На самом деле мало кто пользуется отрицанием даже обобщённой гипотезы континуума, не приходилось.
В wiki написано что такие люди как Гёдель и Коэн были против гипотезы континуума:
Gdel believed that CH is false and that his proof that CH is consistent only shows that the Zermelo–Fraenkel axioms do not adequately describe the universe of sets. Gdel was a platonist and therefore had no problems with asserting the truth and falsehood of statements independent of their provability. Cohen, though a formalist, also tended towards rejecting CH.
Оказывается, там есть интересная связь с вероятностью:
In 1986, Chris Freiling presented an argument against CH by showing that the negation of CH is equivalent to Freiling's axiom of symmetry, a statement about probabilities. Freiling believes this axiom is intuitively true but others have disagreed.
Интересно, наш друг wpiter как-будто остепенилсо, что ли, думает наверное . К чему приспичило покоробить и тормознуть скорость света, очень как-то случайным выглядит, упавшим с неба?
Просто «забили мозгами» вы меня дружненько, перевариваю все, что мне тут наговорили.
Математика всегда черпала идеи у практической деятельности, wpiter, в особенности прикладная математика, которая очень полезна во всяких применениях. Однако не следует понимать это слишком буквально - в новых областях исследований полезней оказалась именно абстрактная математика типа Бурбаки. Почему так получилось мы, по большому счёту, не знаем. Вот щас, к примеру, как-будто нету заготовленной абстрактной математики к продвижению дальше в изучении элементарных частиц и математику эту пытаются состряпать с бодуна, сходу, так сказать, работающие в теории суперструн/М-теории.
Вы как-будто недолюбливаете математику, наверное по причине её трудности
и потому стараетесь протолкнуть модели с простейшей арифметикой. Скорее всего, так не пойдёт - чем дальше и глубже прорубаем, тем абстрактнее и труднее становится математика. То, что могли увидеть глазами и услышать ушами, кончилось давно, съели и выпили. Теперь дело за необычным, неочевидным и потому простейшим моделям уготован кирдык
Gdel believed that CH is false and that his proof that CH is consistent only shows that the Zermelo–Fraenkel axioms do not adequately describe the universe of sets. Gdel was a platonist and therefore had no problems with asserting the truth and falsehood of statements independent of their provability. Cohen, though a formalist, also tended towards rejecting CH
Быть платонистом можно в области конечного и счётного, однако вряд ли дальше... СН безусловно есть прыжок к неясно насколько бОльшей мощности, чем счётной. Однако не менее неясно и как обеспечить плавное наращивание мощности. Следующую за счётной мощность, _1 (алеф_один для тех, кто не в курсе) определяют на удивление тавтологично и неинформативно: это мощность множества ВСЕХ счётных прибавлений +1 (или ординалов, порядковых чисел)
. Да и вообще, _1 как самая меньшая несчётная мощность должна существовать вслед за возможностью вполне упорядочить любые множества с помощью Аксиомы Выбора. О неразрешимости/независимости СН можно было догадаться уже потому, что нет ничего общего между определениями _1 и континуума как множества подмножеств 2^_0 счётных натуральных чисел. Совершенно неясно как найти естественный, подобный операции степени/подмножств 2^_0 способ генерации первой несчётной мощности _1 (не забываем, что абсолютно минимальное прибавление +1 уже бессильно). В принципе _1 можно было бы получить любым иным способом вдобавок к 2^_0. Любой такой способ (если можно придумать) будет, скорее всего, не лучше и не хуже, чем 2^_0. Как раз потому СН и оказывается ... неразрешимой!
Кстати, о платонизме в твердокаменной области конечного/счётного: чем СН хуже недоказуемых арифметических предложений Гёделя, которые нам представляются очевидно верными? Зачем не строят арифметик с отрицаниями Гёделевых предложений, а с отрицанием СН можно (строить теории множеств)? В единственной и неустранимой реальности Гегеля (которой не могло не быть, другой она быть не могла, другой такой не могло и не может быть), бурлящей вездесущими и тотальными переходами/инфинитезимальными смещениями в другое/противоположное, таких поблажек не бывает
Быть платонистом можно в области конечного и счётного, однако вряд ли дальше...
Быть платонистом для математика полезно. Удобнее работать, если считать, что все эти штуки где-то реально существуют
Хайдук написал(а):
О неразрешимости/независимости СН можно было догадаться уже потому, что нет ничего общего между определениями _1 и континуума как множества подмножеств 2^_0 счётных натуральных чисел.
Ну, все-таки, вроде просто доказать, что _1 2^{_0}
Математика всегда черпала идеи у практической деятельности, wpiter, в особенности прикладная математика, которая очень полезна во всяких применениях. Однако не следует понимать это слишком буквально - в новых областях исследований полезней оказалась именно абстрактная математика типа Бурбаки. Почему так получилось мы, по большому счёту, не знаем. Вот щас, к примеру, как-будто нету заготовленной абстрактной математики, чтобы продвинулись дальше в изучении элементарных частиц и математику эту пытаются состряпать с бодуна, сходу, так сказать, работающие в области теории суперструн и М-теории.
Вы как-будто недолюбливаете математику, наверное по причине её трудности и потому стараетесь протолкнуть модели с простейшей арифметикой. Скорее всего, так не пойдёт - чем дальше и глубже прорубаем, тем абстрактнее и труднее становится математика. То, что могли увидеть глазами и услышать ушами, кончилось давно, съели и выпили. Теперь дело за необычным, неочевидным и потому простейшим моделям уготован кирдык
Знаете, то, что у меня все как то «простовато», это не дефект, а достоинство.
И прошу обратить внимание, что я ищу те же «запредельные» области науки, несколько в ином направлении.
Смотрите, как интересно получается, - все ищут в области усложнения математики,
а я, отправной точкой поставил непонятные пока нарушения в правилах построения математики, в ее основах. И пытаюсь найти правила изменения математики, так как я понимаю, что математика меняется, можно сказать, что это простая интуиция, и нет сложных соображений на сей счет, есть простые закономерности, но это пока простые, все идет к усложнению.
И я полагаю, что сложности в расчетах современных «Пионерских» теорий, М теории, супергравитация, и прочее, при фактической невозможности в ближайшие несколько столетий даже проверить эти теории, связаны не со сложностью ответа, а с неправильным фундаментом математики.
Он правилен, только в «нерелятивистском» случае.
Даже простой взгляд в прошлое, в то время, когда реальностью науки были поиски философского камня, говорит за то, что основная база науки обязательно изменится на протяжении веков, о каких же «суперструнах», в плане перспектив науки, можно вести речь?
Подход современных ученых, явно неверен!
непонятные пока нарушения в правилах построения математики, в ее основах. И пытаюсь найти правила изменения математики, так как я понимаю, что математика меняется... с неправильным фундаментом математики. Он правилен, только в «нерелятивистском» случае.
Что именно в этом фундаменте якобы неправильное? Что именно меняется со временем по-Вашему? И причем тут «нерелятивистский» случай? Оба релятивисткий и нерелятивистский случая вполне хорошо описываются уже наличной математикой, скорость света её никак не колышет, ибо она уже учла эту скорость.
Математика несомненно развивается, но очень редко выбрасывает на помойку старое, в заметном отличии от всех других наук. Подсвечивает в новом свете старые структуры, но каркас сохраняется, теоремы остаются навеки, изоморфизм, так сказать, со старым остаётся незыблемым. Я попросту не понимаю о каких изменениях ведёте речь
Это потому, что из-за вполне упорядочения аксиомой выбора (среди любых мощностей есть наименьшая, первая) мощности сравнимы. Без аксиомы выбора среди мощностей множеств царствует почти любой частичный порядок, значит бывают и несравнимые мощности, то бишь не имеет смысла спрашивать которая из них бОльше или меньше.
Serge_P написал(а):
Быть платонистом для математика полезно. Удобнее работать, если считать, что все эти штуки где-то реально существуют
К счастью, недоказуемость/независимость не отменяют платонизма/реального существования разных, хоть лишь тут и щас несовместимых моделей
Это потому, что из-за вполне упорядочения аксиомой выбора (среди любых мощностей есть наименьшая, первая) мощности сравнимы. Без аксиомы выбора среди мощностей множеств царствует почти любой частичный порядок, значит бывают и несравнимые мощности, то бишь не имеет смысла спрашивать которая из них бОльше или меньше.
Без аксиомы выбора мощности частично упорядочены, а с ней - линейно упорядочены. Т.е., даже без аксиомы выбора спрашивать такое можно, вот только ответа может не быть. Впрочем, в данном случае я все равно точно не помню, нужна ли аксиома выбора чтобы доказать что _1 2^{_0}, или даже просто чтобы доказать, что они сравнимы...
По мне и без аксиомы выбора (АВ) континуум сравним с и бОльше натуральных, а _1 2^{_0} имеет смысл лишь с АВ, поскольку алефы _0 и _1 определены лишь с ней, хотя реляцию незачем доказывать - следует из определений этих двух алефов.
Смотрите, как интересно получается, - все ищут в области усложнения математики,
Ну это как посмотреть
В известном смысле, все совсем наоборот: математические теории создаются, чтобы упростить вещи, а не усложнить. Известный пример: Архимед очень гордился своим результатом об отношении объемов шара и цилиндра (описанного вокруг этого шара). Он так этим гордился, что даже завещал выгравировать соответствующий рисунок на своей могиле; по этому рисунку Цицерон ее и отыскал, когда был квестором Сицилии. А теперь любой человек, знающий основы интегрального исчисления, может получить тот же результат за 2 минуты. Ну и как, это усложнение математики, или упрощение?
По мне и без аксиомы выбора (АВ) континуум сравним с и бОльше натуральных, а _1 2^{_0} имеет смысл лишь с АВ, поскольку алефы _0 и _1 определены лишь с ней, хотя реляцию незачем доказывать - следует из определений этих двух алефов.
вроде, _0 всегда определен однозначно (как мощность множества натуральных чисел), хоть с Аксиомой Выбора, хоть без нее.
И мне кажется, что рассуждения не вяжутся с АВ и неизмеримыми множествами действительных чисел
Не уверен, кстати, что значит x is not in f(y) в For every f in A, there exist x and y such that x is not in f(y) and y is not in f(x)? х НЕ принадлежит классу эквивалентности f(y), то бишь множеству Z такому, что для z из Z f(z) = f(y)?
В ходе исследований с использованием сверхточных инструментов новейшего поколения под сомнение поставлена постоянная величина скорости света и, как следствие, теория относительности Альберта Эйнштейна.
Проведенный известным австралийским астрофизиком Джоном Уэббом и его учениками анализ прохождения света удаленных галактик через образованные соединениями металлов космические облака показал, что считающаяся в современной науке константа - число альфа - не является таковой.
Она может быть больше или меньше в зависимости от того, из какой точки пространства производится ее исчисление.
Как известно, постоянная тонкой структуры (альфа) определяет электромагнитное взаимодействие и считается современной физикой неизменяемой и незыблемой, лежащей в основе научного понимания мироздания. Превращение константы альфа в переменную величину лишает современную науку еще одного казавшегося незыблемым положения - симметрии Лоренца, сообщает from-Ua.
Гласящая о том, что законы физики идентичны на всем пространстве Вселенной, симметрия Лоренца лежит в основе специальной теории относительности Эйнштейна и постулата о неизменности скорости света.
Сейчас эти краеугольные положения современной физики, включая постоянную величину скорости света, поставлены под сомнение.
Еще одно возможное следствие открытия Уэбба - подтверждение так называемой струнной теории мироздания, которая предполагает наличие параллельных миров.
Не уверен, кстати, что значит x is not in f(y) в For every f in A, there exist x and y such that x is not in f(y) and y is not in f(x)? х НЕ принадлежит классу эквивалентности f(y), то бишь множеству Z такому, что для z из Z f(z) = f(y)?
f - это функция из [0,1] в множество не более чем счетных подмножеств интервала [0,1]. Т.е., для любого фиксированного x, f(x) - это не просто одна точка, а некоторое не более чем счетное подмножество точек интервала [0,1]. Аксиома Фрейлинга говорит, что для любой такой функции f найдутся две точки x и y такие что xf(y) и yf(x).
A difficult argument against CH developed by W. Hugh Woodin has attracted considerable attention since the year 2000 (Woodin 2001a, 2001b).
Хью посылал мне слайды своей презентации по вопросу. Я мало-чего понял, obviously
, и все-же не думаю, что после стольких десятков лет можно выдвинуть убедительные платонические аргументы за или против. СН обычно принимают, потому что отсутствуют естественные способы (вроде степени множества, 2^M) построить её отрицания, без которых обычная математика как-будто обходится. Сплошной отрезок выглядит фиксированным, застывшим внутреннему взору и потому, наверное, кажется, что таким же должно быть и число/количество/мощность его точек. На самом деле мощность бесконечных и в особенности несчётных множеств скорее есть другая и независимая концепция, имеющая мало общего с числом/количеством элементов конечных множеств.
Serge_P написал(а):
если постулировать что существует хотя бы один кардинал строго между _0 и c, то из этого следует, что таковых бесконечно (счетно) много
Тем не менее континуум с НЕ может следовать непосредственно ЗА этой счётной последовательностью мощностей, как доказал ещё Кёниг век тому назад
. Вообще наш континуум не может быть предельной/сингулярной мощностью/кардиналом, а лишь регулярной таковой
Rings a bell, вроде было какое-то хитроумное доказательство, но не могу вспомнить on top of my head
А иначе ясно, что объединение некоторого числа дизъюнктных (непересекающихся) множеств равно или тому же их числу, или бОльшему из тех же множеств. Число множеств в нашем случае есть смехотворное 2 (два) и значит тягаццо с континуумом не может. Стало быть, бОльшее из этих двух множеств должно в точности равняццо континууму
