Мне кажется, Вы неправильно понимаете цели и задачи школьного курса математики. Вы оцениваете математику, так сказать, "сверху", с высоты Вашего понимания математики, где я не в силах с Вами соперничать. И уж тем более эти сферы недоступны ученикам и учительницам. А тут надо оценивать "снизу".
Я вот точно знаю, что нельзя тут снижать оценку, а наоборот над поощрить ученика. Что он усвоил коммутативность пресловутую, и вольно ее применил. Которую, сколько помню, усваивают раньше, чем запоминают таблицу умножения.

Я вот точно знаю, что нельзя тут снижать оценку, а наоборот над поощрить ученика. Что он усвоил коммутативность пресловутую, и вольно ее применил. Которую, сколько помню, усваивают раньше, чем запоминают таблицу умножения.

Всё что известно - что он написал не в том порядке, какой требовался. Почему - могло быть сто причин - небрежность, так сказал дед, , ...

Собственно знание коммутативности следует автоматически даже из стандартных методов зазубривания таблицы умножения.

[Презумпция же виновности - учителя - именно у вас. Я же просто говорю, что мы судить не можем - нет материала.

По существу же да, надо умножать 2 на 9, а не 9 на 2(во 2-м классе, пока коммутативност; умножения низвестна, и обучение арифметике только начинается)

Математики приблизились к решению проблемы простых чисел-близнецов
Американский математик Итан Чжан представил работу, которая может считаться важнейшим шагом на пути решения задачи о простых числах-близнецах — по некоторым данным, одной из старейших нерешенных проблем в математике. Работа принята в Annals of Mathematics и, судя по первым отзывам рецензентов, ошибок не содержит. В открытом доступе статьи пока нет, но записи с семинара, который Чжан провел в Гарвардском университете, уже гуляют по Сети.... (См. текст статьи по ссылке)
....
Итак, что же сделал Чжан? Он взял более раннюю работу своего коллеги и немного подправил функции, которые там фигурировали (более подробно доказательство изложено здесь). При этом, что особенно удивительно и что даже вызвало подозрения на первом этапе анализа доказательства, Чжан использовал уже существующую технику. В этом смысле его доказательство разительно отличается от, например, недавнего доказательства ABC-гипотезы Синити Мотидзуки (тоже, кстати, ключевой проблемы теории чисел, которую часто упоминают в одном ряду с гипотезой о числах-близнецах). Доказательство Мотидзуки занимает свыше 500 страниц и содержит целую теорию — с момента публикации прошло полгода, а результаты его проверки до сих пор неизвестны. Скорее всего, математики, занимающиеся этой самой проверкой, до сих пор не добрались до конца работы.

Статья Чжана, напротив, довольно проста. Более того, ее рецензенты из Annals of Mathematics — журнала, куда она была подана — заявили, что судя по всему работа верна. Главное, впрочем, даже не это — не исключено, что метод Чжана еще можно будет подправить, так что, возможно, значение k удастся уменьшить. Сам математик почти уверен, что до 1 дело не дойдет, но что можно «сбить» с 35 миллионов, он не сомневается.
Вместо заключения

Здесь, по хорошей традиции, автор должен попытаться ответить на вопрос пытливого читателя: «А зачем все это нужно?» В этот раз ответ будет в виде байки.

В 1994 году математик Томас Найсли вычислял константу Бруна. Делал он это грубой силой, то есть считая сумму дробей для пар чисел-близнецов. Когда дело дошло до пары (824 633 702 441, 824 633 702 443), в машинной выдаче обнаружились странности. В частности, суммы, посчитанные до добавления в сеть новых мощных машин на базе Pentium, отличались от цифр, полученных после. Проведя несколько испытаний, Найсли пришел к выводу, что в процессорах Intel имеется какой-то дефект в системе деления чисел с плавающей точкой. Несмотря на то, что неправильный результат в среднем выдавался в одном случае из 9 миллиардов, новость о наличии бага привела к тому, что в 1995 году корпорация Intel потратила 475 миллионов долларов на замену содержащих дефект процессоров. Такие дела.

I hate the Pumping Lemma (англ.)

Интересная запись: автор объясняет, почему он не любит лемму о накачке в регулярных языках (ее формальное утверждение включает в себя четыре чередующихся квантора, и это весьма тяжело понять многим студентам), и рассказывает о другом, более мощном и красивом способе доказательства нерегулярности формального языка.

В обсуждении на Hacker News кто-то справедливо заметил, что лемму о накачке следует объяснять, начиная с доказательства, потому что оно практически тривиально и очень интуитивно. Правда, даже если доказательство понятно, многим трудно переварить что-то вроде "∀ регулярного языка L ∃ n > 0, так что ∀ слова длиной больше n ∃ существует такая его разбивка, что.... (и еще внутри этого: ∀ степени i...)".

Но может быть, подумал я, это как раз является одной из причин, по которым лемма о накачке неизбежно оказывается частью обучения степени Computer Science? Для студента CS она оказывается обычно первым "заумным" с точки зрения логики утверждением, таким, которое требует нормального понимания чередующихся кванторов. А это понимание надо наработать в себе тем или иным образом, надо сквозь него пройти. Более сложный материал в более сложных курсах потом всегда будет принимать это понимание как данное.

Людям, вообще говоря, трудно даются цепочки чередующихся кванторов: утверждения типа "для каждого X сущестует такое Y, что для каждого Z..." Никто не понимает такие утверждения, встретив их впервые, сразу и интуитивно: надо сломать на них мозги, надо как следует продумать их. Даже цепочка длиной 2 уже трудна для неподготовленного человека; студенты-первокурсники часто путают ∀∃ с ∃∀. Многие, пройдя сквозь этот процесс тренировки, забывают о нем потом; цепочки длиной 2-3 кажутся им тривиальными и немедленно доступными любому.

Как раз недавно мне попался типичный пример - на том же форуме HN обсуждали запись в блоге программиста-самоучки (без высшего образования), о том, как понять нотацию O() без математики. Запись, по-моему, была не очень удачная, но меня поразил один комментарий: "да вообще-то это просто. Скажем, время работы O(n) означает, что есть такая константа..." и дальше словами выписано, что такое для функции быть O(n), и заканчивается так: "видите, хоть и математика, но очень просто!". Причем это было написано совершенно без иронии, автор комментария был искренне уверен, что выписанное словами утверждение с чередующимися кванторами будет совершенно прозрачным для любого программиста-самоучки без высшего образования.

Похожий процесс тренировки работы с кванторами происходит, мне кажется, у студентов-математиков (и других) во время первого строгого курса анализа, когда они встречаются с доказательствами с эпсилонами-дельтами. В западных университетах, если я правильно понимаю, "настоящие" математические предметы обычно начинаются со строгого матанализа, и часто одновременно линейной алгебры, а абстрактная алгебра остается на потом. При этом, вообще говоря, необязательно это устраивать именно так: почему бы не начать с линейной алгебры и абстрактной алгебры, скажем, тем более, что студенты обычно уже учили анализ в нестрогом виде, как "calculus", в последних классах школы или в начальных курсах колледжа? Почему не отложить строгий матанализ на после абстрактной алгебры и общей топологии? Может быть, как раз потому, что эпсилоны-дельты, как ни ненавидят их многие студенты, натаскивают их и доводят до того уровня автоматизма в понимании чередующихся кванторов, без которого им намного тяжелее давались бы эти другие предметы. Возможно, они, эпсилоны-дельты, играют таким образом более важную педагогическую роль, чем собственно строгое объяснение понятий пределов, непрерывности и производной.

I hate the Pumping Lemma (англ.)

Утверждение в запрещенном миноре. Математики заявили о доказательстве гипотезы Роты
В середине августа 2013 года трое математиков — Джоф Уиттл, Джим Джилин и Бера Гегардз — объявили, что им удалось доказать гипотезу Роты. Эта гипотеза, сформулированная Жан-Карло Ротой в 1970-м году, относится к матроидам — объектам, крайне популярным в комбинаторике и геометрии. Работа математиков еще не опубликована, однако у специалистов, похоже, нет сомнений в том, что гипотеза доказана.
«Мы больше не в Матрице»

Сам термин «матроид» возник в работе «Абстрактные свойства линейной зависимости» (.pdf) Хасслера Уитни в 1935 году. Мы начнем с абстрактного определения этого объекта, а затем покажем, как он естественным образом возникает в самых разных задачах — от геометрии до программирования.

Итак, пусть дано некоторое конечное множество E. Оно называется носителем матроида. Среди всех подмножеств этого множества выделен некоторый набор подмножеств I, удовлетворяющий трем условиям:

1) Набор содержит пустое множество.

2) Если набор содержит подмножество H, то он содержит и все подмножества H.

3) Если H и K — два разных подмножества E, содержащиеся в I, причем в H элементов меньше, чем в K, то в K можно выбрать такой элемент a, что, добавив его к H, мы получим подмножество H', также лежащее в I.

Подмножества, попавшие в набор I, называются независимыми. В свою очередь, не попавшие — зависимыми.

Для того чтобы это абстрактное определение было проще усвоить, приведем несколько примеров. Рассмотрим носитель E, состоящий из одного элемента {x}. Множество всех подмножеств такого носителя состоит ровно из двух подмножеств — пустое подмножество и подмножество, состоящее из {x}. Учитывая, что по первому условию в определении матроида пустое множество должно всегда попадать в набор I, вариантов этого набора остается ровно два — пустое множество и пустое подмножество вместе со всем множеством. Для обоих наборов остальные свойства из определения матроида, очевидным образом, выполняются.

Если в носителе E два элемента {x, y}, то, с учетом пустого подмножества, у такого множества ровно 4 подмножества. Всего можно придумать 15 наборов подмножеств. Матроидов будет много меньше. Действительно, возьмем подмножество с максимальным числом элементов, входящее в матроид. Если в таком множестве 0 элементов, то матроид состоит только из пустого множества; если это число равно 1, то матроидов три — содержащие в довесок к пустому множеству либо {x}, либо {y}, либо оба из этих подмножеств; если же число равно двум, то по третьему пункту в определении такой матроид единственный и содержит все подмножества E. То есть всего мы получили пять матроидов на двуэлементном носителе.

Пусть теперь E состоит из n элементов. Универсальным матроидом Uk, n называется матроид, состоящий из всех подмножеств множества E, в которых не более k элементов. Построенные выше для одноэлементного носителя матроиды являются универсальными и обозначаются U0, 1 и U1, 1. Из пяти матроидов для двухэлементного множества три являются универсальными — это U0, 2, U1, 2 и U2, 2.

.....

Кто бы объяснил, что такое матроид, на бытовом уровне, чтобы его можно было использовать не в диссертации, а дома. Например, понятие вероятности вполне содержательно и в диссертации, и в жизни. А матроид?

Поначалу задача показалась трудной, но потом понял, что ошибся.

Поначалу задача показалась трудной, но потом понял, что ошибся.