Михаил, можно, конечно, под ПЛОСКОСТЬЮ понимать только везде плоскую ПЛОСКОСТЬ из школьного курса планиметрии
. Дело в том, первые 4 (четыре) постулата/аксиомы Евклида НЕ застукивают вполне эту плоскость, их НЕ хватает для однозначного определения этой обыденной и привычной всем нам плоскости. Нужен ещё 5-ый постулат, совершенно независимый и НЕ выводимый из первых четырёх, притом со специфическим утверждением, что через точку можно провести только одну-единственную параллельную другой прямой. Стало быть, первые 4-ые постулата Евклида могут здравствовать и там, где через точку можно провести бОльше, чем одну, параллельных другой прямой (в смысле НЕ пересекающих другую прямую). Такой плоскости или лучше поверхности приклеили имя Лобачевского. Бывают и плоскости/поверхности (имени Римана), где параллельных вообще ... не бывает
, то бишь все прямые пересекаются поголовно! Примером является поверхность любой ... планеты
Бывают и плоскости/поверхности (имени Римана), где параллельных вообще ... не бывает , то бишь все прямые пересекаются поголовно!
Значит у етого Римана надо гранты все отобрать поголовно, а его самого, по голове стукнуть чем то плоским. Этот РимАн, он на поезде хоть иногда ездил? Если бы прямые пересекались, то было бы невозможно соеденить рельсами Москву и Сколково, пришлось бы за бешеные бабки проводить монорельс!
Михаил, вот у меня тоже к Вам есть вопрос. Рассмотрим два таких известных математических понятия:
(1)
евклидово пространство размерности 2,
оно же
гильбертово пространство размерности 2,
оно же
евклидова плоскость,
(2)
гиперболическое пространство размерности 2,
оно же
гиперболическая плоскость,
оно же
плоскость Лобачевского.
Считаете ли Вы, что (1) в каком-то смысле более реально, чем (2)? Если да, то в каком?
Этот РимАн, он на поезде хоть иногда ездил? Если бы прямые пересекались, то было бы невозможно соеденить рельсами Москву и Сколково, пришлось бы за бешеные бабки проводить монорельс!
Вы пишите, что на луне т. е. на месяце живут и обитают люди и племена. Этого не может быть никогда, потому что если бы люди жили на луне то заслоняли бы для нас магический и волшебный свет ее своими домами и тучными пастбищами. Без дождика люди не
могут жить, а дождь идет вниз на землю, а не вверх на луну. (c)
Кстати, ув. Михаил, раз уж Вы так любите цитировать словари, я тут не поленился, и специально для Вас отсканировал статью Плоскость из Математической Энциклопедии в 5 томах (М., 1984; том 4, стр.318-319):
Ну теперь Вы согласны, что плоскости разные бывают? Или все равно нет?
Вы здесь, похоже, делаете ту же ошибку, что и ув. wpiter: (неявно) полагаете, что любая математическая теория живет в реальном мире.
Да я действительно так считаю, и у меня есть основания к этому, Мир бесконечно разнообразен. Другой совершенно вопрос, когда пытаются, какую либо теорию (по меткому выражению Хайдука) присобачить к несвойственной ей среде и любой ценой получить якобы её предсказания - а их то и нет в этой области, потому что их там и быть не может. Математика точная наука, она не может обманывать. Обманывают те, кто пытается манипулировать математикой. И тот, кто будет утверждать, что математика не точная наука - это враг науки. Геометрия Лобачевского превосходно используется в военпромом, она не заменима во многих разработках.
Serge_P написал(а):
С первым утверждением еще можно согласиться, хотя, конечно, определением оно не является.
Поскольку Вы согласились с определением:
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий.
Хотя можете привести любое определение из словаря, со ссылкой на словарь, будем отталкиваться от того и этого. Вы согласны?
Геометрия Лобачевского превосходно используется в военпромом, она не заменима во многих разработках
Значит не воображаемая, а - истинная, нет?
Михаил написал(а):
теорию присобачить к несвойственной ей среде и любой ценой получить якобы её предсказания - а их то и нет в этой области, потому что их там и быть не может
К примеру ... ?
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий.
Не вижу тут пока никакого определения понятия ПРЯМОЙ ЛИНИИ, только обозначили слова ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
У военых известное дело мозги набекрень, у них там истина - это то, что в уставе написано. Ведь ракеты летают не по прямой, а как вояку убедить, что по прямой не получится? Вот чтобы вояк развести им и подсунули специальные кривые плоскости.
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий.
Хотя можете привести любое определение из словаря, со ссылкой на словарь, будем отталкиваться от того и этого. Вы согласны?
Ну да, прямая - одно из основных понятий геометрии. Обычно определяется лишь косвенным образом через аксиомы. Если Вам нужно мое формальное с этим согласие, можете его зафиксировать.
Михаил написал(а):
Serge_P написал(а):
Вы здесь, похоже, делаете ту же ошибку, что и ув. wpiter: (неявно) полагаете, что любая математическая теория живет в реальном мире.
Да я действительно так считаю, и у меня есть основания к этому, Мир бесконечно разнообразен.
Что ж, если Вы так считаете, скажите, пожалуйста, где в реальном мире можно найти (к примеру) корень из двух? Помнится, от wpiter-а ответа на этот вопрос добиться не удалось...
Ну и, собственно, размерность (количество измерений) - это совсем не самоочевидное понятие.
В принципе да, единственно дальше будет задето, строить прямую будем в 3-х мерном пространстве, или на плоскости в 2-х мерном, от этого и будут зависеть уравнения.
А что такое 3-мерное пространство и чем оно отличается от двумерного?
Мне кажется, ув. Vladimirovich, что для Михаила этот вопрос составит ещё бОльшую трудность, чем проклятые параллельные, потому лучше потихонечку, так сказать
Потом, кто Вам рассказал, что прямая в геометрии Лобачевского - это обязательно гипербола? Во-первых, внутри геометрии Лобачевского, прямая - это прямая, и никаких
Мне Вас жаль, что Вы так научены. Но в этом виноваты не Вы, а Ваш преподаватель, который не видит разницы между прямой и Л-прямой. Жаль также, что Вашему преподавателю геометрии не преподавали предмет Логика, в советские времена этот предмет не во всех ВУЗах преподавался, иначе бы он Вам не вбил в голову такую глупость.
Мне тоже, когда я поступил в Вуз, говорили, забудьте то, чему учили Вас в школе - это будет мешать учебе в ВУЗе, когда я был в аспирантуре, мне говорили забудьте то, что Вам преподавали в ВУЗ - это будет мешать научно исследовательской работе...
Кстати, у Вас есть задачки геометрии Лобачевского? Если бы был задачник геометрии Лобачевского, Вы бы никогда Л-прямую не назвали прямой. Если надо, могу дать ссылку.
Во-вторых, если мы говорим о моделях геометрии Лобачевского - то они разные бывают. Есть такие, где прямые представляются отрезками. В модели Пуанкаре, если я правильно помню, прямые представлены дугами окружностей.
Почти правильно помните, только в той модели Л-прямые представлены дугами окружностей:
Определение. «Плоскостью Лобачевского» (коротко: Л-плоскостью) называется внутренняя область абсолюта.
Определение. «Точками Лобачевского» (коротко: Л-точками) называются внутренние точки абсолюта.
Определение. «Прямыми Лобачевского» (коротко: Л-прямыми) называются внутренние дуги окружностей, ортогональных к абсолюту, и диаметры абсолюта.
Таким образом, можно сказать, что планиметрия Лобачевского осуществляется в гиперболической связке окружностей ортогональных к абсолюту.
Поскольку в первом и во втором утверждении рассматриваются прямые в плоскости, то будем рассматривать прямые только на плоскости (в двухмерном пространстве), и соответственно — как алгебраическую линию первого порядка (в декартовой системе координат), и задавать на плоскости уравнением первой степени (линейным уравнением).
Ах+Ву+С=0,
Это абсолютная тавтология, Михаил.Вы берете далекие следствия из постулата Евклида, евклидовы пространства, и доказываете с их помощью сам постулат.Это несерьезно.
Давайте всё это рассмотрим с позиции Лобачевского. Вы согласны?
Давайте всё это рассмотрим с позиции Лобачевского. Вы согласны?
Ну хорошо. Хотя мне совершенно необязательно вставать на какую либо позицию.
Сам факт того, что Вы используете термины типа прямые только на плоскости (в двухмерном пространстве) говорит о том, что Вы изначально приняли постулат Евклида, но искренне удивляетесь, как другие не замечают, что аксиома Лобачевского тут и близко не стояла
Еще раз попробую Вам подчеркнуть мысль о протоплоскости
Предположим у Вас есть некая резиновая пленка. Это она и есть, родимая. Это чистая топология пока.
Мы медленно начинаем вводить постулаты. Один за другим.
Каждый из них вводит некую степень жесткости для этой пленки.
И наконец на последнем шаге мы выбираем самый жесткий постулат. В зависимости от того, что мы выберем, она станет либо плоской плоскостью либо хитрой плоскостью Лобачевского.
Вас устраивает такая схема?
Михаил, забудьте про Ваши прямые с Л-прямыми, прежде всего Вам нужно определение что такое прямая, даже что такое линия?
Определить что такое линия непросто и наверное потребует бОльше математики, чем Вы знаете. Потому будем рассчитывать на Ваше общее представление о (кривых, вообще говоря) линиях и предложим следующее определение прямой: кратчайшее расстояние в некотором (искривлённом, вообще говоря) пространстве (определение последнего тоже проспускаем). Если находитесь на Северном полюсе, то кратчайших путей (прямых меридианов) до Южного хоть отбавляй
Мне Вас жаль, что Вы так научены. Но в этом виноваты не Вы, а Ваш преподаватель, который не видит разницы между прямой и Л-прямой.
Напрасно Вы придаете такое большое значение тому, как именуются математические термины. В математике слова вообще не особо важны; в принципе, любую теорию можно изложить исключительно формально. А слова мы пишем и картинки рисуем только для того, чтобы понятнее было; однако, все это играет лишь вспомогательную роль.
Еще: это здесь, кажется, уже говорилось, но повторю. При аксиоматическом подходе к геометрии, точки и прямые - это базовые неопределяемые объекты. Об их истинной природе априори не говорится ничего. Вместо этого, мы принимаем как аксиомы некоторые свойства отношения инцидентности, определенного на точках и прямых. Если очень хочется, можно прямые назвать волнистыми, а точки - кочками, и ничего не изменится (получившаяся геометрия будет изоморфна исходной, просто заменив одни слова на другие).
Однако, ближе к делу: так прямые, или Л-прямые? Как надо говорить? Да как угодно - лишь бы не возникало неясностей и возможностей для неправильной интерпретации написанного. Картинка из поста 139 взята с сайта geom.kgsu.ru/, так? Открываем страницу с того же сайта geom.kgsu.ru/index.php?option=content&task=view&id=23 и никаких Л-прямых там не наблюдаем (хотя речь идет именно о геометрии Лобачевского). А почему тогда, применительно к модели Пуанкаре, там говорят о Л-прямых? Да потому, что речь идет о модели геометрии Лобачевского: плоскость Лобачевского представлена кругом, а круг - это, как известно, подмножество евклидовой плоскости (где и обычных прямых полно тоже). Вот они и стали писать Л-прямые - во избежание путаницы и misunderstanding.
Михаил написал(а):
Мне тоже, когда я поступил в Вуз, говорили, забудьте то, чему учили Вас в школе - это будет мешать учебе в ВУЗе, когда я был в аспирантуре, мне говорили забудьте то, что Вам преподавали в ВУЗ - это будет мешать научно исследовательской работе...
Странно. Мне ничего подобного не говорили. Ну, видимо, преподаватели были плохие, чего уж тут
Потому будем рассчитывать на Ваше общее представление о (кривых, вообще говоря) линиях и предложим следующее определение прямой: кратчайшее расстояние в некотором (искривлённом, вообще говоря) пространстве (определение последнего тоже проспускаем).
Хайдук, подождите
Тут с аксиоматическим подходом еще не разобрались, а Вы уже про геодезические на римановых многообразиях
Картинка из поста 139 взята с сайта geom.kgsu.ru/, так? Открываем страницу с того же сайта geom.kgsu.ru/index.php?option=content&task=view&id=23 и никаких Л-прямых там не наблюдаем (хотя речь идет именно о геометрии Лобачевского). А почему тогда, применительно к модели Пуанкаре, там говорят о Л-прямых? Да потому, что речь идет о модели геометрии Лобачевского: плоскость Лобачевского представлена кругом, а круг - это, как известно, подмножество евклидовой плоскости (где и обычных прямых полно тоже). Вот они и стали писать Л-прямые - во избежание путаницы и misunderstanding.
Совершенно с Вами согласен уважаемый Serge_P! Когда на лекциях по геометрии Лобачевского преподаватель перед началом оглашает понятийный аппарат, в котором для краткости говорит, что речь пойдет только про геометрию Лобачевского и никакую другую, поэтому отбрасывает в дальнейшей терминологии Л- и Лобачевский, и все понимают, о чем речь.
Но когда идет дискуссия про две, совершенно отличные, по понятийному аппарату геометрии, я полагаю, вещи надо называть их исконными именами.
Кстати заглянул в Государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования и нашел, почему-то, только три специальности - 510300, 511300 и 010500 которые изучают в составе Дифференциальной геометрии и основ тензорного анализа евклидову плоскость и плоскость Лобачевского, причем евклидову написано с маленькой буквы, Лобачевского с большой.
Неужели другие специальности этого не изучают? Или я не нашел?
Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (то есть абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующей аксиомы, противоположной аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату.
Через точку, лежащую вне прямой в плоскости, определяемой ими, можно провести не менее двух прямых, не пересекающих данной прямой.
Заметим, что существование хотя бы одной прямой, проходящей через данную точку и не пересекающей данной прямой, есть факт абсолютной геометрии. Аксиома Лобачевского утверждает существование по крайней мере двух таких прямых. Отсюда немедленно следует, что таких прямых существует бесконечное множество.
Плоскость, в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется плоскостью Лобачевского.
Заметим также, что геометрию Лобачевского называют гиперболической геометрией, в соответствии с чем плоскость и пространство Лобачевского называются гиперболическими.
Хочу еще раз подчеркнуть, что в геометрии Лобачевского якобы прямая, на самом деле является гиперболой, поэтому происходит понятийный подлог, или жульничество, хотя к этому сам Лобачевский никакого отношения не имеет.
