самоед2 wrote: Зачем писать такое, неужели нет таблиц? Факторизаторы тоже наверняка готовые имеются.

PP wrote: Какие таблицы? Таблицы если и есть, то наверняка не очень большие, потому что тот, кому нужны большие, вычислит их и сам. Готовые факторизаторы тоже есть, но они не настолько сложные, чтобы не написать их самому. Но главное не это. Главное, что приходится оперативно помнить ВЕСЬ массив вычисленных простых чисел. А для этого нужно много памяти. Например, до миллиарда насчитываются десятки миллионов простых чисел, это еще терпимо, а до триллиона - уже десятки миллиардов. У меня такой оперативной памяти нет.

Вот если бы можно было БЫСТРО получать очередное простое число, не храня всех предыдущих, тогда да, проблем бы не было. Такие алгоритмы, возможно, и есть, но я пока их не знаю. Руки дойдут, поищу. А еще лучше, иметь бы явную формулу для вычисления нужных долей. Фактически мне нужно вычислить четыре ряда, состоящие из слагаемых вида 1/(р - 1): по всем простым числам (начиная с единицы, ее тоже учитываем, № 1 в череде простых), по всем первым простым числам, по всем вторым и по всем третьим. Все ряды расходятся, но их отношения (вернее, отношения их частичных сумм) сходятся, вроде бы. Я таких формул для рядов не знаю.

Похоже, Хайдук прав: все доли равны 1/3. Полные кружочки на графике - это непосредственно вычисленные доли, их меньше, а пустые кружочки - это доли, вычисленные опосредованно, с помощью ряда по 1/(р - 1). Почти везде те и другие кружочки совпадают. Кривые, приближающие эти доли, имеют вид

y(x) = (1/3)(ln lg N + C_{1, 2, 3})/(ln lg N + C), (С₁ + С₂ + С₃)/3 = С,

где константы C_{1, 2, 3} определены по значениям долей, вычисленных опосредованно при N = 1 000 000 000, и по константе С, выбранной относительно произвольно, на графике это корень квадратный из 3 (можно было бы выбрать ее и поточнее). Во всех случаях функция y(x) имеет асимптоту 1/3.

самоед2 wrote: И скорее всего опубликует.

самоед2 wrote: Триллион это очень маленькое для ваших целей число. Наверняка есть алгоритмы, которые факторизируют используя диск. Вот попробуйте этот сайт.
www.numberempire.com/numberfactorizer.php
Потом найдите таблицы простых и составите распределение по цветам.

самоед2 wrote:

самоед2 wrote: только щас до башки достучались пируэты Вашей мысли, самоед: не понимаю каков смысл в том, дабы наравне с каждым делением на простое учитывалась и кратность того как множителя, чего общего между числом натуральных, делящихся на некоторое простое, и кратностью/степенью этого простого в мультипликативном разложении/факторизации тех же самых натуральных?

Хайдук wrote: Я подсчитываю то и другое вместе. Каждое число n до N я делю на простое р столько раз, какова его кратность в случае n, а потом суммирую эти кратности по всем n, получается почти точно N/(p - 1).

Но полной уверенности в равенстве всех долей 1/3 все равно нет. Вот график, где приближающие функции имеют тот же вид, но с другими асимптотами: 0.304, 0.392 и 0.304 (как в случае функции Мебиуса выше). Просто для 1/3 эти функции выписывались, можно сказать, по одной найденной точке, последней, а здесь приходится учитывать все предыдущие найденные точки. Так что для 1/3 все выглядит более естественно, всего лишь, а уверенности все равно нет.

самоед, последние два сообщения сферху не ли одинаковы?

Да, были одинаковые. Уничтожились обе.

Какое все-таки говно эта кунена!

Странно. Восстановил одно

Спасибо. Подредактировал малость.

самоед2 wrote: Может просто кнопки не те нажимаете?

Имел в виду не этот случай только, а г. в целом, в куче, так сказать.

самоед2 wrote: Не знаю, что Вы там имеете...
Но функционал здесь как минимум не меньше, чем на старом форуме. Плюс добавлены PGN и формулы.
Есть возможность писать статьи вне форума и т.д.

Вашу обиду понимаю. Но не сочувствую.

самоед2 wrote: У меня нет никакой обиды. Я мог бы просто помочь, если что конкретно не устраивает, но чувствую бесполезно. Просто аллергия у Вас непонятная.

самоед2 wrote: Видите ли, самоед, на самом деле НЕ удивительно, что доли 3-ёх цветов (а не простых чисел ) близки к 1/3: 3 цвета это очень мало цветов, они часто и регулярно чередуются (каждый цвет повторяется через всего лишь 2 простых числа) и значит для почти любой начальной последовательности простых треть из них будут (это тривиально) одного и того же цвета.

Весёлое как-бы наблюдение, что частота факторизации у простого p среди первых N натуральных оказывается близкой именно к 1/(p - 1) хоть и любопытное по своей неожиданности, но в принципе вполне понятное: чем бОльше заданный простой множитель p, тем реже/труднее умещается тот ниже некоего конечного потолка N.

Насчёт частот (у разных p) факторизации на бесконечности трахает моск удручает пока "пренебрежение" длинными отрезками натуральных со стороны произведений больших множителей . Однако вполне понятным выглядит то, что для достаточно большого N и небольшой (!) по сравнению с N длины последовательности простых именно треть 1/3 из них будут одинакового цвета (учитывая малое число 3 чередующихся цветов)

на самом деле 1/(р - 1) никакая даже не доля, так как негоже делить (яблоки на апельсины) сумму кратностей множителя на количество чисел N - долю даст только деление количества подмножества чисел на бОльшее количество всего множества чисел. По сути "доля" 1/(р - 1) есть бессмысленное выражение

можно только утверждать, что 3 суммы кратностей множителей (окрашенных в 3 разных цвета) приблизительно равны (суммы, то бишь) между собой

Вот многочлен, множество положительных значений которого над множеством всех неотрицательных целых чисел совпадает с множеством всех простых чисел.



www.maa.org/sites/default/files/pdf/uplo...nesSatoWadaWiens.pdf

Количество его переменных равно количеству букв английского алфавита, их 26. Как вы думаете, если раскрыть все скобки, то сколько всего получится букв с учетом их степеней? И какой будет доля гласных букв? Не ожидайте, конечно, что эта доля будет 40%, ну а вдруг.

Хайдук wrote:
1/(р - 1) - это не "доля", а асимптотически среднее число множителей р, приходящихся на одно натуральное число. Доли же получаются тремя отдельными суммированиями по р этих самых 1/(р - 1) и отнесением полученных сумм к общей сумме по р. Суммы эти БЕСКОНЕЧНЫЕ, поэтому суммирование и отнесение производятся на конечном отрезке [1, N] с переходом к бесконечному N. Для понятности надо было бы суммировать не 1/(р - 1), а N/(p - 1), но N при отнесении к общей сумме сокращается. Устал уже повторять.

заварили кашу полнейшую, самоед, без поллитра не разберёшься

самоед2 wrote: ладно, не доля, но зачем нам "среднее число множителей р, приходящихся на одно натуральное число"? Только ради того, дабы показать, что среднее число красных множителей (на одно натуральное число) равно среднему числу синих множителей (на одно натуральное число), а оба равны среднему числу зелёных множителей (на одно натуральное число)?

кстати, "асимтотического" словоупотребления лучше остерегаться, поскольку формула 1/(р - 1) чисто эмпирическая, то бишь случайная, так сказать, ничем асимптотическим НЕ пахнущая. А то иначе выходит, что среднее число (на отдельное натуральное) больших простых множителей убывает к нулю, что для меня лично-с далеко НЕ очевидно

самоед2 wrote: все то, что на самом деле делаем, это суммирование красных, синих и зелёных средних эмпирических значений (формулой 1/(р - 1) лучше НЕ пользоваться, поскольку взятой с бодуна потолка и ненадёжной) с "отнесением" их к сумме всех средних значений для простых НЕ превосходящих N. Надеемся, что с переходом к бесконечному N эти эмпирические отнесения будут подходить к 1/3, но такое - действительно асимптотическое - поведение остаётся далеко НЕ доказанным. Сокращение N при отнесении к общей сумме средних значений (для всех простых НЕ превосходящих N) никак НЕ обеспечивает перехода того к бесконечности, к сожалению

самоед2 wrote: да ладно, самоед, наконец соглашусь, что это неплохая метрика для частоты объявления некоторого простого множителя среди первых N натуральных - вроде как плотность множителя на участке первых N натуральных

Однако "асимптотически" никак не пляшет тут, что будет на бесконечности лично мне продолжает трахать ущучивать моски

самоед2 wrote: надеюсь понимаете насколько сугубо игрушечными и НЕСУЩЕСТВЕННЫМИ/случайными являются такие вопросы по сравнению со глубинным (много)членом оным

Хайдук wrote: Я, правда, этого не знал, но данная формула, оказывается, известна.

oeis.org/wiki/De_Polignac%E2%80%93Legendre_formula

В пределе это сумма геометрической прогрессии со знаменателем 1/р. Нужно только суметь скобки "floor" убрать.

Да, что касается функции Мёбиуса. Доли ее значений, оказывается, тоже известны. Доля нуля - это

[tex]\displaystyle 1 - \frac{6}{\pi^2} = 0.39207...[/tex],

a доли [tex]\pm1[/tex] равны друг другу. Я, к своему стыду, не узнал [tex]\displaystyle \frac{6}{\pi^2}[/tex].

должен поделиться, ув. самоед, что задачки с раскрашиванием чисел выглядят довольно поверхностными и малозначительными . Несомненно что-то есть (и можно найти тому объяснение, наверное) в Вашем наблюдении о средней доле ~1/р множителя р в представлении первых N натуральных; уверен, что Вы не первый заметивший этот любопытный факт. Даже для N = 1000 и простого 997 его среднее 1/1000 весьма близко к Вашему ~1/997; для N = 2000 среднее будет то же самое 2/2000 = 1/1000, потому что имеем 2 числа с множителем 997, само оно и 2.997 = 1994 и т.д. Очень может быть, что имеются настоящие асимптотические оценки для любого простого как (многократного) множителя, может увязанные с тем, что простых становится все реже и реже в ногу с 1/ln(n)

Хайдук wrote: Я же дал ссылку, фактически это формула Полиньяка - Лежандра.

ссылку увидел после того, как написал . С чего начинается прогрессия, первый член какой?

самоед2 wrote: про равенство ясно, а видимые начальные осцилляции Мебиуса неужели затухают около ... нуля? че-то не верится...

З.Ы. выпил, подумал, выпил, ... просек, что раскачивание осцилляций нахуй к [tex]\pm \infty [/tex] НЕ помешает равенству долей [tex]\pm1[/tex]

самоед2 wrote: Хайдук wrote: видимо, с легонца прокололся сферху с интерпретацией площадей модели как [tex]\pm1[/tex] доли функции Мёбиуса

площади положительных полуволн равны [tex](4k+1)\pi[/tex], а площади отрицательных есть [tex](4k+3)\pi[/tex], где [tex]k=0,1,2,3,...[/tex]. Площади растут неограниченно одинаковым линейным по [tex]k[/tex] темпом и значит выравниваются на бесконечности (то бишь их отношение причаливает к [tex]1[/tex], знак не колышет). Соответственно доли [tex]\pm1[/tex] в модели Мёбиуса/Мертенса будут одинаковыми, по [tex]\displaystyle \frac{3}{\pi^2}[/tex] каждой, which isn't too bad, not at all