Извините, при цитировании упустил важную деталь. d - это не любое целое число, а определитель матрицы А.
Собственно, мне вышеприведенное противоречие и увиделось потому что я сам про это забыл. А так, очевидно что все элементы целочисленной матрицы могут делиться на ее определитель только если матрица является скаляром, либо определитель равен по модулю 1.
Еще о целых точках на плоскости. Докажите теорему Минковского: если K - выпуклое множество на плоскости, центрально симметричное относительно начала координат и с площадью 4, то тогда оно содержит по крайней мере одну (а, следовательно, и две) точку с целыми координатами, отличную от (0,0).
Подсказка (выделите мышкой):
используйте лемму Блихфельдта (здесь ее уже упоминал ув. Григорий): если есть множество на плоскости с площадью 1, то оно содержит (по крайней мере) 2 точки (x,y), (z,t), такие, что x-z и y-t - целые числа.
Кажется решил после подсказки.
Как следствие леммы Блихфельдта, в нашем множестве есть пара точек (x1,y1) и (x2,y2) такая, что (x1-x2,y1-y2) - целочисленный вектор с четными значениями. Поскольку (-x2,-y2) тоже принадлежит нашему множеству ввиду центральной симметрии, то и [(x1,y1)+(-x2,-y2)]/2 тоже принадлежит ему ввиду выпуклости, а координаты [(x1,y1)+(-x2,-y2)]/2 - целые, но не (0,0).
Кажется решил после подсказки.
Как следствие леммы Блихфельдта, в нашем множестве есть пара точек (x1,y1) и (x2,y2) такая, что (x1-x2,y1-y2) - целочисленный вектор с четными значениями. Поскольку (-x2,-y2) тоже принадлежит нашему множеству ввиду центральной симметрии, то и [(x1,y1)+(-x2,-y2)]/2 тоже принадлежит ему ввиду выпуклости, а координаты [(x1,y1)+(-x2,-y2)]/2 - целые, но не (0,0).
Вопрос, конечно, интересный. Со школьных времен любил теорию чисел, соответственно в университете долгое время был на кафедре алгебры и логики, но не сложилось. По окончанию университета занимался разными прикладными задачами.Сейчас, по-существу, распознавание образов.
procrastinator, а почему Вы не регестрируетесь? А то Вы заходите как гость, и любой может узурпировать Ваш ник.
Напрашивающийся ответ - потому что procrastinator, но на самом деле - это сознательный выбор, а его причины я обсуждать не хочу. Да и вообще, все это уже давно оффтоп, давайте лучше к математике вернемся.
за уроки немецкого языка он расплачивался колкой и распилкой дров...
Только случай помешал ему начать карьеру акробата (в тот момент
все вакансии были уже заняты).
Это о Крейне, Марке Григорьевиче.
Задачка на применение двух предыдущих задачек про целые точки:
В круглом саду радиуса 50 с центром в начале координат, во всех целых точках (кроме начала координат) растут деревья. Предполагается, что стволы деревьев имеют цилиндрическую форму, с радиусом основания R. Докажите, что если R1/25011/50,0099990, то из начала координат можно увидеть границу сада, но если R1/49,99, то границу совсем не видно за деревьями.
Задачка на применение двух предыдущих задачек про целые точки
А чем плохо чисто геометрическое решение? Проводим прямую, которая касательная для дисков с центрами в (0,1) и (49,1) и проходит через (0,0). Получаем r=1/sqrt(1+R^2)
Я сейчас не настроен решать и даже разбирать, но в Неэлементарных задачах в элементарном изложении помнится задача отмечена 2-мя звоздочками, т е как весьма нелёгкая, потому вряд ли столь простое соображение проходит.
А чем плохо чисто геометрическое решение? Проводим прямую, которая касательная для дисков с центрами в (0,1) и (49,1) и проходит через (0,0). Получаем r=1/sqrt(1+R^2)
Так тоже можно, но это дает решение только первой части (о том, что если R1/2501, то наружу видно). Я там имел в виду вот что: докажем, что из (0,0) видно (50,1). Действительно, рассмотрим дерево, близжайшее к отрезку с концами в этих точках. Тогда, по одной из предыдущих задач, площадь соответствующего треугольника равна 1/2, отсюда вычисляем его высоту и убеждаемся, что она больше радиуса дерева.
Но еще надо доказать, что если R1/49,99 (maybe, даже 1/49,999, лень было считать
Я сейчас не настроен решать и даже разбирать, но в Неэлементарных задачах в элементарном изложении помнится задача отмечена 2-мя звоздочками, т е как весьма нелёгкая, потому вряд ли столь простое соображение проходит.
Думаю, проходит (но только в одну сторону). Как часто бывает, там одна часть значительно проще другой.
Кстати, в этой книге написано, что наружу не видно если R1/50, но приведенное там доказательство ошибочно. Так что я немного подкорректировал условие
Думаю, проходит (но только в одну сторону). Как часто бывает, там одна часть значительно проще другой.
Я, как обычно и бывает если наспех, невнимательно прочитал и второй части не заметил. Но мне кажется, что то простое геометрическое соображение показывает и отсутствие луча проходящего между (1,0) и (2,1) при R1/sqrt(2501). Остается проверить луч проходящий между (1,1) и (2,1). Хотя возможно там элементарной геометрией не отделаешься. Приду домой подумаю.
я имел в виду, что вовсе не секрет, что попытки дать математически строгую базу теории вероятностей были и до Колмогорова. Но,.. как бы это сказать... работающую теорию сделал именно Колмогоров. Поэтому вся слава ему и досталась
И даже он с этим фактом уже ничего сделать не мог.
Мера (на фазовом пространстве) не принижает случайность, как и неустойчивая динамика не принижает динамический хаос. Тем более, что бывает чистая случайность при локализации/измерении ненаблюдаемой нелокальной реальности квантовой механики. Симметрия копеечки является лишь элементом, хоть и веским, симметрии соответствующей меры на фазовом пространстве
Замечательно интересный сборник. Особенно интересна(и забавна) была для меня статья Вавилова. Если Халифман сюда заглядывает, Александр, расскажите, о нём
