего доказательства я пока не видел, поэтому давайте его сюда. Мне же лично нравится утверждение, эквивалентное аксиоме выбора и называемое теоремой Цермело - что всякое множество можно вполне упорядочить.

ну, это довольно НЕ очевидная формулировка, мягко выражаясь , я тоже боюсь какой-либо формулировки...

сам-пят wrote: Ну, во первых, множество натуральных чисел и действительных вполне упорядоченные без всякой теоремы Цермело, поэтому попытки прикрутить ее к школьному курсу эквивалентны прикручиванию слону на хобот бантик.
Я так вижу, Вы действительно не понимаете, о чем идет речь, и притащили сюда где-то прочитанную хрень от очередного умника типа Мишина...
И еще требуете "элементарного" доказательства
сам-пят wrote: Я так понимаю, что с первой частью вопросов более нет.

Т.е. любое бесконечное множество содержит счетное множество нам надо?

Пусть есть множество М и оно бесконечно
Тогда мы можем выбрать любой (это очень важно) элемент х и построить множество M' без оного элемента
На абсолютно не важен порядок на множестве М
Затем мы можем выбрать любой из оставшихся, который ессно не равен уже x. Например y
Если у нас есть множество M без N элементов, то мы можем получить множество M без (N+1)
Ибо если не сможем, то M конечно

А тогда действует принцип мат.индукции (пятая аксиома Пеано) и мы можем выбрать совсем любое количество элементов, которое и образует счетное множество - некое подмножество М.
Мы упорядочиваем не всякое множество, а вполне конкретное - требуемое подмножество, что ни в коей мере не доказывает теорему Цермело.
Если же Вы недовольны и принципом мат.индукции, то Вам лучше вообще забыть о каких либо доказательствах на всем множестве натуральных чисел.

Как-то так.

1. Это не я прикручиваю вполне упорядоченность к данной задаче, а вы. Я же просто сформулировал свое предпочтение и ждал вашего доказательство. И насчет вполне упорядоченности множества действительных чисел это вы глупость сказали; да, это можно сделать, но не по-школьному.

2. Я подозреваю, что принцип мат. индукции в данном случае - это замаскированное применение аксиомы выбора в той ее форме, когда рассматривается счетное множество подмножеств одного множества и из каждого подмножества выбирается один элемент. И насчет вот этого я не понял: "Тогда мы можем выбрать любой (это очень важно) элемент х и построить множество M' без оного элемента". Почему "это очень важно"?

сам-пят wrote: ну да, не вполне упорядоченное, согласен
вполне упорядоченность таки требует Цермело...
сам-пят wrote:
А вот то, что Вы подозреваете, к математическим методам не имеет никакого отношения.
Если есть возражения, указывайте какой конкретно пункт неверен.

В данном случае речь идет о счетном множестве, где аксиома выбора совершенно не нужна.
Множество натуральных чисел вполне упорядочено, а любое счетное ему равномощно.
Что касается "очень важно", это относится к слову любой, а значит никакие соображения об упорядоченности и тем более вполне упорядоченности множества М НЕ используются

Vladimirovich wrote:
Ну хорошо. Поскольку это место подозрительно, давайте обойдемся в доказательстве без него, без мат. индукции. Или, на худой конец, подкрепите это каким-нибудь авторитетом, который доказывает именно так. А то "притащили сюда где-то прочитанную хрень от очередного умника типа Мишина". Я вот посмотрел, как у П.С. Александрова это доказывается: он вообще безо всякой индукции и аксиомы выбирает... выбирает, и точка.

сам-пят wrote: сам-пят wrote: Не вижу противоречия

Ну вы свели исходную задачу к своей. Давайте вернемся к исходной.

сам-пят wrote:

сам-пят wrote: Ну и что не доказано?
Где была использована аксиома выбора?

Ну что, опять за рыбу деньги?

сам-пят wrote:
Вам нужно мне обязательно возразить или хотите разобраться?
Если первое - я более не буду Вам докучать и отвечать
Если второе, то не нужно валить все на мат. индукцию. Без нее вообще ничего нельзя доказать будет в этой сфере

сам-пят wrote: Или Вы просто не понимаете его доказательства

Решил найти у Александрова, не поленился



И что мы видим...
Продолжая наш процесс...

Это очевидно и есть мат.индукция, которую самоед принимает за непонятную зверюшку

Тот факт, что Александров строит сразу два счетных множества, ничего не меняет

Vladimirovich wrote:
Ну так и не кидайтесь словами "притащили сюда где-то прочитанную хрень от очередного умника типа Мишина". Я, кстати, не знаю, кто такой Мишин. Вы же со своей стороны догадайтесь вот, кто это написал в книжечке для школьников, автор "724 статей и 50 книг", уж он-то, надо думать, знал толк и в мат. индукции, и в аксиоме выбора.

И это индукция

сам-пят wrote: Ну вот и не кидайтесь всякими "это вы глупость сказали"
Я тоже могу так помечать Ваши утверждения, причем в гораздо большем количестве

Vladimirovich wrote:

Vladimirovich wrote:
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!" Первый-то кто начал. Но я зла не помню.