Действительно ли в математике все определяется и доказывается?
Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке — причем не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знаний. И с этой исключительностью согласны и нематематики (так что величие математиков, к их удовольствию, осознается не только ими самими, но и окружающими). В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет по крайней мере следующие три присущие только ей черты. Во-первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике — опять-таки в отличие от других наук — все строго доказывается из аксиом. В-третьих, математика непонятна в такой вызывающей уважительный трепет степени, какая недоступна ни одной другой пауке. Репетиторов по математике едва ли не больше, чем по всем другим школьным предметам, вместе взятым, а уж о современной «высшей» математике и говорить нечего: достаточно раскрыть любую монографию, а тем более журнальную статью. (Заметим, что обычно не задумываются, что третья из перечисленных черт вступает в известное противоречие с первыми двумя.)
Когда что-то слишком общеизвестно, закрадывается подозрение, не является ли это «что-то» мифом (ведь общественное мнение обладает автономным механизмом самоподдержания). Постараемся непредвзятым, по возможности, образом критически рассмотреть три только что названные общеизвестные черты математики.
Тогда, во-первых, обнаруживаем, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первый-то портной у кого же учился?» — справедливо замечает г-жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С. И. Шатуновский, приводя определение все новых и новых понятий, в ответ на повторные вопросы «А что такое то-то и то-то» наконец не выдерживал и сам спрашивал: «А что такое „что такое?"»
Давайте задумаемся об устройстве толкового словаря какого-либо языка — русского, английского и т. д. В нем одни слова определяются через другие, другие через третьи и т. п. Но поскольку слов в языке конечное число, то неизбежно возникает круг (т. е. ситуация, в которой слово определяется в конечном счете через само себя 1). Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без объяснений. В некоторых словарях так и делают 2. Так же, разумеется, обстоит дело и с понятиями математики. А именно, если только не допускать порочного круга, некоторые понятия должны остаться без определения. Спрашивается, как же могут быть усвоены эти понятия. Ответ: из непосредственного наблюдения, из опыта, из интуиции. Нет нужды напоминать, что формирование общих, абстрактных понятий в мозгу человека — сложный процесс, принадлежащий более психологии, нежели логике. Эти понятия, усваиваемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно называть первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа и т. д.
При составлении перечня (вряд ли могущего быть вполне отчетливым) категорий (первичных понятий) математики следует соблюдать известную осторожность. Иначе число первичных понятий будет неоправданно велико в нарушение принципа «бритвы Оккама». В самом деле, возьмем, например, такое понятие, как шар. Шар, как известно, есть геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной определенной точки — центра шара. Однако вряд ли кто-нибудь впервые узнает, что такое шар, из этого определения. Надо полагать, что человек усваивает понятие шара в детстве — на примере мяча, глобуса, шарика из подшипника и бильярдного шара. Приведенное выше определение он узнает лишь на уроках в школе. При этом отнюдь не всегда удосуживаются объяснить учащемуся, что тот шар, который он знает с раннего детства, и тот шар, которому его обучили в школе, — это один и тот же шар. В результате и возникает представление, что «у них в физике и математике все наоборот. Может быть, у них и шар пойдет вверх» 3. Но следует ли на основании того, что понятие шара узнается из опыта, а не из словесной формулировки, считать понятие шара неопределяемым понятием, одной из категорий математики?
Казалось бы, дело обстоит яснее с более сложными и дальше отстоящими от опыта понятиями математики, такими, например, как понятие группы — уж понятие-то группы никак не отнесешь к числу первичных. Однако образование понятия группы в умах профессионалов-математиков, возможно, не слишком отличается от образования понятия шара в умах людей вообще (как математиков, так и нематематиков): как понятие шара возникает в результате многочисленного рассмотрения различных шаров, так и понятие группы возникло в результате рассмотрения конкретных групп — а уж потом это понятие закрепляется в словесной формулировке (здесь, разумеется, речь идет о возникновении понятия группы в коллективном опыте математиков, а не в опыте отдельного математика). Поэтому характерным признаком первичности (категориальности) понятия надлежит считать не способ его возникновения, а способ передачи сведений о нем при передаче системы знаний. Для разъяснения сказанного представим себе, что носитель некоторой системы знаний — в нашем случае знаний о математике — должен передать свои знания другому. Тогда он может сообщить другому, что такое шар или что такое группа, пользуясь словесным определением соответствующего понятия. И потому эти понятия — не категориальные. Если же нужно сообщить, что такое множество, что такое прямая или что такое натуральное число, то это делается по-другому. Говорится примерно так: все стулья в этой комнате составляют множество, и все страусы за Полярным кругом 4 составляют множество, и все иррациональные числа отрезка [0, 1] составляют множество; и далее, после приведения достаточного числа примеров, говорится: «все это множества» — и так возникает общее понятие множества. Аналогично: ноль 5, один, два, три, четыре, пять и т. д.— всё это натуральные числа, и так возникает общее понятие натурального числа. (Мы видим, что при объяснении понятия натурального числа явно или неявно присутствует слово «и т. д.» — и это иначе и не может быть для первичных понятий: указывается достаточное количество примеров, а дальше — «и т. д.».)
Итак, первый из мифов о математике — «в математике все определено» — оказывается разрушенным. Перейдем ко второму: «В математике все доказывается из аксиом». Чтобы убедиться, что это не так и, таким образом, разрушить и этот миф, достаточно открыть классический школьный учебник геометрии А. П. Киселева, или какой-нибудь втузовский учебник математического анализа, или университетский учебник теории чисел. Мы встречаем в этих учебниках доказываемые теоремы, но вряд ли (за исключением аксиомы о параллельных — она же пятый постулат Евклида) найдем какие-либо аксиомы. Дело обстоит несколько загадочным образом. В самом деле, если нет аксиом, то на основе чего происходят доказательства, скажем теорем теории чисел? По-видимому, на основе здравого смысла и неких представлений об основных свойствах натуральных чисел, каковые представления, хотя и одинаковые у всех людей, не сформулированы явно в виде списка аксиом. (Насколько их можно сформулировать — тема следующего размышления.)
Необходима честная констатация того наблюдения, что в реальной математике сплошь и рядом встречаются теоремы, доказываемые без опоры на какие бы то ни было аксиомы. Сложнее дело обстоит с третьей отмеченной нами чертой математики — ее непонятностью. Проще всего сказать, что это миф, по если относительно первых двух черт достаточно было спросить самое математику — спросить и получить отрицательный ответ,— то здесь, конечно, обращение к математике с вопросом, понятна ли она, неуместно. А опрос общественного мнения, безусловно, выставит математику на призовое место по уровню непонятности. Выяснение причин этого явления — которое следует признать настолько объективным, насколько вообще могут быть объективными явления социальной психологии — тема отдельного большого исследования, на которое мы не замахиваемся. Некоторым комментариям на эту тему будет посвящено наше последнее размышление.

....приведенная только что формулировка действительно является определением натурального числа.

Отвлечемся от того, что мы, скорее всего, живем в неевклидовом пространстве, да и вообще живем в пространстве не математическом, а физическом, а это разные вещи.

То есть первичным моментом рассуждений нужно устанавливать возможности существования разных взглядов, а не одну, Бурбаковскую.
И рассматривать их различия, и анализировать их возможности.

О ЧИСЛАХ И ЧИСЛОВОМ ПОЛЕ

Определения числового поля разнообразны, отличаются друг от друга. Но предназначены доносить до учащегося одну суть. ЧИСЛОВОЕ ПОЛЕ - поле, элементами которого являются числа. То есть поле состоит из чисел. Как в этом разобраться? Числа составляют поле, а поле состоит из чисел. Может ли вообще такое быть?

Может ли из чисел что-либо состоять? Давайте рассмотрим свойства числа, и в этом нам поможет первый закон логики, число - это выражение количества, а первый закон логики гласит:
«Иметь не одно значение, значит не иметь не одного значения. Если же у слов нет значений, тогда утрачена возможность рассуждать друг с другом, а в действительности и с самим собой, ибо невозможно ничего мыслить если не мыслить что-нибудь одно.»

То есть, если вы один раз уже сознались, определились, что число - это выражение количества, то будьте добры это помнить, поскольку в рамках законов логики никаких других свойств у числа нет. Кроме количества, число вообще ничего не выражает и выражать не может.
Длина числа какова? Ширина числа, высота? Можем ли мы по числу повернуть направо? Не можем. А если мы слепим два числа? Слепим много чисел?
У числа нет длины. У числа нет объема, ширины, высоты, вкуса цвета и запаха.

Если мы припишем числу какие-либо несуществующие свойства, это будет обман, нарушение законов логики, а именно нарушение 1 закона логики - закона тождества.

Можно ли применять такой метод в науке? Нельзя. Те построения, в которых нарушаются законы логики, не могут являться наукой.
Какова практика вопроса: У нас есть предметы (например, три яблока) и мы можем вводить знаки, которые будут выражать количество этих предметов. Но знаки, это условные обозначения. И самих чисел в природе вообще не существует.

Так как же мы можем получить из чисел числовое поле и вообще возможно ли получить поле из чисел? Возьмем число, например, восемь и повернем по числу восемь направо.

Подобная операция невозможна. А если, например, изогнуть пруток металла и получить подобие цифры восемь? Но из прутка металла - число восемь не появится. Пруток остается прутком, а не числом и операция поворота по числу по прежнему невозможна.
Так как повернуть по числу восемь направо? Число не имеет формы объема и расположено нигде. Как повернуть внутри нигде направо?
Может это растолковано в каком-нибудь учебнике? Может, есть какой-нибудь научный труд на эту тему? Увы. Бумаги перемарано много, но конкретных ответов на эти вопросы нет.

Математика стесняется сознаться, где она взяла числовое поле.
На самом деле это самое числовое поле никакое вовсе не числовое, а самое обычное - привлечено, заимствовано из действительного мира. И в действительном мире оно называлось пространство.
Самое обычное пространство, которое является не числовым, а размерным и показатели пространства являются величинами (метрами линейными, квадратными и кубическими).
А любое число применительно к пространству, это выражение количества этих самых метров (равно как и любой величины, не важно пространственной или вторичной).

Пространство - реальный физический объект. И этот объект действительно есть и имеет реальные физические свойства. Например, такое свойство как протяженность.
И в рамках этого объекта мы действительно можем что-либо размещать, и повернуть, например, направо. И если исходить из логики, то есть объект (пространство) и возможно создание различных абстрактных моделей этого самого объекта.

Но математики об этом вроде как не знают (или очень стесняются), а студентам об этом знать вообще не положено. Пусть думают, что поле состоит из чисел, из которых вообще состоять ничего не может. И это есть конкретное нарушение логики, когда реальный объект - пространство или модель пространства - выдают за совокупность того, из чего оно не состоит и состоять не может, выдают за совокупность чисел. А поскольку пространство и его модели являются совокупностью величин (метров, квадратных кубических, линейных), то даже произносить словосочетания типа числовое поле – безграмотно.

Кроме того, поскольку изначально речь идет о модели, то встает вопрос «модель чего»?
Модель чего-то конкретного? Или модель неведомой хрени?
В рамках научного метода, создание любой модели подразумевает наличие исходного объекта, модель которого мы создаем. Апельсин – модель апельсина. Пространство – модель пространства. И в рамках научного метода понятие модель внятно определено.
Модель - это абстрактное или вещественное отображение объектов или процессов.

То есть наличие исходного объекта изначально предусмотрено. И врать или стесняться, что самого объекта нет, не было, это всё равно что уподобляться пластмассовой девочке. Это не научно.
Лженаука процветает. Группа безграмотных математиков вытесняет научный метод из системы образования.
То есть фрики, шарлатаны, безграмотные чуды диктуют политику в современной науке и ради своих мелких интересов (ради кучки несостоятельных теорий) ломают, изводят на нет всё то, что было создано до них, уничтожают накопленные цивилизацией знания. Изводят труды величайших математиков. Но это ещё не всё.
Второй важный вопрос, по теме числовое поле, это вопрос о том, что может располагаться в пространстве. И здесь мы подходим ко второму нарушению законов логики.

Поясним подробнее: В рамках законов логики любое А и любое В -разные понятия. И это действительно применительно ко всему. Например, применительно к точкам и числам.
Число и точка - это разные понятия. Число - это выражение количества, а точка - это абстрактный, не имеющий размеров, объект в пространстве (либо в модели пространства), местоположение которого может быть обозначено практически, либо задано координатами. Точка не имеет массы, направленности и каких-либо других геометрических или физических характеристик.
Мы можем задать, обозначить в любом месте пространства точку, но точка не является и не может являться числом. Потому что А и В - разные понятия.

И есть первый закон логики, который гласит:
«Иметь не одно значение, значит не иметь не одного значения. Если же у слов нет значений, тогда утрачена возможность рассуждать друг с другом, а в действительности и с самим собой, ибо невозможно ничего мыслить если не мыслить что-нибудь одно».
И выдавать точки одновременно за числа это нарушение первого закона логики.

Кроме того, разместить число в пространстве вообще невозможно.
В пространстве размещаются объекты, а не числа.
Числа вообще разместить где-либо невозможно. Числами лишь можно как знаками обозначить точки. А обозначить посредством чего-либо и состоять из чего-либо - это разные понятия.
То есть концепция числового поля, в том виде в котором она практикуется в системе образования – это безграмотность, лженаука, фричество.

Безграмотные чуды пишут слабоумную чушь в учебниках, нарушая законы логики и научный метод. И это есть полное мракобесие. Ну и казалось бы, да какая разница, из чего состоит это поле.
Пусть оно уже из чисел состоит, но дело в том, что эта маленькая безграмотность порождает кучу другой безграмотности и откровенной лженауки. Есть так называемое «правило портного», которое известно каждому нормальному учёному: «Если первая пуговица на рубашке застёгнута неправильно, то все остальные пуговицы тоже застёгнуты неправильно».

(по материалам В. Катющика)

Не кажется ли вам, Владимирович, что инициатива в партии постепенно переходит к ув.впитеру?

ЧИСЛОВОЕ ПОЛЕ - поле, элементами которого являются числа. То есть поле состоит из чисел. Как в этом разобраться? Числа составляют поле, а поле состоит из чисел. Может ли вообще такое быть?
Может ли из чисел что-либо состоять?

Строгого понятия "поле", или определения "поле", в вашей математике нет вообще.

потому что если бы люди жили на луне то заслоняли бы для нас магический и волшебный свет ее своими домами и тучными пастбищами. Без дождика люди не
могут жить, а дождь идет вниз на землю, а не вверх на луну.

Как Вы могли видеть на солнце пятны, если на солнце нельзя глядеть простыми человеческими глазами, и для чего на нем пятны, если и без них можно
обойтиться?

Вот что мой грошовый ум открыл. Я открыл, что наша великая огненная лучистая хламида солнце раз в год рано утром занимательно и живописно играет разноцветными цветами и производит своим чудным мерцанием игривое впечатление.

wpiter wrote: Есть, просто Вы не в курсе, как всегда

И еще раз для тупых - математическое поле и то что называют полем или физики или дилетанты - это разные вещи
Запомните это и больше не отвлекайте меня этой бней

Goto school!

ага, задолбим, что поле, - это полугруппа, а полугруппа, это множество, а множество, - это набор, а набор, это абстракция...

все четко у вас

Алгебраическое поле вовсе не то понятие поля, которое люди используют в физике.

Уточню: алгебраическое поле не всегда соответствует физическим полям.

Крыс wrote: Нет, нет, ув. Крыс. Я сказал именно так - вовсе не то.

Потому что физическое поле в каждой точке есть физическая величина, которая имеет некую физическую размерность
А алгебраическое поле по определению допускает операции умножения и деления над элементами, результат которых также должен принадлежать полю

Сами понимаете, деление будет результатом безразмерным, а значит заведомо не принадлежащим полю.

— Дикари — вот мы кто, — продолжал Морран, нервно расхаживая перед Ответчиком. — Представте себе бушмена, требующего у физика, чтобы тот объяснил, почему нельзя пустить стрелу в Солнце. Ученый может объяснить это только своими терминами. Как иначе?
— Ученый и пытаться не станет, едва слышно проговорил Лингман. — Он сразу поймет тщетность объяснения.
— Или вот как вы разъясните дикарю вращение Земли вокруг собственной оси, не погрешив научной точностью? (с)

Потому что физическое поле в каждой точке есть физическая величина, которая имеет некую физическую размерность
А алгебраическое поле по определению допускает операции умножения и деления над элементами, результат которых также должен принадлежать полю

Сами понимаете, деление будет результатом безразмерным, а значит заведомо не принадлежащим полю.

Как добавлять картинки
1. Вариант - добавить сохраненную картинку с компьютера на форум

Не работает в открытой форме ответа внизу, а также доступно только зарегистрированным участникам

Нажать кнопку Add file. Выбрать файл. Так он загрузится на сервер, но еще не в пост.
Нажать Insert. Если картинка загрузилась правильно, то в посте появится ее имя с тэгом attachment

Вопрос, - а где эта кнопочка "Add file"?

Не работает в открытой форме ответа внизу

много математики в таких пространствах, а впитер не знает чего выдумывает взамен этих пространств, не может донести свои потуги до нас дабы мы поняли их непротиворечиво и осмысленно.

у впитера совершенно доморощенное и мифическое мышление насчет математики, тем более физики ; точка, пространство из точек это абстракции отделимости и различимости, много математики в таких пространствах, а впитер не знает чего выдумывает взамен этих пространств, не может донести свои потуги до нас дабы мы поняли их непротиворечиво и осмысленно. В чорном кругу много прижатых друг к другу безразмерных, то бишь улетучивающихся, точек, чьи топология и алгебра давно исследованы и описаны, хотя впитеру это трудно понять, поскольку чутья у него к абстрактному мышлению не хфатает; он любит топорные представления-мифы, ибо передать их другим не получается у него

АГА, значит сначала есть топологическое пространство!!!