Система аксиом евклидовой геометрии современного вида дана Д. Гильбертом в 1899 г. в его книге Основания геометрии, в 5-м издании которой, вышедшем в русском переводе в 1923 г., данная система насчитывает 20 аксиом, разбитых Гильбертом на 5 групп следующим образом:
Система аксиом евклидовой геометрии современного вида дана Д. Гильбертом в 1899 г. в его книге Основания геометрии, в 5-м издании которой, вышедшем в русском переводе в 1923 г., данная система насчитывает 20 аксиом, разбитых Гильбертом на 5 групп следующим образом:
8 + 4 + 5 + 1 + 2 = 20 аксиом, или 40 + 20 + 25 + 5 + 10 = 100 %.
Что можно сказать интересного об этом разбиении?
Из всех пяти групп группа из одной аксиомы - пресловутая аксиома непрерывности (пятый постулат Евклида) - статистически оказывается самой необычной.
Пятый постулат Евклида пресловут не непрерывностью, а параллельностью. До понятия непрерывности руки Евклидовы не дошли
Да и в чем состоит якобы статистическая необычность 5-ого постулата?
Да-да, это опечатка. Имелась в виду аксиома параллельности, конечно. Впрочем, не совсем опечатка. Дело в том, что я рассматриваю не само разбиение 40 + 20 + 25 + 5 + 10 = 100 %, а его приближение - модель 39 + 20 + 26 + 6 + 9 = 100 %. И в этой модели максиминной вершиной оказываются аксиомы порядка, а минимаксной - как раз аксиома параллельности, но с тем же успехом минимаксной вершиной оказываются и аксиомы непрерывности, чего вроде быть не должно, если судить статистически. Поэтому опечатка и произошла.
Что значит статистически? Смотрите, я все время рисую некий граф из 5 вершин и 7 ребер. Из 5 объектов (в данном случае это 5 групп аксиом) можно построить 5!/2 = 60 таких графов (или даже 120, если различать правое и левое, однако я их не различаю). Для каждого их этих 60 графов можно найти экстремальные (максиминную и минимаксную) вершины и тем самым набрать статистику, сколько раз каждая пара вершин может быть экстремальной. При этом возможна некоторая неоднозначность: например, минимаксных вершин будет две, как упомянуто выше, или вдобавок будут вершины не эсктремальные, но почти экстремальные. Так что я рассматриваю два случая: условный и безусловный, в безусловном случае подсчитываются только те графы из 60, где неоднозначности нет, поэтому количество таких графов будет меньше, чем в условном случае. В результате вот какие получаются статистические таблицы.
Римскими цифрами обозначены группы аксиом, как у Гильберта, а после точки - их процент в разбиении. Аксиома параллельности здесь IV.5 (а аксиомы непрерывности - V.10). Видно, что именно она и должна быть минимаксной вершиной (столбец IV.5), притом заведомо не максиминной (строка IV.5). Чисто статистически. Однако на поверку (по модели) это не совсем так. Реализовавшийся вариант - один из жирных 12, а хотелось бы - один из жирных 9.
Не понял вопроса. Хотите, чтобы я скопировал кусочек из книжки Гильберта и выложил тут? Мне, кстати сказать, был безразличен смысл аксиом, я просто взял и проанализировал конкретное разбиение 20 аксиом на 5 групп, даже порядок следования этих групп мне не важен.
В чем смысл какого-либо подобного анализа, ведь разбиение сугубо произвольно, тем более для аксиом, которые невыводимы друг из друга?
Нет, оно не сугубо произвольно, а сделано по смыслу: аксиомы сочетания, порядка, конгруэнтности, параллельности, непрерывности*. И если аксиомы не выводимы друг из друга, то это не значит, что они совершенно независимы.
*Правда, если взять устоявшееся англоязычное издание книги Гильберта, то разложение там несколько иное: 7 + 4 + 1 + 6 + 2 = 20 аксиом. Но это говорит не о том, что разложение вообще произвольно, а о том, что одно разложение может быть лучше, правильнее, точнее другого. Так, англоязычное - хуже, запутаннее.
сделано по смыслу: аксиомы сочетания, порядка, конгруэнтности, параллельности, непрерывности*. И если аксиомы не выводимы друг из друга, то это не значит, что они совершенно независимы.
Ну и что, что некоторые аксиомы обозвали сочетанием, другие порядком и т.д.? Словом дыру не продырявишь.
Можете ли процитировать буквально и вслух аксиомы непрерывности?
Я недоумеваю почему аксиомы сферху обозвали непрерывными? Непрерывность значит отсутствие дыр, пробелов на протяжении чего-либо.
И как полнота системы аксиом сама стала ... аксиомой? Подразумевается, что полноту такую можно доказать или напротив, как же можно утверждать полноту аксиом наперёд, как отдельную аксиому?
Я недоумеваю почему аксиомы сферху обозвали непрерывными? Непрерывность значит отсутствие дыр, пробелов на протяжении чего-либо.
И как полнота системы аксиом сама стала ... аксиомой? Подразумевается, что полноту такую можно доказать или напротив, как же можно утверждать полноту аксиом наперёд, как отдельную аксиому?
Так оно и есть. Без этой аксиомы (непрерывности) возможны дырявые геометрии, в которых все остальные аксиомы имеют место, но не все вещественные числа могут быть декартовыми координами точек, чего в евклидовой геометрии нет. Там на странице, если заметили, есть сноска 13), где это как раз разъясняется.
Могу, конечно, но в данной ветке обсуждать содержание аксиом евклидовой геометрии все же неуместно. А что уместно? Вот если бы кто-то спросил, чем различаются разложение 8 + 4 + 5 + 1 +2 = 20 гильбертовых аксиом и соотношение сил 10 : 6 : 4 : 3 : 2 шахматных фигур (соотношение по аналогии с числом граней и вершин платоновых тел), - вот это было бы уместно.
Аксиомы Гильберта не категорические, так как им удовлетворяют разные модели с точками. Может декартову/непрерывную модель нельзя расширить добавлением элементов, но зато можно сузить удалением таковых с сохранением аксиом Гильберта
Вот если бы кто-то спросил, чем различаются разложение 8 + 4 + 5 + 1 +2 = 20 гильбертовых аксиом и соотношение сил 10 : 6 : 4 : 3 : 2 шахматных фигур (соотношение по аналогии с числом граней и вершин платоновых тел), - вот это было бы уместно.
Вторая последовательность сводится к формуле x[k+1] = (x[k]1) + 1, a первая выглядит хаотическим набором цифр, к степеням двойки примазалась цифра пять, намекая на несовершенство последовательности.
P.S.
Хотя нет, и у первой последовательности есть логика
x[k+2] = x[k]-3
Вторая последовательность сводится к формуле x[k+1] = (x[k]1) + 1, a первая выглядит хаотическим набором цифр, к степеням двойки примазалась цифра пять, намекая на несовершенство последовательности.
P.S.
Хотя нет, и у первой последовательности есть логика
x[k+2] = x[k]-3
Вообще-то, это не последовательности, а множества, т.е. порядок следования элементов не задан. И хотелось бы найти не какой-то порядок, а порядок, эквивалентный требуемому графу. Для чего я поступаю довольно просто: априори задаю набор модельных графов с нужным порядком взаимосвязи вершин (всего 255 таких графов) и выбираю граф из этого набора, ближайший к исследуемому разложению, в данном случае к разложению 40 + 20 + 25 + 5 + 10 = 100 % или разложению 40 + 24 + 16 + 12 + 8 = 100 %. Но если удастся непосредственно найти формулу, из которой получится нужный граф, я буду только рад.
Хайдук написал(а):
Король - самая слабая (окромя пешек) фигура, хоть и самая важная
Нет, в данном варианте 10 : 6 : 4 (Кр) : 3 : 2 король не самая слабая фигура. Если Вы считаете, что соотношение сил на самом деле другое, то давайте его сюда, я построю таблицы и для него.
самоед написал(а):
порядок, эквивалентный требуемому графу
Что это значит?
Имеется в виду, что числа а, б, в, г, д близки (родственны или как-то связаны между собой), если в этой записи они следуют друг за другом непосредственно или через одного (7 таких пар чисел), а иначе они далеки (3 таких пары). Соединяя ребром близкие числа (вершины) и не соединяя далекие, получаем требуемый граф, который я все время здесь рисую и анализирую.
Хайдук написал(а):
А силы каких фигур относятся между собой как 3 : 2 ?
числа а, б, в, г, д близки (родственны или как-то связаны между собой), если в этой записи они следуют друг за другом непосредственно или через одного (7 таких пар чисел), а иначе они далеки (3 таких пары).
Это определение довольно произвольно
самоед написал(а):
слон : конь
Почему слон с конём слабее короля, ведь они шустрее?
Оно было бы довольно произвольно, если не было бы столь продуктивно.
Хайдук написал(а):
Почему слон с конём слабее короля, ведь они шустрее?
Вот нашел на скору руку.
В начале и середине игры это слабая фигура, которую надо всячески оберегать, но к концу партии, когда нет опасности получить мат от немногих фигур, оставшихся на доске, сила короля резко возрастает, колеблясь между силой легкой фигуры и ладьи.
