Ключевое слово
18 | 11 | 2019
Новости Библиотеки
Шахматы Онлайн
Welcome, Guest
Username: Password: Remember me

TOPIC: Математика для чайников №3

Математика для чайников №3 19 Май 2019 16:38 #1651

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
Вот возьмем простейшее еще

(x+y)2=x2+2xy+y2
сам-пят wrote:
То, что я проверил ВольфрамАльфой, верно для всех x, y, z. После чего кладем x + y + z = 1.

Положим x+y=1
Получили
x2+2xy+y2 = 1

Верно ли это теперь для всех x, y?
НЕТ. Это верно только для определенных соотношений x,y

Если кладется некая зависимость, то нужная степень свободы, переменная должна полностью исчезнуть, а поэтому такие махинации можно кормить только ВольфрамАльфе
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 16:38 #1652

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Владимирович, какая вам разница, чему равен многочлен вне того компакта, на котором он минимизируется! А на том компакте он СОВПАДАЕТ многочленом, симметрическим и линейным по каждой переменной, а значит, к нему можно применить ту общую теорему 4.155, где именно такие многочлен и компакт и фигурируют.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 19 Май 2019 16:43 by сам-пят.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 16:43 #1653

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
сам-пят wrote:
Владимирович, какая вам разница, чему равен многочлен вне того компакта, на котором он минимизируется! А на том компакте он то, что надо, - симметрический и линейный по каждой переменной, а значит, к нему можно применить ту общую теорему 4.155, где именно такие многочлен и компакт и фигурируют.

Вам же уже сказали, разные условия....
Одно дело, когда многочлен нелинейный, но наложение условия его (например) линеаризует в каком-то смысле, например хотя бы в частной производной.
А другое дело, когда он линейный в частных с самого начала, а уже потом накладываются еще условия.

Что значит, какая разница?
Вам приведены конкретные примеры, показывающие эту разницу.

P.S.
Еще раз - замените (x+y+z) на 1 в Вашем выражении для Альфы.
Порадуетесь :)
Каждому - своё.
Last Edit: 19 Май 2019 16:46 by Vladimirovich.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 16:53 #1654

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Хорошо, забудьте на минуту про многочлен x3 + y3 + z3 + 3xyz. Будем с самого начала минимизировать многочлен 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz. И применим к нему теорему 4.155, вполне корректно. А потом обнаружим, что на множестве минимизации этот многочлен совпадает с многочленом x3 + y3 + z3 + 3xyz, а значит, минимум у них там один и тот же. Разве нет? Разве это не следствие теоремы 4.155?
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 19 Май 2019 16:58 by сам-пят.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 17:02 #1655

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
сам-пят wrote:
Хорошо, забудьте на минуту про многочлен x3 + y3 + z3 + 3xyz. Будем с самого начала минимизировать многочлен 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz. И применим т. 4.155, вполне корректно. А потом обнаружится, что на множестве минимизации этот многочлен совпадает с многочленом x3 + y3 + z3 + 3xyz, а значит минимум у них там один и тот же. Разве нет? Разве это не следствие?

Нет. Он не совпадает.

Что такое множество минимизации? Ну получим мы точку М и что?
Проверяем условие... А вот и.... Не выполняется для нее (x+y+z) = 1
Дальше то что?
Минимизация 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz может показать совсем другие результаты, чем минимизация оригинала.

Как только на x3 + y3 + z3 + 3xyz накладывается условие (x+y+z) = 1, одна из переменных должна вылететь.
И минимум нужно уже считать для функции от (n-1) переменных.

Слушайте, ну Вам простейшие примеры приведены...

В Альфе заменили выражение? Нет?
Вот замените, тогда продолжим
:beer:
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 17:08 #1656

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
Как только в 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz ставим z = 1-x-y, то сразу получаем нелинейность
Так понятнее?
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 17:17 #1657

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
Что такое множество минимизации? Ну получим мы точку М и что?

Множество минимизации здесь не точка, а компакт {(x, y, z): x + y + z = 1, x > 0, y > 0, z > 0}, и на нем наши многочлены СОВПАДАЮТ, поэтому все равно что минимизировать.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 19 Май 2019 17:17 by сам-пят.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 17:20 #1658

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Vladimirovich wrote:
Как только в 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz ставим z = 1-x-y, то сразу получаем нелинейность
Так понятнее?

Да не сюда мы ставим x + y + z = 1. А вот в это ТОЖДЕСТВО, проверенное Альфой:

x3 + y3 + z3 + 3*x*y*z = (x + y + z)3 - 3*(x + y + z)*(x*y + x*z + y*z) + 6*x*y*z.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 19 Май 2019 17:31 by сам-пят.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 17:22 #1659

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
Vladimirovich wrote:
В Альфе заменили выражение? Нет?
Вот замените, тогда продолжим
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 17:27 #1660

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Владимирович, я трезвый. :)
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 19 Май 2019 17:38 #1661

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
сам-пят wrote:
Владимирович, я трезвый. :)

Я удивлен
Ибо как только Вы замените в своей выражении эти все x+y+z на 1, то все тождество рухнет :)
Для Вас же Альфа высший авторитет...

Короче, мне это более неинтересно.
Неинтересно что-то пытаться доказать, если собеседник принципиально виляет, меняет исходную точку дискуссии, лишь бы со мной не согласиться...

Ясно же, что в исходной задаче многочлен нелинейный и не станет линейным даже после замены.
В 4.155 условия требуют линейности с самого начала, а связка уже потом.
Т.е это просто разные условия задачи.

Если Вам это непонятно, то больше ничем не могу Вам помочь.
Да и зачем мне это...
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 17:59 #1662

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Ладно, Владимирович, не мешайте мне тогда, это я для прокрастинатора пишу.

procrastinator wrote:
Заметка на полях, это не есть общий случай. Ну или то не было частным случаем, поскольку не было линейности по индивидуальным переменным.

В силу тождества

x3 + y3 + z3 + 3xyz = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + xz + yz) + 6xyz,

которое я проверил ВольфрамАльфой, при x + y + z = 1 имеем

x3 + y3 + z3 + 3xyz = 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz.

Для последнего же многочлена упомянутое утверждение о его минимуме является частным случаем общего.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 19 Май 2019 18:08 by сам-пят.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 18:03 #1663

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
Вот, по методу самоеда

Найдем экстремум x2-y2
Если бы мы сразу наложили условие x+y=1 то получили бы функцию 2x-1

Сделаем тождество
x2-y2 = (x+y)(x-y)
Наложим тождество x+y=1 и получим в правой части x-y
Ну и зачем мы будем искать там экстремум этого на "компакте"? Он иожет быть совсем другой на множестве, даже если обе функции равны при x+y=1
Пока мы не поменяем все y в выражении, то никакого тождества нет :figa:

Вот поэтому и выражение аналог выше 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz не имеет смысла
Там z уже тоже должно быть заменено заранее :figa:
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 19 Май 2019 20:24 #1664

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 38450
  • Thank you received: 86
  • Karma: 22
похоже ув. сампят бездумно шмаляет компом как дитё :blush:
Last Edit: 19 Май 2019 20:26 by Хайдук.

Математика для чайников №3 20 Май 2019 02:17 #1665

  • procrastinator
  • procrastinator's Avatar
сам-пят wrote:
Ладно, Владимирович, не мешайте мне тогда, это я для прокрастинатора пишу.

procrastinator wrote:
Заметка на полях, это не есть общий случай. Ну или то не было частным случаем, поскольку не было линейности по индивидуальным переменным.

В силу тождества

x3 + y3 + z3 + 3xyz = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + xz + yz) + 6xyz,

которое я проверил ВольфрамАльфой, при x + y + z = 1 имеем

x3 + y3 + z3 + 3xyz = 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz.

Для последнего же многочлена упомянутое утверждение о его минимуме является частным случаем общего.
Да, подловили. А в чем вопрос-то теперь?

Математика для чайников №3 20 Май 2019 04:05 #1666

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
На самом деле, рассуждения самоеда это игра в три наперстка :)

Вот, для наглядности упрощенный аналог
Пусть y=x и условие x=1

Тогда у=x*x/x (по прежнему тождество)
у=1/х (по прежнему тождество при условии x=1) - это точный аналог приведения к 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz, где z выкинут только в двух местах, а в двух оставлен

Берем производную (аналог нахождения экстремума)
у'=-1/х2

И при x=1 ...вуаля.... y'=-1 для функции y=x :figa:

Точно также нельзя подсовывать в теорему о минимуме 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz, хоть это и "тождество"
Потому что z уже не является тут независимой переменной

А значитсам-пят wrote:
Для последнего же многочлена упомянутое утверждение о его минимуме является частным случаем общего.
это неверно.
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 20 Май 2019 04:37 #1667

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Хайдук wrote:
похоже ув. сампят бездумно шмаляет компом как дитё :blush:
Хорошо сказал. :) Правда, комп у меня старый, 10 лет ему.

Vladimirovich wrote:
это неверно.
Ладно, Владимирович, потом выяснится, верно или неверно.

procrastinator wrote:
А в чем вопрос-то теперь?
Вопрос про общий случай, про задачу 4.155.

4.155_2019-05-20.jpg


Все-таки непонятно, что означает min справа. Вот и Владимирович о чем-то таком говорил.
Пусть min достигается при некотором конкретном k < n, т.е. не все переменные справа равноправны.
Что означает эта несимметричность? Можно ли привести пример, когда при k = n этот min не достигается?

Доказательство в задаче 4.155 довольно изящное. Сейчас я его сосканирую... Вот, трудно не криво.

4.155_proof.jpg
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 20 Май 2019 05:15 by сам-пят.

Математика для чайников №3 20 Май 2019 11:05 #1668

  • procrastinator
  • procrastinator's Avatar
сам-пят wrote:
procrastinator wrote:
А в чем вопрос-то теперь?
Вопрос про общий случай, про задачу 4.155.

Все-таки непонятно, что означает min справа. Вот и Владимирович о чем-то таком говорил.
Пусть min достигается при некотором конкретном k < n, т.е. не все переменные справа равноправны.
Что означает эта несимметричность? Можно ли привести пример, когда при k = n этот min не достигается?
Для простоты ограничимся трехмерным случаем. Правая часть означает очевидное, а именно, что минимум достигается либо в центре треугольника x+y+z=1, либо в центре его ребра, либо в одной из вершин. Ввиду симметричности полинома, неважно какое ребро или какая вершина выбраны. Можно и те, что в 4.155. В вашем примере S(1/3,1/3,1/3)=2/9, S(1/2,1/2,0)=1/4 и S(1,0,0)=1, поэтому минимум функции достигается в центре треугольника. А максимум S или минимум -S достигается в вершинах.

Математика для чайников №3 20 Май 2019 19:35 #1669

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
procrastinator wrote:
Правая часть означает очевидное, а именно, что минимум достигается либо в центре треугольника x+y+z=1, либо в центре его ребра, либо в одной из вершин.

Если минимум достигается в центре одного ребра или в одной вершине, то и во всех других тоже, да? Но тогда еще и в центре, нет?
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 21 Май 2019 01:17 #1670

  • procrastinator
  • procrastinator's Avatar
сам-пят wrote:
procrastinator wrote:
Правая часть означает очевидное, а именно, что минимум достигается либо в центре треугольника x+y+z=1, либо в центре его ребра, либо в одной из вершин.

Если минимум достигается в центре одного ребра или в одной вершине, то и во всех других тоже, да? Но тогда еще и в центре, нет?
Если минимум достигнут в центре одного ребра, то он достигнут в центре любого ребра. Если он достигнут в одной вершине нашего треугольника, то он достигнут в любой вершине. Это результат симметрии. В Вашем примере минимум достигается именно в центре треугольника. Из него тривиальным образом получается полином с минимумом в вершинах. Можно построить пример, где минимум достигается в центрах ребер. Кстати, интересный вопрос, можно ли построить нетривиальный пример такого полинома с минимумом одновременно в центре треугольника, центрах ребер, и вершинах?

Математика для чайников №3 21 Май 2019 06:07 #1671

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
procrastinator wrote:
Кстати, интересный вопрос, можно ли построить нетривиальный пример такого полинома с минимумом одновременно в центре треугольника, центрах ребер, и вершинах?
Я так понимаю, что из условий следует, что частная производная по любой из переменных или линейная или парабола (после замены одного из xn на 1-сумма остальных).
Поэтому, если все сразу, то это значит не парабола и остается только S = x1+x2+x3
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 21 Май 2019 07:10 #1672

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Я просил привести пример, когда минимум не достигается в центре тяжести.
Вот, нашел простейший сам: S = x1x2, минимум в (0, 1) и (1, 0).
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"
Last Edit: 21 Май 2019 07:15 by сам-пят.

Математика для чайников №3 21 Май 2019 07:25 #1673

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81685
  • Thank you received: 1155
  • Karma: 82
сам-пят wrote:
Я просил привести пример, когда минимум не достигается в центре тяжести.

Если S = S(x) - многочлен, где достигается минимум, то S' = -S(x) многочлен, где он не достигается
Каждому - своё.

Математика для чайников №3 21 Май 2019 07:38 #1674

  • сам-пят
  • сам-пят's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1046
  • Thank you received: 23
  • Karma: 3
Ну да, сразу-то не сообразишь. Вот и в вашем утверждении лишние обозначения можно опустить да сделать оговорку, что S не константа.
"Позвольте, товарищ, у меня все ходы записаны!"

Математика для чайников №3 21 Май 2019 17:28 #1675

  • procrastinator
  • procrastinator's Avatar
сам-пят wrote:
Я просил привести пример, когда минимум не достигается в центре тяжести.
Вот, нашел простейший сам: S = x1x2, минимум в (0, 1) и (1, 0).
Вы приводили и раньше S = 1 - 3(xy + xz + yz) + 6xyz. Функция -S достигает минимума в вершинах.

Математика для чайников №3 21 Май 2019 17:31 #1676

  • procrastinator
  • procrastinator's Avatar
Vladimirovich wrote:
procrastinator wrote:
Кстати, интересный вопрос, можно ли построить нетривиальный пример такого полинома с минимумом одновременно в центре треугольника, центрах ребер, и вершинах?
Я так понимаю, что из условий следует, что частная производная по любой из переменных или линейная или парабола (после замены одного из xn на 1-сумма остальных).
Поэтому, если все сразу, то это значит не парабола и остается только S = x1+x2+x3
То есть, в выбранной гиперплоскости это константа.
Moderators: Grigoriy
Рейтинг@Mail.ru

Научно-шахматный клуб КвантоФорум