Ключевое слово
28 | 03 | 2024
Новости Библиотеки
Шахматы Онлайн
Welcome, Guest
Username: Password: Remember me

TOPIC: Математика для чайников №3

Математика для чайников №3 12 Авг 2018 02:50 #1231

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
во всяком случае формальная система не то, что одномерная, однонаправленная цепочка выводимых знакосочетаний, она скорее ... джунгли.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 12 Авг 2018 03:29 #1232

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
Vladimirovich wrote:
это как ассемблер. Он мало кем применяем сейчас, но в конечном итоге лежит в основе всего
не уверен в справедливости аналогии, так как в своей реальной работе профессиональные математики не пользуются формальными системами.

тем не менее и если не ошибаюсь, в самой мат. логике многие результаты и даже те Гёделя получили уже ... компом, для чего безусловно потребовались настоящие формальные системы :yess: ; некоторые теоремы с очень большим числом вариантов для перебора (раскраска плоской карты в 4-ёх цветах, плотнейшая упаковка 3-пространства одинаковыми шарами) доказывали и проверяли также компом, то бишь вполне формальным образом.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 12 Авг 2018 06:47 #1233

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
Хайдук wrote:
не уверен в справедливости аналогии, так как в своей реальной работе профессиональные математики не пользуются формальными системами.
Если бы формализованная математика была так же проста, как игра в шахматы, то, составив описание выбранного нами формализованного языка, мы должны были бы затем лишь излагать наши доказательства на этом языке, подобно тому как автор шахматного трактата записывает в своей нотации партии, которым он хочет научить, сопровождая их в случае необходимости комментариями.
Однако вопрос решается отнюдь не столь легко, и не требуется большого опыта, чтобы убедиться в абсолютной неосуществимости подобного проекта: даже простейшее доказательство из начального раздела Теории множеств потребовало бы сотен знаков дла своей полной формализации. Поэтому, уже начиная с Книги I настоящего Трактата, возникает настоятельная необходимость сокращать формализованный текст введением новых слов (называемых „сокращающими символами") и дополнительных правил синтаксиса (называемых „дедуктивными критериями") в довольно значительном количестве.
Поступая так, мы получаем языки, гораздо более удобные, чем формализованный язык в собственном смысле, и относительно которых любой мало-мальски опытный математик будет убежден, что их можно рассматривать как стенографические транскрипции формализованного языка. Но мы уже не будем иметь уверенности, что переход от одного из этих языков к другому может быть сделан чисто механическим образом. Чтобы обрести эту уверенность, пришлось бы настолько усложнить правила синтаксиса, управляющие употреблением новых слов, что польза от этих слов стала бы иллюзорной. Здесь, как и в алгебраическом исчислении и при употреблении почти любых обозначений, которыми обычно пользуются математики, удобный инструмент предпочитается другому, теоретически более совершенному, но слишком громоздкому.
Как увидит читатель, введение этого сжатого языка сопровождается -„рассуждениями" особого типа, принадлежащими к так называемой Метаматематике.

Аналогия, как мы видим, очень близкая
Каждому - своё.
Last Edit: 12 Авг 2018 13:53 by Хайдук.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 12 Авг 2018 14:25 #1234

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
безусловно близкая, но все-таки в целом ... гипотетическая, поскольку сколько-нибудь большой части математики никогда полностью не формализировали по причине "абсолютной неосуществимости подобного проекта: даже простейшее доказательство из начального раздела Теории множеств потребовало бы сотен знаков дла своей полной формализации."

выше в #1232 указали на отдельные случаи, когда такую скрупулёзную формализацию приходилось проводить за счёт больших затрат времени и усилий, дабы обеспечить саму ... непротиворечивость/корректность формализации; АТО не осталось бы сил на мат. творчество, если бы всегда удосуживались это делать :tired:
Last Edit: 12 Авг 2018 14:31 by Хайдук.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 12 Авг 2018 15:41 #1235

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
Хайдук wrote:
безусловно близкая, но все-таки в целом ... гипотетическая, поскольку сколько-нибудь большой части математики никогда полностью не формализировали по причине "абсолютной неосуществимости подобного проекта: даже простейшее доказательство из начального раздела Теории множеств потребовало бы сотен знаков дла своей полной формализации."
Проверка формализованного текста требует лишь в некотором роде механического внимания, так как единственные возможные источники ошибок — это длина или сложность текста. Вот почему математик большей частью доверяет собрату, сообщающему результат алгебраических вычислений, если только известно, что эти вычисления не слишком длинны и выполнены тщательно. Напротив, в неформализованном тексте всегда существует опасность ошибочных умозаключений, к которым может привести, например, злоупотребление интуицией или рассуждение по аналогии. Однако в действительности математик, желающий убедиться в полной правильности, или, как говорят, "строгости", доказательства или теории, отнюдь
не прибегает к одной из тех полных формализации, которыми мы. сейчас располагаем, и даже большей частью не пользуется частичными и неполными формализациями, доставляемыми алгебраическим и другими подобными исчислениями. Обыкновенно он довольствуется тем, что приводит изложение к такому состоянию, когда его опыт и чутье математика говорят ему, что перевод на формализованный язык был бы теперь лишь упражнением (быть может, очень тягостным) в терпении.
Если, как нередко бывает, возникают сомнения, то в конечном счете они относятся именно к возможности прийти без двусмысленности к такой формализации — употреблялось ли одно
и то же слово в разных смыслах в зависимости от контекста, нарушались ли правила синтаксиса бессознательным употреблением способов рассуждения, не разрешаемых явно этими правилами, была ли, наконец, совершена фактическая ошибка. Если оставить в стороне последний случай, то непременно рано или поздно сомнения преодолеваются тем, что текст редактируется, все больше и больше приближаясь к формализованному тексту, пока, по общему мнению математиков, дальнейшее продолжение этой работы не станет излишним.
Иными словами, правильность математического текста всегда проверяется более или менее явным сравнением с правилами какого-либо формализованного языка.
Каждому - своё.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 12 Авг 2018 17:29 #1236

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
не может быть "явного" сравнения с тем, чего на самом деле у нас ... нет :) , подобие того, что у нас есть тому формальному идеалу, которого нет, не должно нас успокаивать, поскольку каверзные ошибки и проколы могли закрасться :angry:

на самом деле как раз "по общему мнению математиков, дальнейшее продолжение этой работы не станет излишним" и решает проблему: консенсус экспертов выдаёт вердикт о том приплыли к доказательству или да :xren:
Last Edit: 12 Авг 2018 22:20 by Хайдук.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 12 Авг 2018 18:44 #1237

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
Хайдук wrote:
на самом деле как раз "по общему мнению математиков, дальнейшее продолжение этой работы не станет излишним" и решает проблему...
В чем?
Каждому - своё.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 12 Авг 2018 20:34 #1238

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
доказана теорема или да :yess:

если быть точными, то консенсус экспертов НЕ обязан базироваться только и исключительно только на (плохо определённой, кстати) "близости" изложения некоего доказательства к полностью формализованному таковому :idea:
Last Edit: 12 Авг 2018 22:34 by Хайдук.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 13 Авг 2018 01:42 #1239

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
соответствие знакосочетаний правилам легко и просто проверять, конечно, а компу даже никакие длина и сложность не претят; дело в том, однако, что с длинными и сложными последовательностями знаков возникает каверзная проблема их содержательной интерпретации, потому что именно последняя суть математика, а не сам текст из знаков :idea: ; как раз поэтому консенсус экспертов выступает высшим критерием мат. истины :dumb: и консенсус этот далеко не всегда сводится к построению и проверке формальных текстов.

в упомянутых выше теоремах 4-х цветов и 3-упаковки шарами консенсуса трудно было добиться по причине выходящего за пределы способностей башки огромного перебора вариантов и потому делегировали этот перебор неутомимому и безошибочному компу :yess:
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 13 Авг 2018 06:26 #1240

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
Да в том то и дело, что формальная математика не нуждается в интерпретации знакосочетаний.
В своеей основе она содержит схемы, определяющие как из одного соотношения можно получить другое.

Например
С1 (силлогизм). Пусть А и В — соотношения теории J.
Если А и А=>В — теоремы теории J, то В также теорема теории J.

Доказательство же есть последовательность сооотношений теории
Каждому - своё.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 13 Авг 2018 12:29 #1241

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
но ведь надо же представлять ЧТО за этими соотношениями кроется, поелику не соотношения, а это ЧТО есть математика; за длинными и сложными цепочками соотношений не сразу может будет очевидно что лежит, if any.

идея Гильберта как раз в этом и состояла: пересчитать конечную физическую (чернилом, скажем) последовательность соотношений из знаков и вынести приговор, что и оказалось неосуществимым ни для полноты, ни для непротиворечивости: простая отметка знаков галочкой не покатило, пришлось выйти за пределы конечной, физической (другой не бывает) отметки галочкой, что угробило саму идею в корень :tired:
Last Edit: 13 Авг 2018 16:55 by Хайдук.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 13 Авг 2018 12:52 #1242

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
Хайдук wrote:
но ведь надо же представлять ЧТО за этими соотношениями кроется, поелику не соотношения, а это ЧТО есть математика; за длинными и сложными цепочками соотношений не сразу может будет очевидно что лежит, if any.
Да, мы неявно должны имплицировать спец.символы теории, как например квантор существования, на наши некие представления
Но их и немного, и представления эти достаточно прозрачны, хотя налет эмпиричности и остается
Поэтому если мыслить чисто формально, то представлять ничего не нужно.
Главная проблема в том, как указано выше, что формальный тексмт такого рода отнимает у человека кучу времени

Поэтому и пользуются метаматематикой, а формализация остается ultima ratio, главное иметь такую возможность, а не применять ее
Каждому - своё.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 13 Авг 2018 16:22 #1243

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
Vladimirovich wrote:
налет эмпиричности и остается
какой эмпиричности? :unsure:

не думаю, что даже метаматематикой пользуются работающие математики, чтение любого (последовательного,
серийного, другого не бывает) текста дело незамысловатое, механическое и полезное только компу, недаром ставка Гильберта не оправдалась - было бы жалко, если бы математика и логика оказались столь топорными, что ли. Формализация может помочь в проверке мат. доказательств компом (как в случаях 4-х цветов и 3-упаковки шаров), но совершенно беспомощна в нахождении стОящих путей-доказательств в мат. джунглях :tired:
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 13 Авг 2018 16:40 #1244

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
Основная мысль была, чтоVladimirovich wrote:
формализация остается ultima ratio, главное иметь такую возможность, а не применять ее
Каждому - своё.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 13 Авг 2018 18:07 #1245

  • инфолиократ
  • инфолиократ's Avatar
Хайдук wrote:
Vladimirovich wrote:
налет эмпиричности и остается
какой эмпиричности? :unsure:

не думаю, что даже метаматематикой пользуются работающие математики, чтение любого (последовательного,
серийного, другого не бывает) текста дело незамысловатое, механическое и полезное только компу, недаром ставка Гильберта не оправдалась - было бы жалко, если бы математика и логика оказались столь топорными, что ли. Формализация может помочь в проверке мат. доказательств компом (как в случаях 4-х цветов и 3-упаковки шаров), но совершенно беспомощна в нахождении стОящих путей-доказательств в мат. джунглях :tired:
А что скажет ув.Учитель бывшего учителя о доказательстве ЭВМ типа Минск-32
теоремы о равнобедренном треугольнике? Меня в школе учили, что надо опустить высоту на основание, а ЭВМ просто рассмотрела ТРЕУГОЛЬНИУ один и то же (то с "слева, то справа", т.е. АВС и ВАС). Значит современный комп может быть полезен не только при
мат. доказательств компом (как в случаях 4-х цветов и 3-упаковки шаров).
З павагай да неабыякавых
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 13 Авг 2018 22:41 #1246

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
полагаю, что если найдут приемлемую и полную теорию для арифметики и вообще для счётных областей, то и непротиворечивость можно будет доказать таким же приемлемым образом, а недоказуемыми останутся только аксиомы, которые всегда можно присобачить, если приспичит :yess:
Last Edit: 14 Авг 2018 00:35 by Хайдук.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 15 Авг 2018 01:28 #1247

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
Формализация хороша и вполне возможна для отдельных, конкретных задач или проблем, но не может накрыть сколько-нибудь большие области, где конечных её методов начинает не хватать и это даёт о себе знать в виде неполноты формальной системы.
Last Edit: 15 Авг 2018 01:30 by Хайдук.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 15 Авг 2018 06:08 #1248

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
Как связаны неполнота и формализация? :glasses:
Каждому - своё.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 15 Авг 2018 22:42 #1249

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
вопрос хороший, укольный :lol: - на самом деле ... НЕ связаны :blush: : сами консервативные (во имя надёжной, конечно-алгоритмической конструктивности) аксиомы и правила вывода арифметики Пеано даже без мало-мальской формализации вызовут неполноту с недоказуемостью непротиворечивости.

слышал, что выдумали уже "бесконечные логики", о которых ничего не знаю, но на мой взгляд только конечные операции со знакосочетаниями (из чернила или пикселей!) обладают смыслом. Операции такие простые и очевидно бесспорные, поскольку визуально-физические, и потому можно применять для верификации ущучивающих башку очень длинных, громоздких и неподъёмных башкой результатов (наподобие 4-х цветов и 3-упаковки шаров). Так как за знаками можно подразумевать всё, что угодно, то это значит, что формально можно доказать всё, что угодно :yess:
Last Edit: 16 Авг 2018 08:00 by Хайдук.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 16 Авг 2018 06:18 #1250

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
А мы и не говорим о бесконечных знакосочетаниях.
Математика может исследовать объекты бесконечные, но надо понимать, что это именно объекты, а не математические схемы и соотношения

Так собственно бесконечность определяется так A = A + 1
Фсё.

Поэтому не нужно уводить мысль в сторону некой "неподъемности".
Я лишь говорю о том, что представляет из себя формализация, а также о том, что это более возможность, чем практическое применение.
Но наличие этой возможности архиважно
:beer:
Каждому - своё.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 16 Авг 2018 08:18 #1251

  • инфолиократ
  • инфолиократ's Avatar
Но наличие этой возможности архиважно
:beer:
и конечные операции со знакосочетаниями (из чернила или пикселей!) обладают смыслом
на мой взгляд только конечные операции со знакосочетаниями (из чернила или пикселей!) обладают смыслом. Операции такие простые и очевидно бесспорные, поскольку визуально-физические, и потому можно применять для верификации ущучивающих башку очень длинных, громоздких и неподъёмных башкой результатов (наподобие 4-х цветов и 3-упаковки шаров). Так как за знаками можно подразумевать всё, что угодно, то это значит, что формально можно доказать всё, что угодно :yess:
в связи с тем, что в школе для доказательства теоремы опускали высоту (которая одна и та же рассматривалась в треугольнике с равной еще одной стороной и равным углом), а ЭВМ рассматривала "один и тот же треугольник", показывает. что
очевидное и достаточное в современной математике утверждениеналичие этой возможности архиважно, имеющее счетное число представлений в пределах Вселенсконатурального не АРХИважно,
в школьные годы,
в жизни реальной,
в субъективно-виртуальной.
Даже если квантофорумчанин простой смертный предоставит ТОЛЬКО один вариант решения (доказательства) самому ГИ, то по сабж это сгодится.

З павагай да неабыякавых
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 16 Авг 2018 08:39 #1252

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
Vladimirovich wrote:
объекты, а не математические схемы и соотношения
это не ли скорее универсальные логические схемы и соотношения, применяемые для самых разных объектов, в том числе математических?

Vladimirovich wrote:
бесконечность определяется так A = A + 1
это не ли в программировании компов?

Vladimirovich wrote:
наличие этой [формализации] возможности архиважно
... для чего?
цифры как знаки архиважны для вычислений (к чему приводят также формулы и дифуры), буквы как знаки-звуки архиважны для речи и письма; а вот для неполноты в принципе достаточна лишь аксиоматизация с помощью письма, кстати.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 16 Авг 2018 08:55 #1253

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
Хайдук wrote:
это не ли скорее универсальные логические схемы и соотношения, применяемые для самых разных объектов, в том числе математических?
Нет. Лишь потом математические объекты гомоморфируются на нематематические
Хайдук wrote:
это не ли в программировании компов?
Нет. Это формальное определение кардинальной бесконечности от Бурбаки
Определение 1. Говорят, что кардинальное цисло A конечно, если A ≠ A+1 ;
конечное кардинальное число называется также натуральным целым числом
Хайдук wrote:
цифры как знаки архиважны для вычислений (к чему приводят также формулы и дифуры), буквы как знаки-звуки архиважны для речи и письма; а вот для неполноты в принципе достаточна лишь аксиоматизация с помощью письма, кстати.
При чем тут опять неполнота? :dontknow:
Каждому - своё.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 16 Авг 2018 09:25 #1254

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
Vladimirovich wrote:
Это формальное определение кардинальной бесконечности от Бурбаки
а вот для ординальной бесконечности уже A ≠ A+1 :beer:

Vladimirovich wrote:
Лишь потом математические объекты гомоморфируются на нематематические
схемы и соотношения на что гомоморфируются? мне кажется, что нет общепринятой записи для схем и соотношений :unsure:

в мат. логике есть несколько универсальных, не очень интересных результатов и всё, дальше нужна кровь извне.

Vladimirovich wrote:
При чем тут опять неполнота?
поскольку здравствует и без формализации.
Last Edit: 22 Авг 2018 06:17 by Хайдук.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 16 Авг 2018 09:33 #1255

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
Хайдук wrote:
мне кажется, что нет общепринятой записи для схем и соотношений
У Бурбаков есть
Каждому - своё.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 16 Авг 2018 09:42 #1256

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
должно в учебники по мат. логике надо смотреть :glasses:
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 18 Авг 2018 15:22 #1257

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
полагаю, что в целом мат. логика предстаёт скорее кОнченным, мёртвым предметом даже при наличии стандартной записи/формализации общезначимых логических принципов и методов/операций. На пользу это пойдёт прежде всего компам в тех редких случаях, когда нужно будет проверить корректность громоздких результатов, насчёт которых экспертам будет трудно придти к консенсусу :yess:

в пику этому, кстати, давеча нашли конструктивные/дизайнерские (они и логические, кстати) ошибки (!) даже в ... чипах Intel и AMD :O , поскольку чипы эти становятся всё сложнее и сложнее, вестимо, и в принципе ничем НЕ отличаются от любых мат. логических конструкций... :tired:
Last Edit: 22 Авг 2018 06:14 by Хайдук.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 18 Авг 2018 15:36 #1258

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 106493
  • Thank you received: 2058
  • Karma: 105
Это все эмпиреи мозга
:beer:
Каждому - своё.
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 18 Авг 2018 15:38 #1259

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
:?
The topic has been locked.

Математика для чайников №3 18 Авг 2018 16:17 #1260

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49331
  • Thank you received: 130
  • Karma: 16
Vladimirovich wrote:
Это все эмпиреи мозга
мало-что будет эмпиричней, чем чтение знакосочетаний из чернила или пикселей :idea:
Last Edit: 18 Авг 2018 23:09 by Хайдук.
The topic has been locked.
Moderators: Grigoriy
Рейтинг@Mail.ru

Научно-шахматный клуб КвантоФорум