Ученые из Университета Суррея выяснили, что происходит в мозге, когда человек занимается математикой. Исследование было опубликовано в журнале PLOS Biology.

Оказалось, что в «математическую сеть» входят:

префронтальная кора (dlPFC), отвечающая за логику и вычисления;
теменная кора (PPC) — работает с числами и пространством;
гиппокамп, который помогает запоминать и применять правила.

Люди с крепкими связями между этими областями на 30% быстрее решали новые задачи и лучше понимали математические принципы.

Кроме того, ученые обнаружили, что слабые удары током помогают усилить слабые связи на 15-20%. И особенно содействуют тем, кому математика дается тяжело.

"Математики из нижегородского кампуса Высшей школы экономики Олег Галкин и Иван Ремизов решили эту задачу, над которой многие десятилетия бились ученые по всему миру. Им удалось получить общие оценки скорости сходимости, то есть описать, как быстро приближенные значения сходятся к точному результату в зависимости от выбранных параметров", - говорится в сообщении.

Как отмечается в сообщении, еще в 1968 году американский математик Пол Чернов предложил подход, который сейчас известен как аппроксимация Чернова, для быстрого приблизительного вычисления так называемых полугрупп операторов. Так исследователи называют особые математические конструкции, которые описывают, как со временем изменяются состояния многочастичных систем.

Что за бред

Научный прорыв совершили математики О.Е. Галкин и И.Д. Ремизов из нижегородского кампуса ВШЭ. Они решили задачу, появившуюся более полувека назад. Американский математик Пол Чернов в 1968 году доказал — носящую теперь его имя — теорему об аппроксимации полугрупп операторов. Оценки на скорость сходимости этих аппроксимаций нашли Галкин и Ремизов. В январе 2025 статья российских учёных была опубликована в престижном научном журнале Israel Journal of Mathematics.

Одной из важнейших функций в математике является экспонента. Она естественным образом возникает почти в каждом разделе современной математики. Экспонентой от вещественного числа x называется число e (так же известное как число Эйлера), равное приблизительно 2.7, возведённое в степень x, записывается это так: e^x. За сотни лет существования продвинутой алгебры и анализа математики научились подставлять на место x самые различные математические объекты, каждый раз извлекая из этого ту или иную пользу. Нижегородские математики Олег Евгеньевич Галкин и Иван Дмитриевич Ремизов исследовали свойства экспоненты с точки зрения функционального анализа. При таком подходе и x, и e^x — это линейные операторы. В общем курсе высшей математики для вузов экспонента в этом смысле используется в теории дифференциальных уравнений для описания точного решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Но понятие об экспоненте как о линейном операторе полезно также в теории уравнений с частными производными, квантовой механике, теории случайных процессов, теории управления и других разделах современной науки и техники.

Экспоненту от конечной матрицы и от линейного ограниченного оператора в бесконечномерном банаховом пространстве можно задать стандартным степенным рядом для экспоненты, который сходится по обычной норме операторов — полностью аналогично нахождению экспоненты от вещественного числа. Если оператор замкнутый, но не ограниченный, то он определён не всюду, поэтому ряд по его степеням — весьма неудобный объект, и не подходит для определения экспоненты.

Однако разумный аналог экспоненты для неограниченного оператора всё же существует. Соответствующий объект называется сильно непрерывной однопараметрической полугруппой операторов (или короче — С₀-полугруппа). В отличие от степенного ряда, определение C₀-полугруппы не даёт никакого метода для вычисления экспоненты даже приближённо. Тем не менее, такие методы есть. Они требуют вычисления резольвенты оператора, что зачастую представляет собой непростую задачу.

Один из методов приближённого вычисления экспоненты от неограниченного линейного оператора дает теорема Чернова — бесконечномерный вариант теоремы о "втором замечательном пределе" из курса элементарного анализа. Пол Чернов (Paul Chernoff) опубликовал её в своей кандидатской (Ph.D.) диссертации, защищённой в Гарвардском университете в 1968 году. Теорема Чернова утверждает, что если известна так называемая операторно-значная функция Чернова для оператора А, то экспоненту от А можно выразить в виде предела произведения некоторых построенных по функции Чернова ограниченных операторов при стремящемся к бесконечности числе сомножителей. Таким образом, получается последовательность операторов, называемых черновскими аппроксимациями полугруппы: сначала один сомножитель, потом два, три и так далее. Согласно теореме Чернова, эта последовательность сходится к экспоненте от А. Причём каждый член этой последовательности однозначно и без сложных процедур вычисляется по функции Чернова.

Теорема Чернова — блестящий математический результат. Однако появились две новые проблемы.

Во-первых, теорема Чернова не содержит в себе общих методов построения функций Чернова. Заслуженному профессору МГУ О.Г.Смолянову и его ученикам удалось построить функции Чернова для достаточно большого количества частных случаев, а в кандидатской диссертации И.Д. Ремизова были найдены универсальные методы построения черновских аппроксимаций.

Во-вторых, скорость сходимости черновских аппроксимаций заранее не известна: теорема Чернова утверждает лишь факт сходимости, но ничего не говорит о том, как быстро убывает к нулю при росте n разница между полугруппой и n-ой черновской аппроксимацией. Соответственно, непонятно, как строить функции Чернова, показывающие наиболее высокую скорость сходимости.

О.Е. Галкину и И.Д. Ремизову удалось доказать примерно следующее: если функция Чернова имеет один с полугруппой многочлен Тейлора порядка k и мало уклоняется от своего многочлена Тейлора, то черновские аппроксимации полугруппы, построенные по этой функции Чернова, имеют скорость сходимости не хуже, чем порядка 1/n^k, где n - номер аппроксимации. Заметим, что даже одномерный аналог этого результата, когда экспонента вычисляется просто от вещественного числа, весьма нетривиален.

Стоит отметить, что теорема Чернова, известная с 1968 года, активно используется, о чём говорят более 570 цитирований статьи Чернова, по версии Google Scholar. Попытки усилить теорему Чернова с тем, чтобы получать не только факт сходимости, но и оценки на скорость сходимости, предпринимались неоднократно зарубежными и российскими математиками, но никому не удалось получить, например, условия, которым должна удовлетворять функций Чернова, чтобы построенные по ней аппроксимации имели скорость сходимости не хуже, чем порядка 1/n³. Галкин и Ремизов решили эту задачу в общем виде для 1/n^k, где k - любое натуральное число. Именно поэтому их открытие можно характеризовать как прорыв в науке!

Результат был доброжелательно встречен научным сообществом. В докладе О.Е. Галкина и И.Д. Ремизова на международной научной конференции "Бесконечномерный анализ и математическая физика 2025". Было дано элементарное введение в тематику, рассказано о приложениях и сформулирована теорема об оценках на скорость сходимости черновских аппроксимаций. Все желающие могут ознакомиться с записью доклада.

Теорема Галкина-Ремизова с примерами и доказательством приведена в недавно вышедшей в Israel Journal of Mathematics статье O. E. Galkin, I. D. Remizov. Upper and lower estimates for rate of convergence in the Chernoff product formula for semigroups of operators// Israel Journal of Mathematics, 265:2 (2025), 929–943.

17-летняя школьница из США нашла контрпример, который опроверг гипотезу Мидзохаты-Такеучи о поведении волн на искривленных поверхностях. Об этом сообщает Scientific American.

Ханна Каиро из Нассау заинтересовалась математикой во время пандемии COVID-19. Она записалась на онлайн-курсы Калифорнийского университета в Беркли для одаренных школьников и стала изучать расширенную программу с заданиями из математического анализа.

Гипотеза Мидзохаты-Такеучи, сформулированная в 1980-х, была ключевой для гармонического анализа. Почти 40 лет ученые бились над тем, чтобы доказать ее, поскольку это решило бы несколько смежных научных вопросов. Согласно этой гипотезе, если использовать только определенные типы волн, то получится форма, состоящая из линий. Каир доказала, что это не так, — она попробовала переформулировать гипотезу в частотном пространстве и нашла контрпример-опровержение с использованием фракталов и многомерных гиперкубов. «Понадобилось время, чтобы убедить преподавателя в правильности моего подхода», — признается девушка.

lenta.ru/news/2025/08/13/17-letnyaya-shk...ticheskuyu-gipotezu/Давно такой муйни не читал
Какие, @ь, гипотезы для гармонического анализа.
Аналитика в путь.

17-летняя школьница...

Она записалась на онлайн-курсы Калифорнийского университета в Беркли для одаренных школьников и стала изучать расширенную программу с заданиями из математического анализа.

Правительство РФ учредило премию в области математики имени Андрея Колмогорова, сообщили в пресс-службе кабмина.
"Начиная с 2026 года в России будет присуждаться правительственная премия в области математики имени Андрея Николаевича Колмогорова. Постановление, утверждающее порядок присуждения такой премии, подписал председатель правительства Михаил Мишустин", - сообщили в кабмине.

Три премии в размере 8 миллионов рублей каждая будут вручаться один раз в три года за выдающиеся достижения в области фундаментальной математики, прикладной математики и математических проблем информатики, а также в области математических проблем механики и физики.

что она развращает учеников

Или "пятый пункт превалировал?

Ученым сейчас неинтересно писать обзорные статьи и выпускать тематические сборники, поскольку они не публикуются в рейтингах. Об этом заявил сегодня журналистам член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник санкт-петербургского отделения Математического института им. Стеклова Сергей Иванов, который получил премию им. Лобачевского.

«Высшая математика? Нет ее! Даже у вузовских преподавателей — все это статьи, статьи, статьи в штуках. Поэтому нет смысла людям [заниматься этим]: это же огромный труд — писать учебники. Зачем он будет его писать? Зачем он будет писать обзор, зачем сейчас писать тематические сборники? Раньше были тематические сборники, они умерли. Оригинальные статьи невозможно читать, которые человек только что придумал, у него все сумбурно. В обзорной статье все разложено по полочкам, и их могут читать уже не три человека, а много, но их нет, потому что за них не оценивают, они не публикуются ни в каких рейтингах. С учебниками то же самое, можно перепечатывать старые, можно положить три года, чтобы написать учебник. Сейчас человек себе этого не может позволить. Он должен конвейер показателей выдавать».

Российский математик Иван Ремизов вывел универсальную формулу для решения уравнений, помогающих описывать основополагающие процессы в природе, — эта задача с XIX века считалась нерешаемой.

Речь идет о так называемых дифференциальных уравнениях второго порядка. Как пояснили в пресс-службе, они считаются фундаментальным инструментом науки и описывают все — от колебаний маятника и сигналов в электросетях до движения планет.

С 1834 года математики полагали, что универсальной формулы для решения этих уравнений нет.
"Задача считалась закрытой и безнадежно неразрешимой более 190 лет", — отметили в НИУ ВШЭ.

Ремизов предложил изящный метод — решение обыкновенного дифференциального уравнения благодаря подходу, с помощью которого в физике описывают движение квантовых частиц.
"То, что раньше работало для квантовой механики, теперь применимо к классическим задачам", — подчеркнули в пресс-службе.

Сам Ремизов пояснил, что его метод позволяет разбить сложный процесс на бесконечное множество маленьких простых кадров, а затем с помощью преобразования Лапласа собрать из этих кадров единую статичную картину — решение сложного уравнения.

Математик из Нижнего Новгорода совершил прорыв, решив задачу, над которой учёные бились почти два века. Старший научный сотрудник НИУ ВШЭ и ИППИ РАН Иван Ремизов вывел универсальную формулу для решения дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. С 1834 года, после работы француза Жозефа Лиувилля, считалось, что найти такое общее аналитическое решение невозможно.

В чём суть? Такие уравнения — основа для описания почти всех сложных процессов: от колебаний мостов и орбит спутников до квантовой физики. До сих пор у учёных не было простого инструмента, подобного формуле дискриминанта для школьных квадратных уравнений.

Ремизов нашел изящный обход. Он не стал оспаривать Лиувилля, а расширил математический «набор инструментов», добавив операцию нахождения предела. Его метод, основанный на теории аппроксимаций, позволяет «нарезать» сложный процесс на бесконечное число простых шагов, а затем с помощью преобразования Лапласа собрать их в точное решение.

Как объясняет сам учёный, представьте, что решение — это большая картина. Теорема позволяет восстановить её облик, быстро прокручивая «киноленту» её создания из простых кадров.

Это открывает новые горизонты. Теперь ключевые для физики и техники «специальные функции» (вроде функций Матье для расчёта орбит) можно задавать явными формулами, а не только через сложные уравнения. Кроме того, работа связывает классическую математику с квантовой механикой, представляя решение в виде, аналогичном знаменитым интегралам нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана.

Результаты исследования опубликованы во «Владикавказском математическом журнале».
www.vmj.ru/articles/2025_4_10.pdf#/

Ученый из НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и ИППИ РАН Иван Ремизов совершил концептуальный прорыв в теории дифференциальных уравнений. Ему удалось вывести универсальную формулу для решения задач, которые более 190 лет считались нерешаемыми аналитическим путем. Полученный результат радикально меняет картину мира в одной из старейших областей математики, важной для фундаментальной физики и экономики.
В средней школе на уроках математики учат, что для нахождения x в уравнении ax²+bx+c=0 нужно просто подставить коэффициенты a, b и c в готовую формулу вычисления корня уравнения через дискриминант. Это удобно, быстро и понятно. Однако в высшей математике, в которой описываются сложные процессы, используются уравнения вида ay''+ by'+cy=g. Это тоже уравнение второго порядка, но не алгебраическое, а дифференциальное.