Ключевое слово
23 | 05 | 2017
Новости Библиотеки

Шахматы онлайн

Чессбомб

Welcome, Guest
Username: Password: Remember me

TOPIC: Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 18 Март 2017 03:14 #451

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
намертво запутался: что вообще значит "выбрать элемент"? даже не помышляю о каких-то "физических" или даже "конструктивных" действиях, мат. объекты/элементы абстрактны и эзотеричны. Можно ли вообразить настолько "размазанное" множество, что даже об одном-единственном его элементе нельзя помышлять? :O как тогда будем определять отображения/mappings на другие множества/мощности, может не менее "размазанные"? зачитывался в своё время книжкой Теория множеств и метод форсинга Томаса Йеха, у него есть ещё The axiom of сhoice; утверждал, что без АВ будет по существу жуткий хаос :tired:

любой элемент это уже выбор или не? без любого - поскольку все они, хоть их и бесчисленно много, чем-то друг на друга похожи/неотличимы - ничего не докажешь про бесконечность.
Last Edit: 18 Март 2017 11:07 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 18 Март 2017 08:17 #452

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Хайдук wrote:
намертво запутался: что вообще значит "выбрать элемент"?
Это вовсе не тривиально, ув.Хайдук

Существует т.н. Схема отбора и объединения
Она порождает соответствующую аксиому
Выглядит она очень страшно :)
[tex](\forall y)(\exists X)(\forall x)(R\Rightarrow)(x\in X) \Rightarrow (\forall Y)Coll_{x}((\exists y)((y\in Y) \wedge R))[/tex]
Coll это
...коллективизирующее по х соотношение, значит сказать, что существует такое множество а, что объекты, обладающие свойством R, суть в точности элементы из а ...

Разъяснение
... для всякого объекта у существует такое множество X
(которое может зависеть от у),
что объекты х, находящиеся в соотношении R с данным объектом у, суть элементы множества X (не составляя обязательно все множество X).
Схема отбора и объединения утверждает, что если дело обстоит так и если Y есть любое множество,
то существует множество, элементами которого являются в точности все объекты х, находящиеся в соотношении R, хотя бы с одним объектом у из множества Y.

Т.е. так мы может отбирать элементы. На основе некоего свойства, соотношения R
Например - R значит черная ворона. И мы знаем, что вот это - черная ворона(на этом дереве)
Это означает, что мы можем по данной аксиоме отобрать из множества всего всех черных ворон.

Выбрать элемент - значит указать соотношение, которое позволит создать множество из этого одного элемента.
Каждому - своё.
Last Edit: 18 Март 2017 08:22 by Vladimirovich.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 18 Март 2017 14:07 #453

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
даже свойства и соотношения не колышут особо, важно "различить в уме"; обычно всегда можно указать на/перечислить некоторые элементы любого множества, что и есть "конструктив", но результатов "чистого существования" глупо чураться.

если задекларировали/постулировали, то значит существует, таким путём задаём всякие бесконечности и потому они оказываются "актуальными", как-бы "законченными", а не потенциальными, неисчерпаемыми, с которыми башке не управиться :tired:
Last Edit: 18 Март 2017 14:54 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 18 Март 2017 15:19 #454

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Хайдук wrote:
....даже свойства и соотношения не колышут особо, важно "различить в уме"
Чтобы "различить в уме" надобно понять свойства и соотношения
:glasses:
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 18 Март 2017 16:06 #455

  • Alexander
  • Alexander's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 8492
  • Thank you received: 61
  • Karma: 11
Хайдук wrote:
"конструктивность" это лишь другое слово для обозначения конечности :idea:

Совершенно другое понятие. Когда мы можем различать элементы при помощи понятной процедуры, это и есть конструктивность.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 18 Март 2017 16:39 #456

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
но ведь надо определить что такое "процедура", она происходит в уме, не может отличаться принципиально от любых других актов определения/постулирования объектов тем же умом :) ; к примеру, постулирование НЕ конечного множества натуральных никак НЕ хуже любого, якобы конструктивного (поскольку конечного, видимо) натурального. После такого постулирования/фиксирования можем вполне логично, исчерпывающим и конечным образом рассуждать о новом объекте, даже формализовать знаками можем эти рассуждения :yess:
Last Edit: 18 Март 2017 16:41 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 18 Март 2017 16:56 #457

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
к примеру, можем строить вещественные числа сходящимися последовательностями дробей, хотя не можем прогуляться по всем таким последовательностям, поскольку их даже несчётно много; даже не знаем наперёд куда причалит последовательность, поскольку можем выбирать (без особой процедуры и как приспичит) из бесчисленных дробей, лишь бы сходимость сохранялась.
Last Edit: 19 Март 2017 01:43 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 18 Март 2017 17:13 #458

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Alexander wrote:
Совершенно другое понятие. Когда мы можем различать элементы при помощи понятной процедуры, это и есть конструктивность.
А для этого должно существовать соотношение R
Если мы не можем его создать, то нет и выбора.

Вышеупомянутая аксиома отбора прекрасна для тех случаев, когда мы можем создать множество из одного элемента.
Например для множества упорядоченного. Взять наименьший да и всех делов....

Но есть множества, где мы этого обещать не можем. И не знаем этого конструктивно.
И тогда мы вынуждены задействовать более сильную аксиому Цермело.
Если очень нужно. А если нет, то не задействовать.
:beer:
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 19 Март 2017 01:37 #459

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
да, по-видимому с переходом к бесконечностям определяться могут множества, для которых некоторые свойства остаются открытыми, нефиксированными и значит некоторое число допущений могут поиметь место БЕЗ противоречий, в том числе различение/выделение элементов оказывается НЕ обязательным для избежания противоречий :dontknow:
Last Edit: 19 Март 2017 05:46 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 19 Март 2017 05:44 #460

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Хайдук wrote:
.... в том числе различение/выделение элементов оказывается НЕ обязательным
Все наоборот.
Именно потому, что мы НЕ можем выделить элемент, НЕ можем в общем случае с переходом к бесконечностям создать конечное соотношение R для любого подмножества, и создает необходимость введения дополнительной аксиомы Цермело НАД вышеприведенной, более базовой, аксиомой отбора.
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 19 Март 2017 06:05 #461

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
но введение такое не дотягивает до необходимости, поскольку и без введения не будет противоречия, но множества с неотделимыми элементами должны выглядеть странно всё-таки :unsure:

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 19 Март 2017 06:07 #462

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Хайдук wrote:
но введение такое не дотягивает до необходимости, поскольку и без введения не будет противоречия
Дык, это и есть главная проблема аксиомы Цермело.
Она кажется очевидной, и тем не менее лишняя и ведет к парадоксам.
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 19 Март 2017 06:22 #463

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
ну, "парадоксы" не очень сильные и делает множества сравнимыми.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 19 Март 2017 06:25 #464

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Хайдук wrote:
ну, "парадоксы" не очень сильные и делает множества сравнимыми.
Угу...
Например Парадокс Банаха — Тарского
трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80...BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 19 Март 2017 06:29 #465

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
парадокс сей не слишком меня напрягает :lol:

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 19 Март 2017 16:13 #466

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
на самом деле, может не обязательно навязывать АВ везде: теорию больших кардиналов/мощностей можно строить с ней, а там, где выбор слишком уж натяжкой выступает (как с теми же Банахом — Тарским) АВ можно миновать :idea: ; если не ошибаюсь, было и примеров, когда отказ от АВ также приводил к неудобным "парадоксам" :unsure:
Last Edit: 19 Март 2017 17:37 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 19 Март 2017 16:40 #467

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
в действительности все эти вопросы (неполноты, непротиворечивости, АВ, всё возрастающих бесконечностей/мощностей и пр.) довольно эзотеричны и изолированны от практики нормальной "осмысленной" (тем паче прикладной) математики; даже обычной и довольно трудной чистой математикой заниматься какой смысл? :blush:

бОльше смысла будет в потугах близких к кван. физике полей и частиц, поскольку там уже коллайдерам сил не хватает, а космос высоко и далеко :tired: ; не знаю также осталось ли мат. вопросов с заметным идейным, даже философским :lol: значением, которые стОит норовить решить :dontknow:
Last Edit: 20 Март 2017 10:47 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 20 Март 2017 09:13 #468

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Хайдук wrote:
в действительности все эти вопросы (неполноты, непротиворечивости, АВ, всё возрастающих бесконечностей/мощностей и пр.) довольно эзотеричны и изолированы от практики нормальной "осмысленной" (тем паче прикладной) математики; даже обычной и довольно трудной чистой математикой заниматься какой смысл? :blush:

Григорий на Вас нет :lol:
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 29 Март 2017 18:10 #469

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
поскольку обычная логика (Аристотеля) универсальна, то и некоторые знаковые конструкции мат. логики оказываются вездесущими, но далекоидущих выводов лучше не делать: это лишь шелуха-дань конечности и статичности любых мыслей и понятий наших, в любом конкретном случае объекты-термы и их соотношения могут быть дико разными по смыслу, содержанию и сложности. Поэтому я привык обзывать аксиоматической базой всю ту критическую массу, что необходимо заготовить и накопить перед тем, как начать логическую дедукцию, формальную или не не имеет значения.
типичным (и очень глубоким, конечно, одновременно естественным и всё же как-то неожиданным) примером универсальной/общезначимой (истинной в любой интерпретации при любой подстановке любых, прошлых и будущих, термов-объектов и пр.) конструкции в обычной (Аристотеля, то бишь) логике (исчислении предикатов первого порядка) является теорема Гёделя о полноте, то бишь о валидности и незыблемости обычного логического вывода по отношению ко всему и вся (объектам-термам и пр.), щас и во веки веков ( :O ); именно это очень важно, а то, что получена в рамках формализованного контекста тоже важно с оглядкой на эффективность и безошибочность автоматизации логического вывода при помощи компов и пр. :yess:
Last Edit: 30 Март 2017 12:22 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 29 Март 2017 18:39 #470

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
вполне могу ошибаться, но как-будто невмогота сохранить как раз эту полноту логики и ущучивает любые попытки упразднить ту же Гёделеву неполноту арифметики :dumb:

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 29 Март 2017 18:44 #471

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Мне представляется, что Вы, ув.Хайдук, привносите в эту теорему некую магическую сущность...
Безусловно, теорема эта архигениальна и удивительна.

Но, в сущности, она есть лишь математическое представление агностицизма.
В этом ее истинный смысл.
:beer:
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 29 Март 2017 20:28 #472

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
про агностицизм не понял-с :blush:

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 30 Март 2017 05:49 #473

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Это просто. Агностицизм предполагает невозможным познание любых предельных и абсолютных основ реальности.
Теорема Геделя предполагает невозможным доказательство всех возможных утверждений математической теории.
То бишь также отсутствие абсолютных основ.
:beer:
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 30 Март 2017 14:12 #474

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
мне интересно чего конкретно потребуется, дабы откреститься от неполноты арифметики (поскольку видимо неинтуитивна, никто не принимает всерьёз) и в то же время сохранить приемлемую неразрешимость предложений о бесконечности как АВ, континуум-гипотезы и других подобных? :idea: думаю, что логика второго порядка устраняет неполноту и может оставляет другие неразрешимости :dontknow:
Last Edit: 30 Март 2017 14:14 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 30 Март 2017 14:45 #475

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Увы, в логике второго порядка я мало что понимаю :dontknow:
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 30 Март 2017 14:51 #476

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
me too... :hihihi:

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 30 Март 2017 14:51 #477

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
Vladimirovich wrote:
Теорема Геделя предполагает невозможным доказательство всех возможных утверждений математической теории.
неясно почему должно быть так, ведь на практике никто не думает, что в арифметике что-то останется недоказанным и тем самым ущучит правило исключённого третьего; другое дело бесконечность и выбор, это уже понятия/идеи, а понятия могут быть разными, воспаривать могут новые, неожиданные и непредсказуемые :yess:

если могут быть предельные и абсолютные основы, то это основы логики (обычной Аристотелевой и мат. таковой), хотя пошатнул их не Гёдель, а Гегель.
Last Edit: 31 Март 2017 22:26 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Апр 2017 03:18 #478

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
осталось в смутной памяти, что даже конечность множества нельзя определить, наверно без АВ, что может и немудрено: если нельзя выделить/размежевать элементы, то как определить отображение на начальный участок натуральных чисел?

думаю, что логике 1-го порядка запрещено орудовать подмножествами натуральных чисел и потому она надёжна, в отличие от логик 2-го и выше порядков; произвольные такие подмножества представляют видимую проблему и должно ущучивают уверенность в универсальность/общезначимость логики; ХЗ, может доказательство отсутствия решений у некоторого диофантова уравнения требует учёта как-то всех (бесчисленных!, хоть и счётных) наборов N-конечных подмножеств натуральных (N это число диофантовых переменных) и это выходит за пределы 1-логики, но может в 2-логике вполне доказуемо? :dontknow:
Last Edit: 03 Апр 2017 03:49 by Хайдук.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Апр 2017 06:07 #479

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 63792
  • Thank you received: 562
  • Karma: 65
Хайдук wrote:
думаю, что логике 1-го порядка запрещено орудовать подмножествами натуральных чисел
Разве?
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Апр 2017 19:09 #480

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Посадник
  • Posts: 28652
  • Thank you received: 38
  • Karma: 4
Логика второго порядка — расширяет логику первого порядка, позвoляя проводить квантификацию общности и существования не только над атомами, но и над предикатами.
Логика первого порядка квантифицирует только переменные; логика второго порядка допускает также квантификацию над множествами; логика третьего порядка квантифицирует и множества множеств, и так далее.
что такое предикат, то бишь свойство? ответ: множество тех, кто им обладает :idea:
то бишь "свойств" (что такое "свойство"?) нам не нужно, если уже можем различать элементы и формировать из них любые множества :yess:
Last Edit: 03 Апр 2017 19:10 by Хайдук.
Рейтинг@Mail.ru Яндекс цитирования