Интуитивно, линия должна быть гладкой/дифференцируемой, может за исключением не более, чем счётного, нигде НЕ плотного множества своих точек
А почему обязательно нигде не плотное?
Проблема с определением кривой, что когда пробуешь определить это понятие естественным образом (непрерывное отображение отрезка [0,1] в плоскость) - то случается облом. А когда начинаешь требовать сильные вещи типа дифференцируемости - то это исключает интересные объекты типа кривой фон Коха или траекторий броуновского движения.
Проблема с определением кривой, что когда пробуешь определить это понятие естественным образом (непрерывное отображение отрезка [0,1] в плоскость) - то случается облом.
Непрерывное отображение отрезка [0,1] в плоскость (квадрата, скажем) не кажется мне очень естественным
, всё-таки размерности (1 и 2) разные. Впрочем, о каком обломе идёт речь за исключением того, что непрерывная кривая эта (имени Гильберта?) НЕ гладкая, а - фрактал? Какая у неё (хаусдорфова) размерность?
Serge_P написал(а):
почему обязательно нигде не плотное?... когда начинаешь требовать сильные вещи типа дифференцируемости - то это исключает интересные объекты типа кривой фон Коха или траекторий броуновского движения.
Всюду плотная недифференцируемость приводит к тому, что линии такой не можем себе представить, она как-бы визуально неотличима от нигде НЕ дифференцируемой линии. По мне, линия интуитивно должна состоять из гладких участков конечной длины - отсюда условие нигде-неплотности негладких/колючих точек.
Интересно бывают ли фракталы размерности 1 в смысле, чтобы даже хаусдорфова размерность была равной 1 ?
Непрерывное отображение отрезка [0,1] в плоскость (квадрата, скажем) не кажется мне очень естественным
, всё-таки размерности (1 и 2) разные. Впрочем, о каком обломе идёт речь за исключением того, что непрерывная кривая эта (имени Гильберта?) НЕ гладкая, а - фрактал? Какая у неё (хаусдорфова) размерность?
Я имел в виду кривую Пеано. Она, в сущности, и есть квадрат.
Хайдук написал(а):
Интересно бывают ли фракталы размерности 1 в смысле, чтобы даже хаусдорфова размерность была равной 1 ?
Ну, понятие фрактал не имеет четкого определения; наверное, можно сконструировать какое-нибудь фрактально-выглядящее связное множество хаусдорфовой размерности 1.
Если не требовать связности, то такой фрактал построить легко, просто поиграв с параметрами кантороподобных множеств на плоскости (топологическая размерность там, конечно, получится нулевая). Но это будет, конечно, уже ни разу не кривая
Всюду плотная недифференцируемость приводит к тому, что линии такой не можем себе представить, она как-бы визуально неотличима от нигде НЕ дифференцируемой линии.
Даже множество действительных чисел (т.е., обычную прямую) уже трудно себе представить. В смысле, чем больше узнаешь о странных свойствах действительных чисел, тем труднее становится представить
Михаил, кстати, а как Вы определяете понятие кривая? Это, между прочим, совсем не так просто (даже в обычных евклидовых пространствах), и до единого определения математики пока не додумались.
Я определяю по уравнению, если линия задается уравнением первой степени, то это прямая, если линия задается уравнениями третьего, четвертого, пятого и т.д. порядков, то это, несомненно, кривая.
В малых масштабах любое пространство выглядит евклидовым, то бишь плоским и потому НЕ следует думать, что если здеся, на Земле, пространство выглядит плоским (а прямые - прямыми), то везде во Вселенной пространство такое, а прямые не могут загибаццо - вполне себе могут, не мешают ни башка, ни образование
Кто Вам сказал, что на Земле пространство выглядит плоским? Прямые не могут загибаться, потому что тогда не будут описываться уравнением первой степени, и тут видимо мешает излишнее математическое образование, а башке мешает, видимо каша и хаос, когда туда напихали слишком много, которое не смогло перевариться.
Уравнение зависит от выбранной системы координат.
А система зависит от.
Например в полярных координатах евклидовой даже плоскости уравнение r= a вовсе не прямая, а спираль.
Тем не менее оно уравнение первого порядка.
Ежели же Вы берете декартовы координаты по умолчанию как истинные , то предъявляете testimonium paupertatis
Ибо в них 5 постулат верен изначально, и все остальные Ваши аргументы суть сотрясания воздуха и война с мельницами.
От того, что мы по своей воле выбираем систему координат, прямая не станет кривой. Мир реален. Мы своими умозаключениями не можем его изменить, даже если это очень кому-то надо.
От чего?
Давайте, исследуем наш вопрос на больших расстояниях. Например, мысленно проведем прямую через центр Солнца и центр одной из ближайших к нам звезды Проксима Центавра. Зафиксируем время. Выберем точку - центр Земли. И рассмотрим, сколько можно провести прямых, параллельных заданной прямой? Одну или две?
Рассматривать (измерять) будем сначала в 1-мерном измерении, затем в двухмерном, затем в трехмерном, затем в четырехмерном и т.д. до 6. Вы согласны? Причем одновременно в зафиксированном времени.
мысленно проведем прямую через центр Солнца и центр одной из ближайших к нам звезды Проксима Центавра. Зафиксируем время. Выберем точку - центр Земли. И рассмотрим, сколько можно провести прямых, параллельных заданной прямой? Одну или две?
Рассматривать (измерять) будем сначала в 1-мерном измерении, затем в двухмерном, затем в трехмерном, затем в четырехмерном и т.д. до 6.
Что значит последнее предложение, Михаил, зачем Вам нужны измерения в разных размерностях, как определяете эти размерности? Зачем зафиксировать время?
Как будете физически рисовать в пространстве прямые, сфетом ли (ибо тот бежит якобы по прямой)? Да ведь сказано и показано уже в 1919 году сэром Эддингтоном, что прямые такие вблизи Солнца будут загибаться и параллельными не будут
Эддингтон был одним из первых, кто оценив важность специальной и общей теории относительности А. Эйнштейна, опубликовал статьи на эту тему. Руководимая им экспедиция наблюдала полное солнечное затмение 1919 г. для регистрации отклонения луча света, предсказанное ОТО. Однако, позднее было показано, что неопределенности были настолько большими, что это не позволяло сделать какое-либо определённое заключение. [1]
Эддингтон написал в своей записной книжке: «на одной пластинке измерения дали результат, предсказанный Эйнштейном»
Вы представляете, какая в 1919 году была фототехника? Почему за почти век нет никаких подтверждений этого бреда? А только один снимок вековой давности, сделанный фанатом предсказаний Эйнштейна? Вас это никак не смущает?
Кстати, интересный вопрос, свет по Вашему, это продольная или поперечная волна?
Я определяю по уравнению, если линия задается уравнением первой степени, то это прямая, если линия задается уравнениями третьего, четвертого, пятого и т.д. порядков, то это, несомненно, кривая.
А, понятно. Это принято называть алгебраическая кривая. Но такой класс кривых слишком беден, скажем, синусоиды y=sin x там нет.
Но это, конечно, к теме напрямую не относится; это я просто к тому, что вообще интересно поразмыслить о том, как определить понятие кривой в евклидовом пространстве. Кстати, если уж на то пошло, то, согласно всем известным определениям кривой, (евклидова) прямая - это частный случай. Т.е., фраза типа
Михаил написал(а):
на самом деле она вовсе не прямая, а кривая
для математика звучит как это не фикус, а растение
Михаил написал(а):
Рассматривать (измерять) будем сначала в 1-мерном измерении, затем в двухмерном, затем в трехмерном, затем в четырехмерном и т.д. до 6. Вы согласны? Причем одновременно в зафиксированном времени.
А даже если мы согласны, то как это реально проделать?
Все-таки, не понимаю, какие у Вас есть основания считать, что даже во вселенских масштабах пространство в точности евклидово? Даже если Вы не признаете ТО, это все-таки не доказывает такую точку зрения.
Эддингтон был одним из первых, кто оценив важность специальной и общей теории относительности А. Эйнштейна, опубликовал статьи на эту тему. Руководимая им экспедиция наблюдала полное солнечное затмение 1919 г. для регистрации отклонения луча света, предсказанное ОТО. Однако, позднее было показано, что неопределенности были настолько большими, что это не позволяло сделать какое-либо определённое заключение. [1]
Эддингтон написал в своей записной книжке: «на одной пластинке измерения дали результат, предсказанный Эйнштейном»
Вы представляете, какая в 1919 году была фототехника? Почему за почти век нет никаких подтверждений этого бреда? А только один снимок вековой давности, сделанный фанатом предсказаний Эйнштейна? Вас это никак не смущает?
Взять, например, миф о том, как Артур Эддингтон предвзято обрабатывал наблюдения солнечного затмения в 1919 г., чтобы подтвердить общую теорию относительности Эйнштейна. Рассказ об этом практически полностью основан на обширной статье философов Джона Иермена и Кларка Глаймура, вышедшей в 1980 г. [1]. В ней собраны и систематизированы аргументы в пользу того, что при обработке наблюдений Эддингтон необоснованно отбросил данные, противоречащие ОТО. Однако аргументация в этой статье и, как следствие, в книге Уоллера имеет в основном «гуманитарный» характер, выстроена на анализе взаимных интересов участников тех событий и опирается на мнения современников. При таком подходе критика, естественно, смотрится более выпукло: у согласных с результатами не было повода для громких выступлений.
В популярной книге эта выпуклость становится и вовсе гипертрофированной, и читателю уже трудно заметить принципиальный факт: критика экспедиции практически игнорирует ключевые для понимания вопросы техники астрономических наблюдений. Дело подается так, будто опытные астрономы просто отбросили при обработке «неудобные» им данные. Понадобилось почти 20 лет, чтобы этот «разоблачительный» миф был в свою очередь разоблачен астрофизиком Дэниэлом Кеннефиком [2]. Изображения на пластинках с одного из инструментов (астрографа) оказались расфокусированными, и наблюдатели забраковали их сразу после проявки, еще в экспедиции, а вовсе не при обмерах и обработке в Англии. К тому же пластинки из двух мест дислокации экспедиции обрабатывались независимо: одни — Эддингтоном, другие — королевским астрономом Фрэнком Дайсоном, имя которого даже не упоминается в книге. Причем основные для подтверждения ОТО данные получил именно Дайсон, который поначалу скептически относился к теории Эйнштейна и был удивлен, что она подтвердилась.
Справедливости ради надо сказать, что информация об исследовании Кеннефика появилась только в 2007 г. [3], т.е. после выхода первого издания книги Уоллера на английском языке. Но сейчас прошло уже достаточно времени, чтобы при ретрансляции старого мифа на русский язык хотя бы снабдить его надлежащим комментарием. Без него книга лишь укрепляет позиции маргинальных отрицателей ОТО, которые давно уже за отсутствием реальных научных аргументов коллекционируют подобный «компромат», предпосылая его собственным «альтернативно-научным» теориям.
прямая не станет кривой. Мир реален. Мы своими умозаключениями не можем его изменить, даже если это очень кому-то надо
А откуда Вы знаете, что реальный мир ... прямой?
Ведь прямые Ваши бесконечной длины, Вы заведомо НЕ могли бы прозвонить их вдоль всей их длины, дабы убедиццо, что они на самом деле НЕ пересекаются, то бишь параллельны?
множество действительных чисел (т.е., обычную прямую) уже трудно себе представить
Ну, сплошной, везде гладкий (и прямой, по Михаилу!) отрезок очень даже можно себе представить, а вот связного/сплошного фрактала как-бы нельзя-с
Serge_P написал(а):
как себе представить тот факт, что действительные числа можно вполне упорядочить
С лёгкой руки Аксиомы Выбора лично у меня такой проблемы нет
. Если любую (!) мощность можно вполне упорядочить (то бишь наделить дискретной топологией ... натуральных чисел
), то континуум не выглядит так уж шокирующе. Разумеется, приходится поплатиться принципиальной невмоготой пригвоздить континуум на (вполне упорядоченной) шкале мощностей. Это потому, что порождающая континуум операция степени множества, 2^N (N - множество натуральных чисел), совершенно другая и по смыслу самостоятельная/независимая идея по сравнению с минимальной (счётной) операцией +1. Потому и логический смысл математического существования в области счётного сильнее, чем в области несчётного: однозначные решения гипотез Римана с Гольдбахом заведомо уже существуют, хоть пока мы их не знаем, в разительном отличии от ... гипотезы Кантора/континуума, безудержно мечущейся туды-сюды вдоль шкалы мощностей в тщетных поисках своего несуществующего, якобы истинного места
От того, что мы по своей воле выбираем систему координат, прямая не станет кривой. Мир реален. Мы своими умозаключениями не можем его изменить, даже если это очень кому-то надо.
А мы в этой теме не меняем мир
Мы лишь рассматриваем формальную логику неевклидовых геометрий.
И на данный момент ситуация такова, что без привлечения следствий из постулата Евклида доказать его не удастся.
А маневры с привлечением оных математически некорректны. Ибо.
Михаил написал(а):
Давайте, исследуем наш вопрос на больших расстояниях. Например, мысленно проведем прямую через центр Солнца и центр одной из ближайших к нам звезды Проксима Центавра. Зафиксируем время.
А вот это уже совсем другой вопрос. Какая геометрия соответствует реальному миру? Этот вопрос математику не интересует.
Хорошо бы Вы для этого создали отдельную тему в Физике и попинали ТО
Вот Михаилу самое общее и краткое определение колышущей его линии: множество топологической размерности 1 (должно обеспечивает связность/непрерывность)
ОК, как говорится, прямую из реального мира в студию
Исследование начнем с измерения 1. Нужно выбрать точку отсчета координат размерности 1. Что Вы предлагаете? Я предлагаю выбрать центр Солнца. (Но можно и центр любой планеты в зафиксированном времени).
