mishin05 wrote: В таком случае Вам нельзя использовать старый термин. Нужно ввести новый.
Вы невнимательно прочитали все, что было написано уже про термы и соотношения.

Можно назвать новый термин сепулька
И тогда сепулька откроет невиданные перспективы для интегрирования сепуления.

Т. Мишина нужно познакомить с т. Впитером. Авось измерят интегралом первого сепульки второго. )))

mishin05 wrote:
В конце концов Вы имеете право, мишин . Тут имеем дело с некоторой несостыковочкой или неуклюжестью, так сказать, к счастью несущественной.

Обычно функция [tex]f(x)[/tex] и её производная [tex]f'(x)[/tex] определены для одних и тех же значений переменной [tex]x[/tex], потому и говорят о НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ. Функцию [tex]f(x) = \displaystyle\int f'(x)dx[/tex] называют примитивной от [tex]f'(x)[/tex], a саму [tex]f'(x)[/tex] производной от [tex]f(x)[/tex]. Я не интересовался, но не у всех функций [tex]f(x)[/tex] бывает примитивная [tex]\displaystyle\int f(x)dx[/tex], как-будто легче иметь производную, чем примитивную.


Может быть ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [tex]\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx[/tex] существует даже тогда, когда у функции [tex]f(х)[/tex] не бывает примитивной [tex]F(x)[/tex], то бишь НЕ бывает НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА [tex]F(х) = \displaystyle\int f(x)dx[/tex]. Так как в случае существования примитивной ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ можно выразить как разницу на пределах интегрирования

[tex]F(b) - F(a) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx[/tex], то в случае [tex]F(a) = 0[/tex] и [tex]b = x[/tex] - переменная, можно получить саму примитивную [tex]F(x) = f(x)[/tex] (то бишь сам НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) как ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ согласно Вашей формуле сферху,

[tex]F(x) - 0 = f(x) - 0 = f(x) = \displaystyle\int\limits_a^{x} f'(t)dt[/tex] при [tex]t(x)=x, f^{-1}(0)=a[/tex].

Здесь условие [tex]f^{-1}(0) = a[/tex] как раз в том и состоит, что [tex]x = a[/tex] при [tex]f(x) = 0[/tex]. [tex]x = f^{-1}(f(x))[/tex] есть обратная функция, когда [tex]f(x)[/tex] становится аргументом, а [tex]x[/tex] функцией, то бишь a = [tex]f^{-1}(0)[/tex].

Устал я от вас. Не зря бытует мнение, что бессмысленно объяснять кроту, что такое Солнце...

Не завирайтесь, мишин, дифференциалов, производных, касательных, секущих и самое важное - ПРЕДЕЛОВ - наверняка НЕ понимаете и я намыливаюсь растолковать их Вам

Предлагаю в профиле т. Мишина вместо имеющего быть "стольник" написать "Солнышко Наше"

mishin05 wrote:
В конце концов можно записать [tex]\displaystyle\int\limits_{a}^{x}f(x)dx[/tex]

Если меняем пределы интегрирования, скажем [tex]\displaystyle\int\limits_{{y}^2}^{{z}^3}f(x)dx[/tex],

то ничего не надо трогать под интегралом . Если замещаем под интегралом [tex]x[/tex] чем-то другим, то обязательно меняем и пределы интегрирования, если они не произвольные константы и знаем как связаны с [tex]x[/tex]

mishin05 wrote: Ну так кто же Вас здесь держит? Идите прямиком в институт Стеклова со своими "открытиями". В свое время их там кажется даже заставляли писать официальные ответы шизикам хениям вроде Вас. А тут мы зафиксируем отказ г. Мишина предоставить нам сирым математическое описание изобретенного им интеграла и отказ признать свои ошибки.

Хайдук wrote: С какого перепугу? Вы тоже теперь как и г. Мишин смешали пределы интегрирования с интегральной переменной в одну кучу.

Это не очень мешает, ув. РР, потому что ничего не меняем под интегралом

Допустим записали [tex]\displaystyle\int_{0}^{x^{3}}f'(t)dt[/tex]. Примитивная или неопределённый интеграл будет [tex]f(t)[/tex], а наш определённый интеграл будет равен [tex]f(x^{3}) - f(0)[/tex], что бы ни подразумевали под [tex]x^{3}[/tex].

Ну и что, если записали [tex]\displaystyle\int_{0}^{x^{3}}f'(x)dx[/tex]? Примитивная будет [tex]f(x)[/tex] и попросту на место [tex]x[/tex] ставим верхний предел интегрирования [tex]x^{3}[/tex] и получем то же самое для определённого интеграла, [tex]f(x^{3}) - f(0)[/tex]. Разумеется, такая подстановка колет глаза, но ничем не хуже замены [tex]t[/tex] на [tex]x^{3}[/tex] сферху

Даже если пределы интегрирования являются функциями от подинтегральной переменной (в чем немного смысла/пользы, конечно), то это значит, что пределы эти попросту переменные и их можно выбирать как хочешь, но на интегрирование не оказывают влияния, потому что вариабельность пределов совершенно НЕ колышет подинтегральную переменную. Последняя определяет величину/значение дифференциалов/приращений [tex]f'(x)dx[/tex], которые накапливаем прибавлением друг к другу, в то время как вариабельность пределов определяет сколько и кого из этих приращений будем присобачивать

Кошмар какой-то...
Ув. mishin05, нахера это все надо?

Хайдук wrote: Хайдук, запись [tex]\displaystyle\int_{0}^{x^{3}}f'(x)dx[/tex] вполне возможна, но только надо понимать, что переменная интегрирования х и х в верхнем пределе интегрирования ничего общего между собой не имеют. Переменная интегрирования существует только в процессе интегрирования, как в языке C локальная переменная х существует только в области своего определения и отличается от переменной с тем же именем вне этой области.
Поэтому, предел интегрирования не может быть функцией переменной интегрирования, и поэтому-же, чтобы избежать излишних открытий, их лучше обозначать разными буквами.

procrastinator wrote: Вполне согласен с Вами и удачной аналогией с локальными переменными методов и классов в С и Java , хотя все-таки нельзя не отметить, что пределы интегрирования находятся на той же оси [tex]x[/tex], на которой лежит и переменная интегрирования [tex]x[/tex], что вносит некоторые путаницу, аллюзий и second guessing

Хайдук wrote:

Заметны героические потуги ув. мишина понять кто такие дифференцирование и интергрирование, но его усилия ущучивает непонимание понятия предела, которое является фундаментальным для обоих.


Отношение дифференциалов [tex]dy/dx = y'(x)[/tex] никак нельзя толковать как отношение [tex]0/0[/tex] якобы нулевых приращений, как ошибочно думает тов. мишин . В то время как [tex]dx = \Delta x[/tex], вполне конечный и ненулевой [tex]dy = y'(x).dx[/tex] обычно отличается от [tex]\Delta y[/tex] (за исключением линейной функции [tex]y(x) = ax + b[/tex]). Чем меньше будет [tex]dx = \Delta x \to 0[/tex], однако, тем ближе друг к другу будут [tex]dy \sim \Delta y[/tex], причем в некотором точном смысле разница между ними убывает к нулю быстрее(!), чем любое из них или [tex]dx = \Delta x[/tex] . Как раз это хорошее приближение к приращениям [tex]\Delta y[/tex] позволяет восстановить саму функцию [tex]y(x)[/tex] путём суммирования большого числа убывающих к нулю дифференциалов, [tex]y(x) \sim \sum dy = \sum y'(x).dx \sim \displaystyle\int y'(x).dx[/tex].


Остаётся следующий вопрос: откуда берётся коэффициент [tex]y'(x)[/tex] между двумя конечными/ненулевыми дифференциалами [tex]dy = y'(x).dx[/tex], как выбираем его подходящим образом? Ответ: это и есть пресловутый предел отношения приращений/секущих [tex]\Delta y/\Delta x[/tex] при убывании [tex]\Delta x[/tex] к нулю, то бишь [tex]y'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta y/\Delta x)[/tex]; предел этот обзывают производной/касательной.

Подобным образом [tex]y(x) = \displaystyle\int y'(x).dx = \lim_{dx \rightarrow 0} \sum dy = \lim_{dx \rightarrow 0} \sum y'(x).dx[/tex]

Вот и весь сыр-бор. Ждём-с разъяснительных, просвящённых вопросов от ув. мишина

Хайдук wrote:
Покажем ув. мишину почему дифференциал [tex]dy = y'(x).dx[/tex] является очень хорошим приближением к приращению [tex]\Delta y[/tex] функции [tex]y(x)[/tex].

Естественно будет остановиться на разнице [tex]dy - \Delta y[/tex], убывающей к нулю при [tex]dx = \Delta x \rightarrow 0[/tex]. Рассмотрим предел отношения этой разницы между дифференциалом и приращением к, скажем, самому дифференциалу:

[tex]\lim_{dx \rightarrow 0}(dy - \Delta y)/dy[/tex]

Как разница, так и дифференциал убывают к нулю; если это суть убывание одного и того же порядка схожих по величине значений, то предел их отношения должен быть неким конечным числом или даже около [tex]1[/tex]. Если предел равен [tex]0[/tex], то это значит, что разница между дифференциалом [tex]dy[/tex] и приращением [tex]\Delta y[/tex] становится намного меньше даже убывающих к нулю их самих . Действительно,

[tex]\lim_{dx \rightarrow 0}(dy - \Delta y)/dy = \lim_{dx \rightarrow 0}(1 - \Delta y/dy) = \lim_{dx \rightarrow 0}(1 - \Delta y/(y'(x).dx)) = \lim_{dx \rightarrow 0}(1 - \Delta y/(y'(x).\Delta x)) = \lim_{dx \rightarrow 0}(1 - 1/y'(x).\Delta y/\Delta x) =[/tex]
[tex]= 1 - y'(x)/y'(x) = 1 - 1 = 0[/tex],

так как [tex]\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta y/\Delta x) = y'(x)[/tex] по определению производной.

Подобные выкладки для отношения разницы между дифференциалом и приращением [tex]dy - \Delta y[/tex] и самого приращения [tex]\Delta y[/tex] приводят к заключению, что разница между дифференциалом и приращением функции намного меньше их самих даже когда они убывают к нулю. Дифференциал [tex]dy = y'(x).dx[/tex] есть линейная функция от приращения [tex]dx = \Delta x[/tex]; коэффициент линейности равен не чему приспичило, а в точности производной [tex]y'(x)[/tex]. Именно потому такой особый дифференциал является таким хорошим приближением для приращений функции [tex]y(x)[/tex] и служит кирпичиком для предельного суммирования под интегралами

Хайдук wrote: Суждение о таковой возможности и привело г. Мишина к ошибочным выводам.

procrastinator wrote: Вот вот!

procrastinator wrote: Хайдуку и Мишину на заметку!

Вопрос этот чисто технический и легко решаемый, как убедились (надеемся и за ув. мишина)

ЗЫ. Прихожу к выводу, что попросту бессмысленно пределам интегрирования быть переменными за исключением простых таковых как [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]t[/tex] и пр. Замещать формально такие вариабельные пределы функциями по примеру ув. мишина смахивает на нонсенс

Надеемся, что тов. мишин хлебнул ту изрядную долю водички матана, чем судьба закидала и нырнул в раздумья, дабы воскреснуть Христом новой мат. религии

тов. мишин наверное не знает, что дифференциальные символы [tex]dx[/tex], [tex]dy[/tex], [tex]dy/dx[/tex] и другие подобные были введены Лейбницем и другими (но не Ньютоном) главным образом для обозначения именно всяких производных. К примеру, вторую производную [tex]y''(x)[/tex] обозначают вот такими "дифференциалами", [tex]y''(x) = d^{2}y/dx^{2}[/tex]. Я не уверен, что отдельные [tex]d^{2}y[/tex] и [tex]dx^{2}[/tex] можно использовать в арифметических выкладках в качестве неких "приращений" и пр. Другими словами, обозначение [tex]d^{2}y/dx^{2}[/tex] представляется неделимым, как китайский иероглиф. Наверняка неделимы обозначения для частных производных функций двух и более переменных как [tex]\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}[/tex], [tex]\displaystyle\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}[/tex], [tex]\displaystyle\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}[/tex] и т.д.


Так что именно производные-пределы важны для мат. анализа, а т.н. дифференциалы суть лишь обозначения, тем более, что разница между единственным "реальным" дифференциалом [tex]dy[/tex] и [tex]\Delta y[/tex] пренебрежима.

Жак wrote: Надеюсь проблемы ув. Жака возымели заслуживающие их ответы

Хайдук wrote:
Знаешь, Вася, в чем и твоя беда тоже? Я тебе уже сообщал, но ты, как истинный болванчик, не принял к следованию...

Понимаешь, что отношение дифференциалов, это - предел ОТНОШЕНИЯ? Есть некое отношение, в котором ИСЧЕЗЛИ ПРИРАЩЕНИЯ. Предел этого отношения обозначается отношением дифференциалов. Правило "предел частного равен частному пределов" ничем не лучше ОБЫКНОВЕННОГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО ЧАСТНОГО. У этого арифметического действия есть ОДНО ОГРАНИЧЕНИЕ по знаменателю. Оно распространяется НА ВСЕ ЧАСТНЫЕ без исключения. Дифференцирование и пределы НЕ ОТМЕНЯЮТ АРИФМЕТИКИ И ЕЕ ПРАВИЛА!!! "Неопределенность [tex]0/0[/tex]" выдумана придурками, которые в этот момент не видели перед собой графика функции [tex]y=1/x[/tex], который С ПОЛНОЙ ДРКАЗАТЕЛЬНОСТЬЮ ПОКАЗЫВАЕТ, что такое выражение НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Пойми ты, наконец, одну ПРОСТУЮ ВЕЩЬ: значение функции зависит от приращения аргумента, но не зависит от его дифференциала. Потому, что ДИФФЕРЕНЦИАЛ - НЕ ПРИРАЩЕНИЕ. Это ОПЕРАТОР. Он меньше самого возможно малого приращения: между СОСЕДНИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ (элементами). Но он не равен нулю. Нулю равно приращение!

mishin05 wrote: Предел отношения ЧЕГО, мишин? Не может быть пределом отношения самих дифференциалов, потому что это отношение [tex]dy/dx[/tex] всегда одно и то же, оно суть ПОСТОЯННАЯ (в данной точке) для любых пар дифференциалов [tex](dy,dx)[/tex] (в данной точке). Эту ПОСТОЯННУЮ называют производной, то бишь тангенс угла касательной в этой точке.

"Отношение дифференциалов" (та же производная) на самом деле есть предел (в данной точке), но предел отношения приращений (в данной точке), когда эти приращения убывают к 0:

[tex]\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta y/\Delta x)[/tex]

mishin05 wrote:
Исчезли приращения именно из-за предела/в пределе, мишин. Предел (то бишь производная) никак НЕ обязан обозначаться дифференциалами - к примеру у Ньютона дифференциалов НЕ было, а было обозначение [tex]\dot{y}[/tex], сегодня обозначаем [tex]{y}'[/tex] . Пост #320 сферху как раз об этом долдонит да некому слушать и понимать

mishin05 wrote: Разумеется, мишин, доброе утро - колесо открыли, так держать!

mishin05 wrote:
НЕТУ такого правила ДЛЯ ПРЕДЕЛОВ, мишин, я же давно почуял и с тех пор впариваю Вам, что НЕ ПОНИМАЕТЕ пределов. Предел частного НЕ есть частное и значит частное пределов его НЕ колышет . Любые производные суть пределы неопределённости типа [tex]0/0[/tex], предел [tex]\lim_{x \to 0}\sin x/x = 1[/tex] тоже является примером неопределённости [tex]{\color{Red} 0}[/tex][tex]/[/tex][tex]{\color{Red} 0}[/tex], ибо [tex]\lim_{x \to 0}\sin x = {\color{Red} 0}[/tex] и [tex]x \to {\color{Red} 0}[/tex] также

Хайдук wrote:
Мне не взападло ПОВТОРИТЬ ЕЩЕ РАЗ:
mishin05 wrote: Хайдук wrote:
Смотри сюда:
1. В точке НЕТ НИКАКОГО ОТНОШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ, потому, что в точке - одно из значений производной ФУНКЦИИ. А отношение дифференциалов - ФУНКЦИЯ.
2. Постоянную называют ПРОИЗВОДНОЙ только дауны и шизики, потому, что тангенс угла наклона касательной РАВЕН ЗНАЧЕНИЮ производной в точке касания. ЗНАЧЕНИЕ функции и САМА ФУНКЦИЯ - не одно и то же !!!!!
3. Пределу отношения похрен, куда убывают приращения. Он делает равными два значения аргумента! А это и есть отсутствие приращения! Предел срабатывает в одно мгновение. Когда разница между значениями есть, то пределу все равно, какая именно разница: большая или маленькая. Предел срабатывает в тот момент, когда разница между двумя значениями исчезает.

Все очень просто. Вас просто развели дауны, а вы им поверили. Этим даунам всего навсего надо было заменить слова"приращение стремится к нулю", словами "два значения становятся равными". И - все!!!

ПОЧИТАЙ ЗДЕСЬ !

Вот оно чё!

Эти мысли я изложил в письме на имя Президента РФ в мае 2009 года.

Теперь всё объяснилось. Именно тогда Ваша математика была принята правительством России в качестве рабочей.

mishin05 wrote:
www.scilog.ru/viewtopic.php?pid=588429#p588429
mishin05 wrote:

Собственно, мне без разницы агрессивный напор людей, как и я раньше, попавших под влияние слова МАТЕМАТИКА и тех бородачей, что висели на портретах у нас в классе...После вступительных слов учительницы по математике. которая провела у нас урок по началу начертания и изучения графиков функций, я запомнил свою реакцию. Мне казалось, что она шутит и сейчас рассмеется, сказав, что она пошутила. Но она была серьезной. Я подумал о том. что весь Мир изучает эту бредятину не одну сотню лет и никто не усомнился НИ В ЧЕМ. Даже эти бородатые взрослые дяди...И, КАК И ВСЕ, решил поверить. Это стало началом самообмана, в котором находятся все, кто изучает эту бредятину под названием ГРАФИК ФУНКЦИИ...

Хайдук wrote: ^{Тихонько, но внимательно слежу за темой}
Приведенная цитата была моим ответом ув. Onedrey, а не постановкой проблем. При отсутствии практики в записи мыслей высшими математическими знаками мне приходится искать муравьиные примеры под плинтусом. Если бы первоклассник не понял картинку с одношаговыми мостками между муравейниками, я бы рассказал ему анекдот: "-Сколько стоит капля коньяка? -Да нисколько! -Ну, накапайте бокальчик.." - ведь именно в этом парадокс и в то же время основа ВМ. А если бы опять не понял, я бы объяснил ему решение задачки из параллельной темы про яйцо и курицу. Ну, а если бы опять, то я бы показал ему Кассиопею на небе..