Придумать можно много. Но зачем?Практически этот вопрос для шахмат смысла не имеет. Ибо вопрос введения лишнего термина вместо устоявшихся.
Площадь в первоначальном смысле - понятно, что такое: например, Красная площадь. Ее можно описать и геометрически, и функционально. Это будут сопряженные, двойственные описания. Спрашивается, как описать площадь (уже абстрактную) на шахматной доске не геометрически, но функционально? Хоть это не совсем то, что я спрашивал выше, но тем не менее.
Точка бегает по вращающемуся радиусу в окружности.
По какой траектории будет двигаться точка в круге, если скорость ее движения по траектории равна скорости движения конца радиуса?
Точка будет двигаться по двум диаметрально противоположным малым окружностям поочередно (не восьмерка).
Участок траектории от центра круга к концу диаметра соответствует частному случаю задачи лев и человек.
Изучая территорию Московского Кремля, я обнаружил две меры площади - вполне естественные, но почему-то нигде не описанные и никак не называемые. Первая с высокой точностью равна 1/7 гектара, а вторая составляет порядка 3/4 от первой. Догадайтесь, что это за меры такие.
Пусть буду не прав, но это должно ОТЛИЧНО (на 5) вписываться в ранееупомянутый 5-вершинный граф (заглянул на Шахматы как модель буквально, проверить, ок ...) Вот и верь после этого (людям), что вся наша жизнь - игра случая. З павагай
В некотором городе для любых 3-ёх перекрёстков А, В, С есть путь, ведущий из А в В и не проходящий через С.
Доказать, что с любого перекрёстка на любой другой ведут по крайней мере 2 непересекающихся пути(в городе не меньше 3-ёх перекрёстков)
А как? Я доказывал(очень долго возился) по индукции. В книжке тоже(и, видимо, такое же решение) Но конечно хотелось бы прямое д-во. И в связи с это задачей возникает такой - общий и неопределённый вопрос - как узнать по графу, что удаление некоторого звена делает его несвязным? Понятно, что никаких локальных признаков нет, но может есть какой-то инвариант, который можно посчитать?
И в связи с это задачей возникает такой - общий и неопределённый вопрос - как узнать по графу, что удаление некоторого звена делает его несвязным?
Удаление звена не эквивалентно исходной задаче.
Можно сотворить граф, где удаление любого звена не делает его несвязным, но двух непересекающихся путей в общем случае нет.
( Естественно, пересечение в исходных вершинах путей не считается. )
Как доказать исходное без индукции пока не знаю. Надо долго думать
Значится, имеем граф, вершины которого - перекрестки. От противного: пусть есть вершины А и В такие, что нет двух непересекающихся путей из одной в другую. Если А и В - соседи, то все ясно (тогда удаление ребра из А в В разобьет граф на 2 компоненты). Если нет, зафиксируем какой-нибудь путь без петель из А в В, и рассмотрим последнюю вершину на этом пути (назовем ее С), до которой можно дойти из А по двум непересекающимся путям. Эта вершина будет т.н. существенной точкой (pivotal site) - если ее удалить, то из А в В совсем нельзя будет попасть. А это входит в противоречие с условием - получится, что из А в В можно попасть только через С.
Не понял. Откуда следует, что какой-нибудь другой путь(не наш зафиксированный) должен проходить через С?
Пусть есть какой-то другой путь из А в В, который не использует С. Пусть он отходит от нашего первоначального пути в точке С1 (до С), и сливается с оным в точке С2 (после С). Докажем, что тогда есть 2 непересекающихся пути из А в С2. (Тут надо картинку рисовать.) Действительно, один идет от А до С1 по первоначальному пути, а далее обходит С. Другой идет до С по пути, не совпадающему с первоначальным (который существует по предположению), а далее идет от С до С2 по первоначальному.
Но каждый, кто занимался теорией перколяции, знает (не задумываясь о доказательствах) что если есть путь но нет двух непересекающихся, то тогда есть существенная точка.
А почему pivotal site не может совпадать с исходной точкой А?
по определению
В смысле, здесь имеется в виду, что в понятие путь между А и В сами А и В не включены (т.е., мы рассматриваем как путь только промежуточные вершины; лучше вообще, наверное, тогда уж говорить о путях по ребрам).
Но каждый, кто занимался теорией перколяции, знает (не задумываясь о доказательствах) что если есть путь но нет двух непересекающихся, то тогда есть существенная точка.
Я тут искал квадратуру круга. вдруг какая теорема типа Эйлера возникнет. Или четность какая и методом от противного..
В некотором городе для любых 3-ёх перекрёстков А, В, С есть путь, ведущий из А в В и не проходящий через С.
Доказать, что с любого перекрёстка на любой другой ведут по крайней мере 2 непересекающихся пути(в городе не меньше 3-ёх перекрёстков)
Я нарисовала ету фигню: два пути и не пересекаются. Как доказать -черт знает
.
Нарисовала так: две линии под прямым углом пересекаются, другая пересекает их под углом допусти 45 градусов и тянем отрезки от одной линии к другой- один от А к Б, но и перескеает С, другой от С к Б, по пути пересекает А . Там можно сколько хошь этих отрезков нарисовать. А перекрестков у меня 6 вышло
А почему pivotal site не может совпадать с исходной точкой А?
по определению
В смысле, здесь имеется в виду, что в понятие путь между А и В сами А и В не включены (т.е., мы рассматриваем как путь только промежуточные вершины; лучше вообще, наверное, тогда уж говорить о путях по ребрам).
Нет, это есть последняя точка, до которой можно дойти из А по непересекающимся путям на пути в В, и мы хотим доказать что эта точка и есть В. Но пока мы этого не доказали, этой точкой может быть и А, т.е. ничего нового мы не получили.
Там можно сколько хошь этих отрезков нарисовать. А перекрестков у меня 6 вышло
А можете привести реальный пример на эту теорему, причем минималистский? А именно: улиц всего 5, а перекрестков ровно 7, и для любых 3 перекрестков А, В и С существует путь из А в В через С и путь из А в В в обход С. Пример ВПОЛНЕ РЕАЛЬНЫЙ.
Нет, это есть последняя точка, до которой можно дойти из А по непересекающимся путям на пути в В, и мы хотим доказать что эта точка и есть В. Но пока мы этого не доказали, этой точкой может быть и А, т.е. ничего нового мы не получили.
Да, сформулировал нечетко. Если на пути из А в В ни в одну из точек не ведет 2 различных пути из А, то тогда pivotal будет первая же точка (после А) на этом пути (доказательство как в #196, только еще проще
А можете привести реальный пример на эту теорему, причем минималистский? А именно: улиц всего 5, а перекрестков ровно 7, и для любых 3 перекрестков А, В и С существует путь из А в В через С и путь из А в В в обход С. Пример ВПОЛНЕ РЕАЛЬНЫЙ.
Дык у меня так и вышло- 5 улиц, 6 перекрестков, сформированных двумя параллельными отрезками и один перекресток- сформированный самими тремя улицами. Там треугольники получаются, можно отовсюду в разные улицы попасть
. Ща я в фотошопе нарисую и прикреплю, так наглядней будет...
Дык у меня так и вышло- 5 улиц, 6 перекрестков, сформированных двумя параллельными отрезками и один перекресток- сформированный самими тремя улицами. Там треугольники получаются, можно отовсюду в разные улицы попасть . Ща я в фотошопе нарисую и прикреплю, так наглядней будет...
Давайте, прикрепляйте. Но мне хотелось бы увидеть РЕАЛЬНЫЙ пример - прямо из жизни.
Пусть мы уже доказали теорему для всех точек, находящихся от А на расстоянии не большем k.(т е для всех таких точек есть по краней мере 2 пути в А, не пересекающиеся между собой)
Прежде всего докажем, что для любых точек В и С, находящихся от А на расстоянии k есть пути в А, не пересекающиеся между собой. В самом деле, из В есть 2 пути в А, пересекающиеся только в В и А. Рассмотрим какой-нибудь путь из С в А. Если он не пересекается с предыдущими, то всё хорошо. Если пересекается, идём по нему до 1-ой точки пересечения, а затем по пути из В в А начиная из точки пересечения. Этот путь из C в А очевидно не пересекается со 2-м.
Теперь, для точки D, находящеся на расстоянии k+1 до A есть точка B, находящаяся на расстоянии k от А и 1 от D . И существует путь из D в А, не проходящий через В. Возьмём 1-ую точку на последнем, находящуюся на расстоянии k от А. Назовём её С. Как доказано выше, из С и В есть непересекающиеся пути в А. Обьединяя их соответственно с отрезком пути из D в С и путём из D в В, получаем нужные пути.
