Так вот, Хайдук, ещё Владимировичу заметил, когда говорили о догме, что термин аксиома просто более широко употребляется в науке (как специальный) Это так, несомненно и никто с этим фактом не спорит.
Вот термин догма, например, в науке менее распростанен, чем в философии.
И что?..
Что из этого следует - да ничего. Просто не надо путать здесь сам термин с его масштабом ))

Отредактировано РAР (2010-02-07 19:35:40)

Vladimirovich написал(а):Аддитивная арифметика Пресбургера (одно лишь сложение +, без умножения, а случайные простые числа как раз и всплывают с умножением...) полна и разрешима, но это ведь лишь простая группа с единицей 0, если присобачили отрицательные целые числа. Булева алгебра с двумя действиями, И и ИЛИ плюс отрицание А/не-А (или действия объединение и пересечение подмножеств плюс дополнение до всего множества), тоже полна, однако обе действия дистрибутивны друг к другу в отличие от умножения в арифметике, которое НЕ дистрибутивно по отношению к сложению, (ab)+c НЕ равно (a+c)(b+c).

Отредактировано Хайдук (2010-02-07 19:49:19)

Vladimirovich написал(а):Ещё раз. Я Вас не понимаю, потому просто говорю своё:
Обьект теории вещественных чисел - вещественные числа. Их можно определять по разному, но эти определения эквивалентны - это значит, что свойства вещественных чисел в одном понимании полностью совпадают со свойствами вещественных чисел в дрyгом понимании. Т е как идеи Платона они совпадают. Аксиомы Пеано для вещественных чисел не выполняются, и даже непонятно, как их применить к вещественным числам Но в теореме Гёделя этого и не требуется. Говорится о том, что теория должна включать арифметику. Это значит, что в теории можно определить некоторые обьекты и операции с ними так, что аксиомы Пеано будут для этих обьектов выполняться.
В нашем случае N естественно вкладывается в R, т е теория вещественных чисел содержит арифметику, а потому в ней существуют верные, но недоказуемые утверждения.

Отредактировано Grigoriy (2010-02-07 19:54:28)

Ещё могу понять недовольство, когда слышат .. Ну к примеру 'влагалище' )) где-то в быту, допустим. Хотя медик-специалист может справедливо заметить - какое именно подразумеваете влагалище?
И он будет прав. Влагалище не обязательно подразумевает то место, о котором сейчас подумали (для специалиста)
А вообще - это понятие раньше широко использовалось больше как ножны, футляр (под заказ), кстати и сейчас ещё употребляется в таком значении.
Вот и ответьте - причём здесь оскорбления недоумков??

Отредактировано РAР (2010-02-07 20:14:26)

Grigoriy написал(а):А вот интересно, Григорий, почему в такой же степени недоказуемые неверные отрицания недоказуемых верных утверждений как-бы не являются идеями Платона? Почему недоказуемое отрицание гипотезы контимуума есть идея Платона, а недоказуемые отрицания Гёделевых предложений НЕ есть такие идеи, а лишь неверные арифметические утверждения вроде 2+2=5 ?

Grigoriy написал(а):Григорий, цитатой, приводимой Вами, Владимирович сказал то же самое, что и Вы дальше

Обоим

Отредактировано Хайдук (2010-02-07 20:13:04)

РAР написал(а):У догмы исторические корни немного другие, связанные с религиозным мракобесием . Слово не важно, РАР, а его смысл и содержание в пределах дискуссии

Хайдук написал(а):Кто Вам это сказал? Я в полном недоумении.

Grigoriy написал(а):Кто сказал мне что, Григорий?

Но благодаря этому обсуждению до меня дошёл один аспект проблемы, который я раньше не осознавал, и который, возможно, Владимирович имел ввиду. Гёдель явно построил недоказуемое, но верное утверждение в арифметике. Но утверждение его теоремы: в любой теории, включающей арифметику. Т е он должен был как-то учесть присоединение новых аксиом, в частности, данного конкретного утверждения. Я не знаю, как он это сделал.

Grigoriy написал(а):Вооот.
Вы начинаете понимать, Grigoriy

Вопрос лишь о включении арифметики. Что нужно сделать, чтобы включить арифметику...
Кольцо с единицей по сложению 0 и по умножению 1 ее включает?

Я откровенно не знаю, Григорий.
Думаю, что нет. Но не знаю, чего не хватает. Но не знать это, мне кажется извинительно.
И не думаю, что мой вопрос заслуживает эпитета бессмысленный.

Grigoriy написал(а):Присоединение недоказуемого Гёделева предложения к арифметике приводит к построению тем же способом нового недоказуемого Гёделева предложения. Недоказуемых предложений таких бесчисленно много, избавиться от них нельзя

Вообще говоря конечно нет - оно может и состоять только из этих 2-х элементов. Но в рамках теории вещественных чисел можно естественно определить 0 и 1 , и применение операции +1, определённой для вещественных чисел, приводит к множеству N, в котором аксиомы Пеано выполняются.

То что вы так выражаетесь с религиозным мракобесием не делает вам значительности, Хайдук. И догма в этом не виновата. Просто на определенном этапе исторического развития (советская эпоха, в какой-то мере)
слово стало ругательным. В связи с подразумеванием догматизм и внедрением куда ни попадя, лишь бы выразить неприятие ))
Таких примеров стереотипного мышления полно до сих пор, к сожалению. PS
Вот лучше объясните -
Григорий:
- Что вы понимаете под запахом Солнца?
- Как что? Запах.
.. Ну и хде здесь аналогия с аксиомами математики?
Или может Григорий искренне убежден, что солнце по своей природе осязательно?
Вообще тоска сплошная..
Что он хотел сравнить?
А то что подразумевал - мне то понятно )) подразумевал, что критикует фразу математическая наука или наука в математике. Что действительно масло-маслянно ))
Вот только облом получился..
с неким подразумеванием..

Отредактировано РAР (2010-02-08 00:36:31)

Vladimirovich написал(а):И я думаю, что не включает. Потому и обозвал раньше Григория зверем , ибо он предложил единице 1 умножения присобачить сложение к себе и состряпать таким путём неполные по Гёделю целые/натуральные числа Пеано

Отредактировано Хайдук (2010-02-08 01:56:40)

Для чего такие тонкости с определением понятий? Да элементарно -
«Когда происходит подмена понятий распущенное хамство чувствует вседозволенность» ©

Отредактировано РAР (2010-02-07 20:54:11)

Хайдук написал(а):Вероятно. Но это нетривиальная мысль
Впрочем - это в спец. тему про теорему Геделя

У нас тут более общий вопрос.

Отредактировано Vladimirovich (2010-02-08 10:28:34)

Интересно, что ещё задолго до появления евклидовых Начал (лат. Еlеmеntа) в античной философии существовала определенная классификация недоказуемых предложений
(то, что в Новое время стали подразумевать под аксиомами)
Подробнее
www.gpntb.ru/win/mentsin2.cfm?KEY=180здесь
Термин аксиома ввел ещё Аристотель. От глагола аxiоn (признавать что-либо, как достоверное, то есть, не требующее доказательств)
Для Аристотеля аксиомы - положения, обусловливающие возможность какого бы то ни было знания. (точки отсчета как начала)
Аксиомы безусловны
(в отличии например от предположений) То есть, имеют силу для всего существующего, а не специально для одного какого-либо рода, и очевидны (в отличии от догм, которые не обязательно очевидны)

Отредактировано РAР (2010-02-08 14:57:04)

Но самое интересное то, что Аристотель аксиомы не смешивал с постулатами (как это наблюдаем уже у Евклида)
Для Аристотеля постулат - это требование, принимаемое при полном отсутствии у исследователя мнения по поводу исследуемого объекта или даже при наличии несогласия исследователя с постулируемым положением!
В 'Началах' данное различие никак не объясняется, или может переводчики по разному толковали ..

Отредактировано РAР (2010-02-08 13:58:29)

РAР написал(а):Как то у меня не было впечатления, что даже при наличии несогласия. У Вас нет ссылки на на это?
То что постулаты некоторые его неверны были, это да

www.i-u.ru/biblio/archive/asmus_antichnaja/04.aspxвот тут приводится цитата/определение Аристотеля:
«... Если принимают [что-то], в то время, как [учащийся] не имеет [об этом] или имеет мнение противное [этому], то постулирует это [там же]»

Отредактировано РAР (2010-02-08 15:18:46)

Ну так о другом речь: не о Его постулатах, а как Он понимал значение термина 'постулат'

Отредактировано РAР (2010-02-08 15:23:23)

С точки зрения шахмат ) если показать наглядно..
Например, утверждение Стейница о пешечном превосходстве на ферзевом фланге - это несомненно догма. Но не потому, что страдает мракобесием ))
Да, это некая мертвая схема, но может оказываться верной во многих случаях.
Про аксиомы - шахматист ходит конем буквой Г и тд Без знаний таких основных положений (аксиом) никуда не деться. И шахматы в этом роде не менее аксиоматичны любой математики )) шутка..
Конечно, (если вообще) не только лишь аксиоматичны..

Отредактировано РAР (2010-02-08 17:08:15)

РAР написал(а):Ну формально это разные вещи.
Утверждение о пешечном превосходстве является ни аксиомой, ни теоремой, поскольку вообще говоря неверно.
Как назвать его, догмой или еще как, ничего не меняет по сути.
Ход коня же - это несомненная аксиома с формальной точки зрения. Ее можно поменять, но это будет уже другая игра, другой объект.
К основным положениям, или к утверждениям, не требующим доказательств она однако не относится.
Формально опять же.

Формально для кого, Владимирович? Вопрос.. Если с точки зрения формализма некоего, опять же - верно, но кому тот формализм то нужен?

Вы хотите сказать, Владимирович, что математика применима ко всем объектам?

РAР написал(а):Думаю, да.

Может с определенными допущениями, всё-же?
Хотя, был наивный пример, но насчёт догм не соглашусь, и даже формально.

Отредактировано РAР (2010-02-08 17:30:53)

РAР написал(а):С дополнительными аксиомами, касающимися адекватности взаимнооднозначных соответствий между мат.объектом и реальным миром.

Так то так, Владимирович, но ведь можно чисто формально сказать, что математика может быть, к примеру, не всегда применима к общественным наукам.
И буду тоже формально прав ))