Serge_P написал(а):Я надеюсь не только плоскостью, а и... дрелью со сверлом?

Vladimirovich написал(а):Это можно. Вот (выделите мышкой):

Serge_P написал(а):Ну я не вижу сугубой разницы в уровне строгости, хотя может и неправ.
В доказательстве пропущены возможно некие пункты, в независимости коих от гипотезы континуума я не уверен.

Vladimirovich написал(а):Какие?! Где?! Что пропущено?!
Главное же тут не в уровне строгости - а в красоте, простоте и неожиданности идеи.

Отредактировано Grigoriy (2012-06-11 17:04:56)

Vladimirovich написал(а):Попросту используется тот факт, что единичный квадрат равномощен континууму

Grigoriy написал(а):Т е они выглядят имхо совершенно неестественно - один дурак может задать столько вопросов, что 100 умников не ответят. Но - например выдающийся матeматик Громов специально отмечает, что он любит неестественные задачи; кроме того, многие задачи Колмогорова и Арнольда кажутся мне столь же неестественными. Потому - молчу в тряпочку.

Отредактировано Grigoriy (2012-06-11 17:02:59)

Grigoriy написал(а):Ну не указаны методы построения проекции множеств на единичный отрезок...
Может это для Вас и очевидно, но все таки...

Ну, это у Вас глюк. Множество имеет мощность континуума. Мы его отождествили с единичным квадратом, и весь его целиком спроецировали вниз. В том числе и образы 2-х исходных подмножеств.

Grigoriy написал(а):Аааа. Теперь понял

Хайдук написал(а):Но к непрерывности континуума данное доказательство все-таки отношения не имеет

Grigoriy написал(а):В случае последние НЕ помешали первому

Alexander написал(а):В принципе да (могли бы отобразить континуум на единичный квадрат, всюду продырявенный, скажем, опущенными точками с рациональными координатами (х,у)). Хотя, когда Сергей сказал единичный квадрат, все подумали ... не, НЕ о ТОМ (как обычно) , а об обычном сплошном квадрате

Могли бы вообще без геометрии обойтись. Например, можно рассмотреть множество бесконечных последовательностей 0 и 1 (с элементами типа 0101010010...10101....) и разбить его на два: с четными и нечетными номерами позиций. Как само это множество, так и два его подмножества равномощны между собой и имеют мощность континуума. И рассматривать эти подмножества как проекции. Все те же рассуждения проходят.

Отредактировано Alexander (2012-06-11 18:39:10)

Блин, как-то сложно получается, не смог себе представить . Номера позиций в любой отдельной последовательности или номера любой отдельной последовательности? Вторых номероф не бывает в силу несчётности множества (счётно-)бесконечных последовательностей 0 и 1

Хайдук написал(а):Я неряшливо описал это дело... Вот, что имелось ввиду:
1011100110000110... - элемент главного множества, определяющий
11101001... - элемент нечетного множества (выделен жирным)
01010010... - элемент четного множества

Отредактировано Alexander (2012-06-11 19:42:32)

Таким образом, однако, исходное множество главных последовательностей будет полностью совпадать как с множеством нечётных последовательностей, так и с множеством чётных последовательностей, это будет одно и то же множество

Да, исходное множество легко разбить таким способом на два - четное и нечетное (кои и будут проекциями, аналогично отрезкам на осях), и между ними очевидным образом устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Ну, ясно же, что любое множество является проекцией самого себя на самое себя - рано или поздно среди четных или нечётных последовательностей встретим любую главную последовательность. Получим тавтологию, не здвинулись ни на йоту

Но Вы согласны с тем, что нечетное и четные подмножества можно рассматривать как проекции исходного?

Безусловно, так как нечетные и четные подмножества можно рассматривать не только как проекции исходного, но и как тождественные тому - ведь любое множество можно рассматривать как одно из своих подмножеств.

А раз проекции, значит, все рассуждения применимы и в этой модели

Я в этом не уверен - это совсем НЕ то, что 1-1 проекция якобы главной последовательности на свои четную или нечетную подпоследовательности. Фактически в конце концов чётные (или нечётные) подпоследовательности составят буквально исходное множество якобы главных последовательностей, не сможете их отличить. Вы же НЕ предлагаете рассматривать квадрат из двух исходных одинаковых континуумов последовательностей как множество из упорядоченных пар этих континуумов. Геометрический единичный квадрат в задаче Сергея квадрат тоже НЕ есть такой квадрат, а то равномощность его континууму была бы очевидна по построению. Конёк в том, что геометрический единичный квадрат выступает как-бы независимым образцом континуальности, к которому примеряем мощности проекций красного с синим подмножествами.

Хайдук написал(а):Почему, можно и так рассматривать. Элемент главного множества однозначно определяется упорядоченной парой из 2-х элементов нечетного и четного множеств, и наоборот.

Дело в том, что можно сказать и так: элемент главного множества однозначно определяется упорядоченной парой из 2-х элементов двух главных множеств, и наоборот. Как раз такое бывает с геометрическим квадартом, образованным из двух главных континуальных отрезков под прямым углом друг к другу. Мощность упорядоченных пар квадрата очевидна равна мощности любому из 2-х главных континуальных отрезков. В отличие, задача Сергея предполагает, что объединение красного с синим множеств отличается, вообще говоря, как от главных континуальных отрезков, так и от построенного ими (континуального, как оказыватеася) геометрического квадрата. Последнему отведена роль эталона континуальности. Какие множества последовательностей из 0 и 1 будут красными и какие синими? Ведь оба четных и нечётных таких множества полностью совпадают, это одно и то же множество (то бишь исходное), НЕТУ второго множества, дабы раскрасить разными красками.

самоед написал(а):Не знаю точно, но не исключаю что это доказательство может принадлежать самому Кантору.

самоед написал(а):Континуум-гипотеза - это сложная штука: даже в настоящее время есть люди, которые считают, что имеет смысл предположить, что она неверна. См. например en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothes...s_for_and_against_CH

Поэтому, имеет смысл ее использовать только тогда, когда она действительно необходима.

Alexander написал(а):Да обойтись то можно. Но с квадратом красивее

Нагляднее

Предложение с множествами чётных и нечётных (счётных) двоичных подпоследовательностей на самом деле НЕ имеет никакого отношения к задаче Сергея , поскольку оба множества идентичны между собой, а также множеству главных таких последовательностей. Можно рассмотреть квадрат, чья сторона суть это последнее множество всех (счётных) двоичных последовательностей или суть единичный отрезок геометрических точек. Непрерывность/связность такого квадрата не колышет, а лишь его мощность, которая равна континууму по определению

Хайдук написал(а):Давайте объясню. Сумма 2-х множеств (не обязательно, чтобы они были оба континуумные) - это главное множество или квадрат в терминах Сергея. Нечетное и четное множества - отрезки на осях координат, получающихся от проекции квадрата