намертво запутался: что вообще значит "выбрать элемент"? даже не помышляю о каких-то "физических" или даже "конструктивных" действиях, мат. объекты/элементы абстрактны и эзотеричны. Можно ли вообразить настолько "размазанное" множество, что даже об одном-единственном его элементе нельзя помышлять? как тогда будем определять отображения/mappings на другие множества/мощности, может не менее "размазанные"? зачитывался в своё время книжкой Теория множеств и метод форсинга Томаса Йеха, у него есть ещё The axiom of сhoice; утверждал, что без АВ будет по существу жуткий хаос

любой элемент это уже выбор или не? без любого - поскольку все они, хоть их и бесчисленно много, чем-то друг на друга похожи/неотличимы - ничего не докажешь про бесконечность.

Хайдук wrote: Это вовсе не тривиально, ув.Хайдук

Существует т.н. Схема отбора и объединения
Она порождает соответствующую аксиому
Выглядит она очень страшно
[tex](\forall y)(\exists X)(\forall x)(R\Rightarrow)(x\in X) \Rightarrow (\forall Y)Coll_{x}((\exists y)((y\in Y) \wedge R))[/tex]
Coll это
Разъяснение
Т.е. так мы может отбирать элементы. На основе некоего свойства, соотношения R
Например - R значит черная ворона. И мы знаем, что вот это - черная ворона(на этом дереве)
Это означает, что мы можем по данной аксиоме отобрать из множества всего всех черных ворон.

Выбрать элемент - значит указать соотношение, которое позволит создать множество из этого одного элемента.

даже свойства и соотношения не колышут особо, важно "различить в уме"; обычно всегда можно указать на/перечислить некоторые элементы любого множества, что и есть "конструктив", но результатов "чистого существования" глупо чураться.

если задекларировали/постулировали, то значит существует, таким путём задаём всякие бесконечности и потому они оказываются "актуальными", как-бы "законченными", а не потенциальными, неисчерпаемыми, с которыми башке не управиться

Хайдук wrote: Чтобы "различить в уме" надобно понять свойства и соотношения

Хайдук wrote:
Совершенно другое понятие. Когда мы можем различать элементы при помощи понятной процедуры, это и есть конструктивность.

но ведь надо определить что такое "процедура", она происходит в уме, не может отличаться принципиально от любых других актов определения/постулирования объектов тем же умом ; к примеру, постулирование НЕ конечного множества натуральных никак НЕ хуже любого, якобы конструктивного (поскольку конечного, видимо) натурального. После такого постулирования/фиксирования можем вполне логично, исчерпывающим и конечным образом рассуждать о новом объекте, даже формализовать знаками можем эти рассуждения

к примеру, можем строить вещественные числа сходящимися последовательностями дробей, хотя не можем прогуляться по всем таким последовательностям, поскольку их даже несчётно много; даже не знаем наперёд куда причалит последовательность, поскольку можем выбирать (без особой процедуры и как приспичит) из бесчисленных дробей, лишь бы сходимость сохранялась.

Alexander wrote: А для этого должно существовать соотношение R
Если мы не можем его создать, то нет и выбора.

Вышеупомянутая аксиома отбора прекрасна для тех случаев, когда мы можем создать множество из одного элемента.
Например для множества упорядоченного. Взять наименьший да и всех делов....

Но есть множества, где мы этого обещать не можем. И не знаем этого конструктивно.
И тогда мы вынуждены задействовать более сильную аксиому Цермело.
Если очень нужно. А если нет, то не задействовать.

да, по-видимому с переходом к бесконечностям определяться могут множества, для которых некоторые свойства остаются открытыми, нефиксированными и значит некоторое число допущений могут поиметь место БЕЗ противоречий, в том числе различение/выделение элементов оказывается НЕ обязательным для избежания противоречий

Хайдук wrote: Все наоборот.
Именно потому, что мы НЕ можем выделить элемент, НЕ можем в общем случае с переходом к бесконечностям создать конечное соотношение R для любого подмножества, и создает необходимость введения дополнительной аксиомы Цермело НАД вышеприведенной, более базовой, аксиомой отбора.

но введение такое не дотягивает до необходимости, поскольку и без введения не будет противоречия, но множества с неотделимыми элементами должны выглядеть странно всё-таки

Хайдук wrote: Дык, это и есть главная проблема аксиомы Цермело.
Она кажется очевидной, и тем не менее лишняя и ведет к парадоксам.

ну, "парадоксы" не очень сильные и делает множества сравнимыми.

Хайдук wrote: Угу...
Например Парадокс Банаха — Тарского
трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80...BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE

парадокс сей не слишком меня напрягает

на самом деле, может не обязательно навязывать АВ везде: теорию больших кардиналов/мощностей можно строить с ней, а там, где выбор слишком уж натяжкой выступает (как с теми же Банахом — Тарским) АВ можно миновать ; если не ошибаюсь, было и примеров, когда отказ от АВ также приводил к неудобным "парадоксам"

в действительности все эти вопросы (неполноты, непротиворечивости, АВ, всё возрастающих бесконечностей/мощностей и пр.) довольно эзотеричны и изолированны от практики нормальной "осмысленной" (тем паче прикладной) математики; даже обычной и довольно трудной чистой математикой заниматься какой смысл?

бОльше смысла будет в потугах близких к кван. физике полей и частиц, поскольку там уже коллайдерам сил не хватает, а космос высоко и далеко ; не знаю также осталось ли мат. вопросов с заметным идейным, даже философским значением, которые стОит норовить решить

Хайдук wrote:
Григорий на Вас нет

типичным (и очень глубоким, конечно, одновременно естественным и всё же как-то неожиданным) примером универсальной/общезначимой (истинной в любой интерпретации при любой подстановке любых, прошлых и будущих, термов-объектов и пр.) конструкции в обычной (Аристотеля, то бишь) логике (исчислении предикатов первого порядка) является теорема Гёделя о полноте, то бишь о валидности и незыблемости обычного логического вывода по отношению ко всему и вся (объектам-термам и пр.), щас и во веки веков ( ); именно это очень важно, а то, что получена в рамках формализованного контекста тоже важно с оглядкой на эффективность и безошибочность автоматизации логического вывода при помощи компов и пр.

вполне могу ошибаться, но как-будто невмогота сохранить как раз эту полноту логики и ущучивает любые попытки упразднить ту же Гёделеву неполноту арифметики

Мне представляется, что Вы, ув.Хайдук, привносите в эту теорему некую магическую сущность...
Безусловно, теорема эта архигениальна и удивительна.

Но, в сущности, она есть лишь математическое представление агностицизма.
В этом ее истинный смысл.

про агностицизм не понял-с

Это просто. Агностицизм предполагает невозможным познание любых предельных и абсолютных основ реальности.
Теорема Геделя предполагает невозможным доказательство всех возможных утверждений математической теории.
То бишь также отсутствие абсолютных основ.

мне интересно чего конкретно потребуется, дабы откреститься от неполноты арифметики (поскольку видимо неинтуитивна, никто не принимает всерьёз) и в то же время сохранить приемлемую неразрешимость предложений о бесконечности как АВ, континуум-гипотезы и других подобных? думаю, что логика второго порядка устраняет неполноту и может оставляет другие неразрешимости

Увы, в логике второго порядка я мало что понимаю

me too...

Vladimirovich wrote: неясно почему должно быть так, ведь на практике никто не думает, что в арифметике что-то останется недоказанным и тем самым ущучит правило исключённого третьего; другое дело бесконечность и выбор, это уже понятия/идеи, а понятия могут быть разными, воспаривать могут новые, неожиданные и непредсказуемые

если могут быть предельные и абсолютные основы, то это основы логики (обычной Аристотелевой и мат. таковой), хотя пошатнул их не Гёдель, а Гегель.

осталось в смутной памяти, что даже конечность множества нельзя определить, наверно без АВ, что может и немудрено: если нельзя выделить/размежевать элементы, то как определить отображение на начальный участок натуральных чисел?

думаю, что логике 1-го порядка запрещено орудовать подмножествами натуральных чисел и потому она надёжна, в отличие от логик 2-го и выше порядков; произвольные такие подмножества представляют видимую проблему и должно ущучивают уверенность в универсальность/общезначимость логики; ХЗ, может доказательство отсутствия решений у некоторого диофантова уравнения требует учёта как-то всех (бесчисленных!, хоть и счётных) наборов N-конечных подмножеств натуральных (N это число диофантовых переменных) и это выходит за пределы 1-логики, но может в 2-логике вполне доказуемо?

Хайдук wrote: Разве?

что такое предикат, то бишь свойство? ответ: множество тех, кто им обладает
то бишь "свойств" (что такое "свойство"?) нам не нужно, если уже можем различать элементы и формировать из них любые множества