Нет. Все равно непонятно. Главное, основная лемма у Вас только для двух векторов. И, кстати, не озвучено, где именно использовано предположение индукции.

Вот здесь, например:

LUKA написал(а):имеется в виду затем - с первым и вторым столбцом одновременно? Тогда непонятно, при чем здесь лемма (она же говорит о линейной независимости, т.е., о непропорциональности, только двух векторов, а тут утверждение про три).

Serge_P написал(а):За что люблю мат. доказательства, так за то, что против них не попрёшь. Или, если найдёшь ошибку - то однозначно её признаешь.
Я уже догадался, что Вы невнимательно проследили применение леммы.
Да, лемма говорит о линейной независимости двух векторов. Верно. Но Вы не проследили мысль.
Хорошо. Разжую, хотя мне показалось, что и так понятно.
Вернёмся к этой лемме.
Если у нас есть две линейно зависимых столбца
а1, а2, а3, а4, а5, а6, .....
и
b1, b2, b3, b4, b5, b6, ...
то очевидно, что если мы к каким-то (но обязательно не всем) элементам только одной из строчек прибавим 1, то возникнут линейно-независимые столбцы.

Наберитесь терпения и главное - проявите внимание, даже если рассуждение покажется рутинным.
Почему верна эта лемма?
Если у нас две линейно зависимые строчки, то
а1/b1=а2/b2=а3/b3=а4/b4=а5/b5=.....
Очевидно?
Вспомним, что если мы убедимся, что правый столбец линейно зависим с первым столбцом, то мы прибавляем единицу именно к первой цифре правого столбца (пусть этот столбец будет сейчас b1, b2, b3, ..., bn).
Если правый столбец ЛЗ с первым, то, прибавив 1 к b1 мы нарушим эту самую линейную зависимость:
а1/(b1+1)а2/b2=а3/b3=а4/b4=а5/b5=.....

Теперь внимание, господин математик. Если Вы будете внимательны, то заметите, что этот правый столбец уже не будет вновь ЛЗ с первым при наших других возможных манипуляциях прибавления единицы. Почему?
Просто представьте, что мы к НЕКОТОРЫМ столбцам прибавили 1+
а1/(b1+1)а2/b2=а3/b3=а4/b4а5/(b5+1)=.....
Уже НИКОГДА не будет при наших манипуляциях. Почему? Да потому что ПОСЛЕДНЯЯ нижняя цифра столбца так и останется БЕЗ изменений. Это - очень важная мысль.
Всё, раз прибавив единицу, линейная зависимость уже ВНОВЬ не появится.
Другими словами синие цифры мы уже не меняем - синее k-е число правого столбца уже обеспечивает линейную независимость с k-м столбцом.
А если НЕ прибавили?
Тогда да, линейная зависимость может возникнуть de novo.

Поэтому, при КАЖДОЙ процедуре прибавления 1 к k-й цифре столбца (для обеспечения линейной независимости с k-м столбцом) нужно проверить, а не возникла ли при этом линейная зависимость, с каждым с l-м столбцом (lk), для которого l в правом столбце несинее, если да, то прибавляем к исходно несинему l-му элементу 1 и он становится синим - то есть мы его больше не меняем. Один раз прибавили единицу и всё.

P.S. Вот так вот между двух граней маневрирую. Доказательство это - капитан очевидность - простейшее. Но....
Стоило начать РАЗЖЁВЫВАТЬ ПОДРОБНО, скажем в примере с разбиением квадрата на два подмножества (я не знал, что решение уже было выложено), как Хайдуку ПОКАЗАЛИСЬ такие рассуждение СЛОЖНЕЕ (хотя они почти одинаковые по сложности - и там, и там, используется теорема Кантора-Бернштейна).
Стоило чуть сократить ДОВОЛЬНО ОЧЕВИДНОЕ И ПРОСТЕЙШЕЕ доказательство того, что построенная этим простым способом матрица будет полного ранга, но чуть меньше разжевать столь очевидные вещи - как другая крайность. Вот и ищу золотую середину.

На поиск этого весьма простого доказательства потратил несколько минут, а на изложение..................

Отредактировано LUKA (2012-06-19 08:03:35)

Ну-ну, не скажи Гоп! до прышка - посмотрим что скажут корифеи Сергей и РР, а пока мы на заборе enjoying the show

Хайдук написал(а):А самим слабо вникнуть в это ЭЛЕМЕНТАРНОЕ доказательство, понятное даже школьнику (если подразумевать, что квадратная матрица будет полного ранга тогда и только тогда, когда все её столбцы линейно независимы)? Пропорции изучают классе в 7-8-м. Разве нужно так бояться столь элементарные свойства пропорций и ждать корифеев ?
Доказательство - это не высказывания корифеев, а определённый тип рассуждений.

Отредактировано LUKA (2012-06-19 07:55:35)

LUKA написал(а):Чё-то не заметил, дабы в доказательстве Сергея красовались Кантор с Бернштейном

Хайдук написал(а):Это ОЧЕНЬ легко заметить. Спросите у корифеев.

Отредактировано LUKA (2012-06-19 07:45:24)

LUKA написал(а):Ленища-с , да и любим ставить проблемы, а не мучиться решением

LUKA написал(а):...общий/одинаковый для экспертоф

Хайдук написал(а):Неужели Вас так пугают эти ПРОСТЕЙШИЕ свойства пропорций?
Похоже Вы перепутали доказательство с высказыванием авторитетов.
Могу также обоснованно предположить, что и авторитеты иногда грешат невниманием - пример с Сергеем перед Вами.

Отредактировано LUKA (2012-06-19 07:57:55)

LUKA написал(а):Не пугают, конечно, просто не утруждался вкалывать.

LUKA написал(а):Неа, таких тривиальных ошибок не допускаем даже когда пьяны в стельку (а пьяны мы с Олегом фсегда, небось ув. Владимирович не забыл засунуть ему бутылочку в бан-ю)

LUKA написал(а):Безусловно

А PP промолчал....
Вот они две крайности - одному школьные свойства пропорций сверхочевидны, другому - сверхсложны.

Отредактировано LUKA (2012-06-19 08:59:39)

Имейте терпение, дружище, в конце концоф завалим

Корифеев по школьным пропорциям дожидаетесь?
Ибо лишь мудрецы способны дать экспертное заключение относительно школьных пропорций. Остальным - страшно.

Отредактировано LUKA (2012-06-19 09:58:21)

LUKA написал(а):Ув. LUKA прав. Строго говоря, там и Кантор-Бернштейн не повредит, и Аксиома Выбора тож.

LUKA написал(а):

LUKA написал(а):Возвращаемся на круги своя. Где именно использовано предположение индукции (о том, что матрица (n-1)x(n-1) - полного ранга)? И главное, где доказательство, что никакая линейная комбинация первых (n-1) столбцов не равна последнему столбцу? Это не следует из того, что последний столбец линейно независим (непропорционален) с каждым из предыдущих по отдельности.

Кстати, решение уже можно выкладывать? Или пока погодить?

LUKA написал(а):Остальным попросту лень, не хочется мучать головушку . На своем веку всякое повидали, знаем, что логические хитросплетения в задачках могут быть весьма каверзными и потому не разделяем лихого овечьего энтузиазма, а выжидаем, пока фсе устаканится. Математика является уникальным примером того, как социальное общение экспертоф приводит к застукиванию как-бы объективных истин БЕЗ участия обычного, НЕ символического (?), физического эксперимента

Наверное ЛУКЕ хотелось бы самому найти решение, хотя я сомневаюсь в этом . По мне, можно выкладывать белым текстом, все равно не буду очень углубляццо, если долгое и трудное

ЛУКА щас на другой ветке, может спросим у него?

Serge_P написал(а):Вы совершенно правы, а я оказался неправ. Тем не менее Вы мне уже ТУТ ЖЕ подсказали решение - по тому же методу.
Строим также по индукции матрицу - по тому методу, что предложил. Если ВДРУГ правый столбец окажется ЛЗ с остальными, то есть выражаться в виде линейной комбинации, то...
....Достаточно поменять местами первую цифру в правом столбце с левой цифрой в нижней строке.
Линейная зависимость окажется невозможной.


Ибо для ОСТАЛЬНЫХ цифр столбца от второй до предпоследней будет ОДНА линейная зависимость (коэффициенты выражения координат), а для первой и последней - эти коэффициенты станут невозможными.
Хотя в этом случае необязательно даже как-то по особому матрицу строить - можно в порядке возрастания ее членов.
Вот и решение.

Отредактировано LUKA (2012-06-19 18:16:14)

LUKA написал(а):Это правильная идея, но требует корректировки (некоторые коэффициенты в разложении могут быть равными нулю, а главное, если смотреть только на позиции от второй до предпоследней, то линейная комбинация не одна, а их бесконечно много). Думаю, если уж мы хотим делать по индукции, то можно так:
Отредактировано Serge_P (2012-06-20 01:41:25)

Я пока не смотрю - надеюсь Вы не сомневаетесь в том, что я люблю решать сам.

Serge_P написал(а):Но, по-моему, самое красивое решение - такое:
Отредактировано Serge_P (2012-06-20 00:51:44)

Serge_P написал(а):Да Вы просто искушаете. До завтра точно не посмотрю.

Ну вот видите ли, ЛУКА, сколько подводных камешков всплыло . На Вашем месте я бы попридержал энтузиазм, тем более в идеологических вопросах, которые тут толкаем туды-сюды

Хайдук написал(а):Типа пытаетесь хоть как-то отыграть отсутствие у Вас аргументов на соседней ветке?

Да уж - отсутствия таких не замечал за собой уже очень и очень давно . Когда зафтра проснётесь, то надеюсь увидите очередные, фокусированные и чертовски трудные для опровержения возражения (если поняли адекватно, конечно ). Я думал обо всех этих вопросах на протяжении десятилетий..., выпало множество случаев, книг и статей протестировать и усовершенствовать свое понимание. В действительности мне очень легко даётся наша дискуссия, я сразу вижу множество специфических деталей и направлений атаки на Вашу позицию, но не фсе отстучишь на клавиатуре. Получится длинным, занудным, никто не уследит за точными деталями, все равно не поймут.

Я всегда слежу за строгостью своих потуг и очень быстро могу углубиться в детали, отдавая себе отчет где и когда не хватает точных, специфических знаний/понимания. Чую когда собачусь с экспертом и не выпендриваюсь, а прилагаю усилия поучиться

LUKA написал(а):Ув. Хайдук просто намекает, что в научных дискуссиях пользительны осторожность, обстоятельность, и самокритичность. А излишек энтузиазма и поспешность с глобальными выводами - наоборот, не подобают благородным донам. Вот сколько раз на этой самой странице Вы помянули корифеев, пропорции понятные школьникам, мою невнимательность, и т.д., прежде чем обнаружить у себя ошибку? Почему же Вы настолько сильно не допускаете, что и с Вашими рассуждениями в другой ветке что-то может быть не так?

LUKA написал(а):Удачи!

Serge_P написал(а):Поиск решения с ошибками - дело обычное. Я не боюсь делать ошибки и вникать. Но жульничество Хайдука в том и заключается - ага раз ошиблись здесь - типа значит и там - не заменяет отсутствие у него внятных аргументов.
Это больше ужимки, но не конктретные рассуждения и вряд ли слушком уж стоит делать столь поспешные выводы как-то Поспешность, излишек энтузиазма и т.д
Опыт показывает, что такого рода сверхкосвенные рассуждения вряд ли тянут на аргументы. Требуется что-то посущественней.

Вы вправе додумывать и фантазировать, но обращу к Вам же Ваши слова - не спешите, и выдвигайте аргументы, а не косвенные малозначащие доводы.
Вы наверно поняли, что я не фанат, меня легко переубедить, но при одном маленьком условии - значащая аргументация.

Отредактировано LUKA (2012-06-19 21:54:11)