Найти математическое ожидание площади проекции куба с ребром 1 на плоскость при изотропно распределенном случайном направлении проектирования.
Надо бы, наверное, все-таки выложить решение.
Тут все дело в том, что для выпуклых тел, отношение (мат.ожидание проекции)/(площадь поверхности) постоянно. Потому что,
- как известно, мат.ожидание суммы равно сумме мат.ожиданий;
- поверхность можно приблизить маленькими плоскими кусочками (для которых, как нетрудно увидеть, вышеуказанное отношение тоже постоянно),
- площадь проекции - это есть (сумма площадей проекций кусочков)/2,
и т.д., sapienti sat.
А раз оно постоянно, то достаточно посчитать его для какого-нибудь частного случая, где оно считается особенно удобным образом. Т.е., для шара. Таким образом, получим (мат.ожидание проекции)/(площадь поверхности)=1/4 (и значит ответ в задаче про куб - это 3/2).
тогда они упорядочены по возрастанию: a = b = c = d = e (или по убыванию).
Я не доказал, но проверил это на компьютере следующим образом. Сумму всех 5 чисел считаем за 100% и каждое число округляем до процентов, а затем перебираем все возможные наборы этих процентов. Всего получается 15 447 наборов, где a e, и столько же, где a e, плюс набор 20, 20, 20, 20, 20 % (единственный в своем роде). Ни одного неупорядоченного из них компьютер не обнаружил.
P.S. Забыл сказать, что обратное утверждение неверно.
Вспомнил, как на вступительном устном по математике спросили, можно ли устно вычислить за 5 минут произведение логарифм тангенса 75градусов * логарифм тангенса 60 градусов * ... *логарифм тангенса 30 градусов * логарифм тангенса 15 градусов. Ответил что вычислю.
(Ув. ГИ, а если в произведении вышеупомянутом числа менять от 89 .. до 1, то будет это авторской задачкой? )
З павагай и не только к вычисляющим быстро
Видимо задача не заинтересовала. Тогда попробуем другую задачку. У нас есть целые числа от 1 до N. Мы берем любую пару чисел a,b и заменяем ее на a+b+a*b. Так продолжаем пока не останется одно число. Что можно сказать об этом числе?
У нас есть целые числа от 1 до N. Мы берем любую пару чисел a,b и заменяем ее на a+b+a*b. Так продолжаем пока не останется одно число. Что можно сказать об этом числе?
Это число x(N) равно (N + 1)! - 1. Например, х(5) = 719. Самое главное - доказать, что конечный результат не зависит от выбора пары. Тогда можно суммировать каким-нибудь специальным образом, например: суммировать всякий раз первую пару и оставлять результат в начале. Получим рекуррентное уравнение x(N) = (N + 1)*x(N - 1) + N, которое WolframAlpha мгновенно решает.
Я потому заинтересовался этой задачей, что обдумываю сейчас как бы родственную задачу.
Пусть задано некоторое множество из N чисел. Его можно линейно упорядочить N! способами. Какой из этих способов является самым представительным с точки зрения самого множества? И что значит представительным? Часто упорядочивают по возрастанию или убыванию чисел. Но не всегда: так, группы аксиом евклидовой геометрии упорядочены Гильбертом каким-то, думается, неслучайным способом, но не по возрастанию или убыванию числа аксиом в группах. Насколько это оправданно? Может, нужно максимизировать или минимизировать какую-нибудь энтропию или что-то еще?
Недавно обнаружилась задача, у нее оказалось 3 решения
Есть тетраэдр ABCD,у него все плоские углы при вершине D которого прямые, а ребро CD равно сумме рёбер AD и BD. До-
казать, что сумма всех плоских углов при вершине C равна 90 градусов.
задано некоторое множество из N чисел. Его можно линейно упорядочить N! способами. Какой из этих способов является самым представительным с точки зрения самого множества?
Никакой.
самоед написал(а):
группы аксиом евклидовой геометрии упорядочены Гильбертом каким-то, думается, неслучайным способом
Ув. Самоед фактически уже наметил, что надо делать в этой задаче. Показываем, что операция
x*y = x+y+xy коммутативна и ассоциативна, тогда порядок не играет роли. Далее замечаем, что
x*y = (x+1)(y+1)-1
x*y*z=(x+1)(y+1)(z+1)-1
...
И получаем, что ответ (2)(3)...(N+1)-1 = (N+1)!-1
Вот часто встречающаяся мне проблема. Имеется аддитивная величина, разложенная по столбцам и строкам в виде матрицы. Спрашивается, что можно сказать об этой величине, глядя на ее матрицу?
Вот пример из статьи Характер дефектов и виды отказов резервуаров, работающих в условиях Севера, Газовая промышленность, № 3, 2012, с. 90-91.
Эта матрица имеет какие-то определитель и перманент, собственные значения и вектора и т.д. Какое отношение все они имеют к дефектам элементов резервуаров ГСМ, эксплуатируемых в северных условиях? Это я спрашиваю. У авторов таблицы никаких таких понятий в статье нет вообще.
Эта матрица имеет какие-то определитель и перманент, собственные значения и вектора и т.д.Какое отношение все они имеют к дефектам элементов резервуаров ГСМ, эксплуатируемых в северных условиях?
Думаю, что никакого.
Чтобы такие вещи имели смысл, как минимум объект должен быть матрицей. А это просто квадратная таблица.
Да много в чем.
Матрица есть объект, инвариантный относительно преобразования координат в n-мерном пространстве.
Соответственно для нее есть определенные правила и операции.
И уж как минимум матрицы можно складывать, умножать на произвольное число.
Здесь же такие операции могут привести к абсурду в виде например 10000% дефектности
Если для объекта не имеют смысла даже самые базовые операции, то почему должны иметь смысл более сложные?
