Хайдук wrote: Ну это лишь вопрос формы.
Движки используют сейчас 64-бит числа, в кои битовые матрицы такого размера как раз влазят.
Поэтому все ходы ладьи, допустим, помещаются в одно такое число.
Это просто некий паттерн, коий может быть совсем другим для других задач.

я хотел сказать, что комбинаторные операции со знаками вытянутой наугад за уши формальной системы не могут составить особого интереса, тем более математического; полезные формальные системы подгоняют под значимые интуитивно-содержательные области, в частности математические. Математика не началась с изучения знаков, не сводится к такому изучению, лишь изредка занимается таким изучением и значит халяве такой формальные системы должны быть благодарны

Ессно, надо иметь практическую цель и "подгонять"

шахматы (как и любая другая игра "за столом") суть формальная система без какой-либо содержательной интерпретации.

в то время как точная исходная формализация позволила Гёделю исследовать такие особые (мета)вопросы как полноту и непротиворечивость арифметики, путь им выдуманный (перекодировка формальной арифметики в ... саму себя ) отдаёт уникальным и как-будто не применяли (даже сам Гёдель) где-либо ещё. Всякие последующие доказательства независимости/недоказуемости отдельных аксиом (преимущественно о мощностях "больших" множеств) безусловно потребовали точной спецификации остальных аксиом и соответствующей мат. теории, но я полагаю, что рассуждения велись в обычном абстрактном, полуинтуитивном режиме, где (формальная по определению) нотация записи на бумаге или чёрной доске играет далеко не первую роль

Шахматы конечны. Огромны, но конечны. Поэтому вопросы полноты тут неуместны.
Кроме того они и не аксиоматическая система, а лишь набор формативных конструкций. Что можно и что нельзя. Этого мало.
Это всего лишь игра со своим множеством порождаемых траекторий.

Vladimirovich wrote:
Вот и сказала свое слово счетность всего: Шахматы конечны. Огромны, но конечны....
Мне более всего нравится то, что известное изречение (наша жизнь - игра), с учетом огромности, но конечности живого и неживого разнообразия, и, самое главное, с учетом возможного вымышленного разнообразия
всеми землянами
рационального и нерационального,
за все время существования Вселенной (а не Солнца, не жизни на Земле) - даже с учетом т.н. гипотетического- типа бесконечности натуральных чисел (и слагаемых гармонического ряда) в пределах, как говорится,
счетного
объективного
мысленного...

Слышал, что шахматы даже диссертацию помогли Щаранскому защитить ... по актуальным, жизненным вопросам ...

Короче, опять скажу, что как поэты говорили противоположное:
прямую придумали люди, Природа - мир кривизны, или
Я с детства не любил овал, я с летства угол рисовал, так и математики, философы и тем более политики придумали вопросы полноты или/неполноты, и прочая и прочая, только ради того, чтобы, как говаривал Черчилб, в случае очевидного невыполнимого решения доказать всем (убедить всех), что в данной ситуации именно так и надо было действовать.... З павагай к неверящим в конечность и дискретность всего
сущего и
существенного,
а также НЕ....

Vladimirovich wrote: верно, выглядит мало, но чем, кстати, аксиоматическая система должна отличаться от формативных конструкций? я не вижу принципиального отличия шахмат от вопросных систем, притом именно формальных таковых, поскольку шахматы видимо формальны в смысле, что не имеют смысла за пределами своих произвольных (таков любой знаковый синтаксис) правил-аксиом, то бишь.

хотя ничейные позиции обычно можно играть до бесконечности (потому и ничейные) и это, кстати, может потребовать строгого и нелёгкого доказательства для каждой конкретной ничейной позиции (!), пожалуй соглашусь, что шахматы скорее конечны, но вот не нахожу никаких особых их отличий от любой аксиоматической системы

Аксиоматическая система должна кроме "правил ходов", то бишь формативных конструкций, иметь
1. формативные критерии - как из соотношений-знаков можно получать новые соотношения.
Для шахмат - e2-e4 и e7-e5. Можем ли мы из этих знаков слепить новое? Нет.
2. правила-соотношения, изначальные аксиомы
Какие аксиомы у нас есть? e2-e4 ?. Нет.
3. плюс схемы - правила по которым можно строить соотношения-аксиомы.Последнее означает, что в любом знакосочетании мы можем заменить любую букву на любой терм и получится новое соотношение.
К шахматной нотации это также неприменимо, очевидно.

Поэтому шахматы есть никак не аксиоматическая система.

Хайдук wrote: Никакого нелегкого доказательства и не нужно. Ничейные позиции - все остальные кроме тех, в которых выигрывает одна из сторон, то есть объявляет мат. А матовые позиции строятся ретроспективно: сначала мат стоящий на доске после хода сильнейшей стороны, потом - все позиции с очередью хода слабейшей стороны, в которых сильнейшая неизбежно матует следующим ходом и т.д.

Vladimirovich wrote: безусловно формальные аксиоматические системы заточены на воспроизводство/"рассуждение" из аксиом всего того, что можно из них произвести; это значит, что в принципе УЖЕ заданы универсальные формальные правила и конструкции (буквы, термы и пр.) и остаётся постулировать сколько хотим произвольных аксиом построенных согласно этим правилам и конструкциям, даже шахматы должно заполучить таким путём, поскольку правила и конструкции универсальны и смогут эмулировать что угодно, если удачно составить и проинтерпретировать формальные аксиомы.

остаётся вопрос что такое (формальная) аксиома, как их собирают чисто формально из наличных уже (универсальных!) формальных конструкций даже БЕЗ какой-либо содержательной интерпретации?

Подгоняют под наши понятия о силлогистике. Тогда они становятся содержательными
Но поскольку формальные манипуляции до этого совершенно безукоризненны, то это дает веру и в идеальность всей математики.

а что такое аксиома с чисто формальной точки зрения, как её заполучить из букв, термов и пр.?

Ув.Хайдук, там сто страниц вообще то

Вот, специально для Вас, ув. Хайдук, попробую привести аналогию

class A {бла бла бла} это терм - знакосочетание первого рода
A a; это объект - знакосочетание второго рода - квантор существования терма A
a==b - утверждение об объекте - знакосочетание второго рода

A& a = b; - аксиома - мы постулируем это тождество
и т.д.
Вы же не хотите, чтобы мы рассмотрели весь компилятор с формальной точки зрения?
Это долго и нудно.

как-будто Александр изучал формальную мат. логику, интересно что та представляет собой БЕЗ каких-либо аксиом? про такую оболочку-инструмент для любых рассуждений/знаний (даже квантово-запутанных ) доказывали общезначимость, полноту (самим Гёделем, кстати, но совсем отличную от поздней его же неполноты наделённой уже некоторыми аксиомами арифметики); мне кажется, что чистая формальная мат. логика, хоть и скушная/праздная изнутри (нету конкретных "предметных" аксиом), должна представлять собой некий универсальный алгоритм наподобие машины Тьюринга и пр. Именно здеся иначе вполне формальные шахматы не дотягивают: они скорее НЕ универсальны, как заподозрил ув. Владимирович, ими нельзя закодировать всё, что угодно; а вот машина Тьюринга вполне может сплясать за мат. логику, поскольку последняя не может не быть лишь одной (!несмотря на свою видимую и якобы уникальную фундаментальность!) из бесчисленных форм идеи об универсальном алгоритме

выходит, что в пределах и на базе формальной мат. логики можем состряпывать сколь угодно и всяких аксиом, лишь бы НЕ противоречали друг другу, хотя последнего НЕ всегда можно доказать

Хайдук wrote: Есть исчисление высказываний; есть логики обычная, многозначные, не представляемые никакой конечной многозначной логикой...
См. Введение в математическую логику стр. 19–52 до теорий первого порядка

Хайдук wrote: Множество всех возможных знакосочетаний бесконечно. А значит могем

тут самоед или РР спрашивали про независимость АВ (аксиомы выбора) от разных моделей ТМ (теории множеств): а что будет, когда АВ набрела на "настоящую" ТМ и пр.? а то же самое будет, поелику модели сии это та же самая ТМ, где все аксиомы её справедливы и только АВ как приспичит; это как модель Пуанкаре геометрии Лобачевского на краю Евклидова (!) круга, а в дальнейшем нашли вполне Евклидовые искривлённые 2-поверхности в нашем 3-пространстве