Хайдук wrote: Хайдук wrote: Вывод тут напрашивается тут другой - не нужно воспринимать тексты Вики слишком буквально, ибо пурги там выше крыши.
И делать выводы, что теория Т брешет на основе Вики антинаучно

Думаю, что и я тут не смогу строго рассказать, в чем дело, ибо не имел дела никогда с разрешимостью подобных диофантовых уравнений

Но вообще говоря, дело обстоит вовсе не так
А обстоит оно в десятой проблеме Гильберта, что само по себе требует более серьезного подхода, чем Вы демонстрируете.
Тот же Матиясевич положил на это 20 лет.

Подобные уравнения например рассматриваются тут
www.ams.org/journals/bull/1980-03-02/S02...979-1980-14832-6.pdf

То бишь, невозможно установить разрешимость произвольного диофантова уравнения (пример Матиясевича), хотя можно это сделать для конкретного К например.
И вообще, десятая проблема Гильберта неразрешима
А поскольку она касается диофантовых уравнений с целыми коэффициентами (рациональные это все равно, что целые), то никакой континуум, о котором Вы изволили толковать, тут и рядом не стоял.

Vladimirovich wrote: 10-ая проблема Гильберта касается разрешимости НЕ произвольного диофантова уравнения (сие всегда разрешимо), а всего класса таких уравнений: единого разрешающего алгоритма для всех этих уравнений нет.

для конкретных К у уравнения Матиясевича могут быть (натуральные) решения, но для неперечислимой кучи других К у уравнения решений не будет и это последнее будет за пределами любой теории Т.

Хайдук wrote:
Ну вот это и есть геделевское утверждение неполноты

то бишь Вы наконец согласились, что теория Т не сможет этот железный (для неформальных математиков) факт доказать?

Хайдук wrote: Что значит "железный факт"?
Все, что не доказано, фактом не является, ни железным, ни деревянным.
В таком же состоянии была и теорема Ферма, но ее типа доказали

этот факт можно доказать вне любой формальной теории Т, но не внутри оной

Хайдук wrote: Что значит вне? да еще любой?

Я так понимаю, пора поднять Григорию веки

Vladimirovich wrote: если теория Т (скажем, Пеано) не может доказать, то мы знаем о К и уравнении без решений вне Т (скажем, Пеано).

а любой, ибо для любой теории можно найти такое уравнение или даже уравнение в Вики будет универсальным (там упомянуто о таких!)

кстати, о таком уравнении впервые прочитал не в Вики, а в респектабельной книжке Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse

Да, я тоже думаю, что пора Григорию вмешаться в эту дискуссию.

Хайдук wrote: А, понятно.
Тайное масонское знание

Вы, ув.Хайдук, как-то запутываете все...
Итак, есть уравнение, для которого недоказуемо некое утверждение. В данном случае о разрешимости
Это именно то, что говорит теорема Геделя - такие утверждения обязаны существовать.

Если изменить аксиоматический базис (мне неведомо как. Вам ведомо вестимо), то утверждение может перестать быть недоказуемым. Допустим.
Это опять же ничему не противоречит.

Но континуум тут ни при чем, коий Вы тут хотели привлечь. Ибо диофантовы уравнения не дружат с континуумом.

При чем тут конкретно Пеано? Натуральные числа могут быть аксиоматизированы совсем другим путем (см. выше)
Тем не менее, итог тот же. Ибо арифметика та же.
Пеано ни при чем.

В чем вопрос то? Вы что хотите еще опровергнуть или доказать?
Я просто не вижу.

по-видимому, уравнение нарочито построено (натянутость и искусственность уравнения очевидны!) таким образом, чтобы отсутствие у него решений было недоказуемым в Т и как раз поэтому знаем об этом, построение нами будет вполне приличным доказательством для нас, конечно, а вот Т об этом не подозревает

ситуация с оригинальными Гёделевыми невыводимыми предложениями "я недоказуемо" совершенно аналогичная

Vladimirovich wrote: это так, но Вы как-будто утверждаете, что недоказуемо вообще, вкл. для нас, а это НЕ так - мы знаем наверняка/доказуемо, что у уравнения нету решений

а гипотезу континуума я перестал, если заметили, тащить как только речь зашла про диофантовые уравнения

Хайдук wrote: Я не использую таких слов "вообще"

Но я и не использую слов "наверняка/доказуемо", ибо для начала надо представить строго сформулированный другой аксиоматический базис, где "доказуемо"
А этого не произойдет, ибо Вы не представите

базис, что могу представить, будет тот же базис, на котором стоят работающие математики; не знаю сочтёте ли этот базис строгим или не совсем, но дело в том, что базис формальной арифметики будет в логическом плане как-бы слабее базиса экспертов (произвольные подмножества натуральных запрещены, скажем, и пр.); поэтому некоторые арифметические истины (!) в башках экспертов НЕ доказуемы в формальной арифметике (Гёдель)

не знаком с деталями, но вполне допускаю, что обычный (может неявный) интуитивный базис большинства работающих математиков можно достаточно хорошо аппроксимировать некоторой разновидностью формальной/мат. логики, но не думаю, что это будет очень желанная логика арифметики Пеано: у некоторых логик пропадает даже т.н. алгоритмическая/рекурсивная перечислимость аксиом, то бишь нечем будет узнать кто такие наши аксиомы...

в заметном отличии от диофантовых уравнений, никакая приемлемая формальная система/логика НЕ решает проблем как континуума или выбора, потому они и остаются аксиомами, хотя выбор вроде уже массово приняли в пику не-выбору.

Хайдук wrote: Ну вот как-то Вы безнадежно зависли на арифметике Пеано...
Во-первых, она не есть что-то абсолютное. Натуральные числа порождаются и другими базисами *см.выше)
Во-вторых, есть множество областей, где совсем необязательна бесконечность натуральных чисел - теория групп, топология...

Хайдук wrote: Ничего не знаю об этом.

Хайдук wrote: А это к Григорию

Vladimirovich wrote: я поимел в виду не саму арифметику, а набор логических средств, что разрешены и допустимы; лучшая (формальная) логика приводит к невыводимости очевидных и всеми принятых истин, значит логику нужно ослабить, ухудшить. У логик свои проблемы и может в некоторых даже строгих результатов нельзя получить

на самом деле лучше мириться с практически очень редкими невыводимыми мат. истинами (теоремы неких Рамсея и Гудстейна, диофантово уравнение типа Матиясевича, хз про другие) и держать надёжные/финитарные (в духе конечно-эмпирической по существу формализации) логические стандарты, АТО сплохуем ни по деццки

фундаментальное для нашего рассудка (и Гегелева дрейфа/перехода в другое/противоположное) различение n=n+1 уже НЕ колышет невыводимостей (выбора, континуума и многих других) за пределами счётного, поэтому невыводимости эти уже не режут сильно ухо башки как диофантово у-ние сферху. К примеру, если n=n+1 уже не увеличивает мощность множества, то по-любому может быть, all bets are off, так сказать, anything goes и значит гипотеза континуума неразрешима, но к счастью башку это не колышет

Хайдук wrote: Она доказуема вроде с парой дополнительных аксиом.
Не нужно делать опять же из этого культа

безусловно

аксиомы за пределами счётного выбирают, по-видимому, на базе удобства, желаний и пользы (AD, Аксиома Детерминации в теории множеств будет хорошим примером), а вот с диофантовыми идти некуда, не скатываться же к чему-то неинтуитивному и нестандартному типа ... 2+2=5

как-то осталось в памяти, что в своей книжке о гипотезе континуума Поль Коэн в своих выкладках очень часто использовал Гёделеву 2-ую теорему о недоказуемости непротиворечивости; ввиду короткого и остроумного вывода этой 2-ой из 1-ой о неполноте приходится вроде заключить, что никаких ослаблений логики на самом деле не происходит и неполнота (лишь одной арифметики?) остаётся даже в теориях с очень большими мощностями, где 2-ую также должно используют в доказательствах относительной непротиворечивости и совместимости разных предложений.

стало быть, остаётся очень мистериозным почему для некоторых невыводимых пар взаимоисключающихся предложений одному из пары отказываем в существовании вообще, поскольку представляется "заведомо неверным" и на интуитивном уровне "доказательство" этого не вызывает сомнений? почему интуитивное рассуждение-обоснование (диофантова уравнения типа Матиясевича, скажем) НЕ может обернуться строгим/формальным и потому теория остаётся неполной? и почему в других случаях (континуум, скажем) строгое доказательство невыводимости оказывается интуитивно вполне удовлетворительным и приемлемым?

Хайдук wrote: Так бывает?

по-видимому да, как в случае с тем диофантовым уравнением, которое не имеет решений по построению и тем не менее построение это выходит, по-видимому, за пределы любой разумной аксиоматизации

ведь никто не возмётся утверждать, что у уравнения есть решения, хоть это и совместимо с аксиоматизацией

Хайдук wrote: Если нет решений по построению, то их и нет, и никакой Гедель тут рядом не валялся.

как не валялся, когда как раз Гёделевой аксиоматизации никак не претит, что решения ... есть

Хайдук wrote: Да Геделевой аксиоматизации ваще ничего не претит

Если решений нет, значит нет
Если неизвестно, здравствуй Гедель
Все просто

а вот и нет: неполнота в том и состоит, что невыводимо заведомо истинное предложение

Vladimirovich wrote: а вот и нет, это слишком элементарно: может и неизвестно, но мы заведомо знаем, что только одна из двух альтернатив может когда-либо подвернуться истинной, другая была, будет и останется заведомо ложной