Vladimirovich wrote:
Интересно тогда, почему Вацлав Серпинский, а это был он, сразу не сослался на принцип мат. индукции? Мало того, свое доказательство он назвал "наброском"; обычно так пишут, когда настоящее доказательство должно быть заметно длиннее. Правда, в оригинале книжечка написана на польском языке, не на русском.

сам-пят wrote: Вы согласны, что у Александрова индукция?

А вообще специально оговаривать, что некое рассуждение использует принцип индукции, для титанов типа Серпинского должно быть моветон
На каждом уровне свой уровень доказательств и по умолчанию используемых схем.

Но надо понимать, что везде эта индукция была, и у Александрова и иже...
И даже у меня

Во-первых, книжечка для школьников, так что не моветон. А во-вторых, я догадываюсь почему, потом скажу, если додумаю.

в чём будет отличие индукции от выбора?

Хайдук wrote:
В данном случае, ни в чём. Аксиома выбора эквивалентна тому, что всякое множество можно вполне упорядочить. А принцип обычной мат. индукции равносилен тому, что множество всех натуральных чисел, упорядоченное по их величине, является вполне упорядоченным.

сам-пят wrote: Это принципиально неверно

Vladimirovich wrote:
Что "это"?

сам-пят wrote:
Это - это Ваше утверждение
Множество всех натуральных чисел упорядочено в силу аксиом Пеано ( или бурбаковских аналогов)
Никакого отношения к аксиоме выбора они не имеют

Даже если и принять Ваше
То там ключевое слово всякое. Именно это слово и делает аксиому выбора несколько одиозной, ибо для всякого множества это не совсем беспроблемно.
А вот если ограничиться натуральными числами, то никакая цермела тут не нужна, ибо и так все доказывается.
Попытки же отождествить всякое и натуральные числа логически неверны

Ближайший аналог

Натуральные: Любая водка упорядочена содержит 40%
Аксиома выбора: Всякий алкоголь можно упорядочить содержит 40%

Как Вы сами должны пониматьтут неверно.

Также, как и ссылка на

Вы рассуждаете вообще. Я же имею в виду нашу задачку. Изложите, пожалуйста, свою мысль на ее примере.

сам-пят wrote: quantoforum.ru/mathematics/2341-matemati...-3?start=1500#458691

Там нет ничего, что использует аксиому выбора.
Хотите опровергнуть?

Доказательство от Александрова
quantoforum.ru/mathematics/2341-matemati...-3?start=1500#458714

Принцип тот же.

Что Вам еще пояснить и изложить?

Ситуация, по-моему, напоминает картину столетней давности: Цермело говорит одно, а его оппоненты - другое, и каждый считает, что он прав.

Vladimirovich wrote:
Чем в случае нашей задачки индукция отличается от выбора?

сам-пят wrote: Тем, что это разные аксиомы.
Вы хотите узнать, что такое разные?

Вот формулировка из Вики пятой аксиомы Пеано
[tex]{P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )}}[/tex]

Если Вы хотите сказать, что из нее следует аксиома выбора, становитесь в очередь за Абелевской премией

Хорошо, вы говорите, что в нашей задачке аксиома выбора не при чем. И решаете задачку с помощью индукции. А без индукции можете?

Насколько я в курсе, тут сам-пят прав. Полная упорядоченность есть "замена" индукции для бесконечных множеств. Смысл в том. что если есть нарушение - есть минимальный элемент, для которого нарущается.

Grigoriy wrote: Вы, Григорий, неправильно читали
Речь шла о том, что мат.индукция эквивалентна аксиоме выбора Цермело, а это очевидно не так.

Упорядоченность же натуральных чисел следует из первых аксиом Пеано, насколько я понимаю, а принцип индукции из них не следует.

Допустим, я инопланетянин. Множество натуральных чисел мне известно, и оно у меня упорядочено, но не вполне упорядочено. В то же время аксиому выбора я принимаю и теоретически упорядочиваю множество натуральных чисел вполне, просто вполне, не эффективно, не обязательно по-земному. И вывожу отсюда - спасибо Григорию - инопланетный (!) принцип мат. индукции, а следом решаю а-ля Владимирович пресловутую задачку. Можно ли считать, что аксиома выбора здесь не при чем?

сам-пят wrote: Тогда это не наше множество натуральных чисел
Наше множество вполне упорядочено

сам-пят wrote: не знаю я о такой картине , кто такие оппоненты и о чём хлопочут?

Vladimirovich wrote:
Множество наше, но порядок в нем не наш, и натуральный ряд в целом не наш.

сам-пят wrote: Ну тогда это другая система аксиом.

О чем вообще тогда идет речь? Нельзя просто так взять и назначить 2х2=5

Vladimirovich wrote:
Я думаю, что можно, если речь идет не об арифметике, а только о порядке.

Думаю вот как, например. Возьмем множество рациональных чисел и перенумеруем их с помощью наших 1, 2, 3, ... . И будем считать натуральные числа упорядоченными так, как априори упорядочены только что перенумерованные ими рациональные числа. Тогда множество натуральных чисел будет упорядоченным, но не вполне упорядоченным. Вроде так, не ошибаюсь?

Вопрос обычно не в том, является ли то или некое множество вполне упорядоченным, а можно ли его вполне упорядочить, назначив на нем некое соотношение порядка.
§ 1. Соотношения порядка. Упорядоченные множества
Страница 137 Бурбаки - начало строгого изложения данного вопроса
сам-пят wrote:
Вы что хотите доказать?
Какое это имеет отношение к изначальному вопросу?

Понятно, что для одного и того же множества можно назначить различные соотношения порядка.
И одно и то же множество может быть и вполне и не вполне.
Например множество целых, с отрицательными
Ну и что?

Vladimirovich wrote:
Я, инопланетянин, принимаю аксиому выбора. С ее помощью вполне упорядочиваю натуральные числа, откуда вывожу для них принцип мат. индукции, с помощью которого решаю изначальную задачу как бы без аксиомы выбора. Но поскольку вполне упорядочиваю не эффективно, то без аксиомы выбора я обойтись не могу. Вам же, землянину, просто повезло: вам удалось сделать это эффективно и поэтому вы стартуете прямо с принципа мат. индукции. И еще имеете наглость отвергать аксиому выбора. ))

Vladimirovich wrote:
В системе Пеано индукция - это отдельная аксиома :
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81...B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE

Grigoriy wrote: Ну я так и сказал
Индукция - это пятая вроде

сам-пят wrote:
Ну если Вам нравится этот дурдом, то вперед. Мне это не интересно
К математике это не имеет отношения, да и что хотите доказать, даже сказать не можете внятно

сам-пят wrote: Множество классных математиков разрабатывало строгую теорию множествв, занимающую сотни страниц.
Потом приходит самоед, ничтоже сумняшеся гонит пургу про инопланетян и думает, что то-то доказал...
Это даже не наглость

Какие сотни страниц? Ваш скан - со стр. 20.

сам-пят wrote:
Александрова то?
Так мы говорим о строгой теории, где нет места фантазиям об инопланетянах и химерах о том, что аксиома выбора автоматически доказывает индукцию.
А не сжатому изложению для студентов или еще кого

Первый том Бурбаки - 231 страница