угу, сложная и тонкая, ув. Владимирович, строгие формальные методы зарекомендовали себя, по-видимому, несколько слабенькими, недотягивающими ; думаю, что даже и без них нащупали бы, что за пределами (поскольку осмысленными вообще) счётного всякой ху*ни может быть.


наше мышление дискретно, в лучшем/потенциальном случае оно счётно: любые понятия и идеи конечны и зафиксированы по смыслу своему, застывшие, даже о бесконечности думаем как об "актуальной", заданной; потому и наши якобы строгие методы хвастаются ... дискретными (и убогими) знакосочетаниями

на практике неполнота никого не колышет - флаг в руки любому к любым аксиомам присобачивать новые, если это поможет получить хоть какие-то осмысленные и интересные/полезные результаты

независимость/недоказуемость аксиомы выбора, АВ, очень показательна, хоть и совершенно неожиданная, "неестественная" с точки зрения интуиции (конечного, однако!).

выбрать элемент из множества таковых это значит различить, отделить, идентифицировать того, что не вызывает сомнений для (и только!) конечных множеств; если задуматься даже над счётным множеством (вполне упорядоченных/well-ordered натуральных чисел, скажем), то увидим, что различить, отделить, идентифицировать как-то НЕ проходит: после "выбора-удаления" счётное множество останется абсолютно таким же самым, не подвинется ни на йоту, его можно будет переупорядочить и замуровать "дырку" путём перемещения/отодвижения её нахъ в бесконечность и значит не будет уверенности вышибли ли что-нибудь вообще или не - вот тебе и логическая независимость, даже для области счётного

иногда признают лишь одну счётную АВ (на/из не более, чем счётных множествах), хотя такой "выбор" представляется ничем не лучшим, чем на/из любых несчётных множествах

Вообще лучше бы на Григорий просветил, но проблема тут не в идентификации вроде, а в упорядочении.

Невозможно построить в общем случае конструктивную процедуру выбора элемента из любого подмножества.
Бесконечный перебор тут не катит.
Если бы в каждом множестве был наименьший элемент, то аксиома не нужна.

Но натуральный ряд имеет в каждом подмножестве наименьший элемент
Мне кажется, вопросы с аксиомой выбора - изнанка строгой последовательной аксиоматизации предмета. Принять ее - и все дела

Alexander wrote: Все правильно.
Поэтому для натурального ряда это не аксиома, а теорема.

кстати да, щас вспомнил, что АВ эквивалентна вполне упорядочению как у натуральных - без неё не будет шкалы мощностей, а будет хаос их частичного порядка с несравнимыми мощностями

Увы, достопочтенный Григорий не спешит просветить нас, ламеров в этом вопросе

Alexander wrote: думаю, что единственной такой изнанкой будет неполнота арифметики - не знаю что именно является причиной того, что обычное интуитивное доказательство как-бы нельзя полностью отобразить в строгое

в отличие и если задуматься, АВ действительно не будет такой уж "естественной"

Vladimirovich wrote:
Хорошо, а на тоже счетном множестве целых чисел как с аксиомой выбора?

Хайдук wrote: Ну, нравятся несравнимые мощности - можно и забить на АВ

Alexander wrote: возражение хорошее - тоже кажется, что нет особой разницы между наименьшим и наибОльшим, а второго у натуральных нет

Alexander wrote:
Вроде как она тут не аксиома.

Alexander wrote: можно, хотя восцарится неинтересный хаос типа anything goes

Да, но разве нельзя вполне упорядочить целые числа? Например, используя взаимно однозначное соответствие с натуральными

можно, но может самО это соответствие использовать будет ... АВ?

Ну почему-же:
1 2 3 4 5
0 1 -1 2 -2
и т.д.

Все конструктивненько

это соответствие и я поимел в виду, может второй ряд использует неявно АВ? не уверен

Наверняка нет. Но чувствую, что без помощи Григория мы слабы и беспомощны

что значит "выбрать", выделить элемент? к примеру, может о некотором множестве знаем только то, что конечное и НЕ пустое, как и что можем "выбрать"?

безусловно пересчёт/пронумеровка (натуральными числами как номерами/ординалами) любого множества вполне упорядочивает это множество и значит на любом подмножестве всегда можно будет выбрать/выделить элемент, поскольку по меньшей мере единственный таковой будет УЖЕ выделенным как наименьший, с лёгкой руки вполне упорядочения.

стало быть, можно представить себе неупорядоченные множества или такие с всюду плотным или даже полным порядком как у действительных чисел, где некого выбрать по причине отсутствия выделенного наименьшего.

у меня лично даже проблема с выбором на натуральных, поскольку можем бесконечно откладывать того и тогда выберем хренъ

с выбором на бесконечных множествах вроде напрягъ, поскольку бесконечность суть идея/концепция (в принципе все идеи и концепции конечные, кстати, когда уже устаканились как строгие/научные и однозначные ), а НЕ неограниченно большое число элементов

Как бы это все ни напрягало, конструктивные методы должны действовать. В том числе указанный выше

выше это хде, кем?
"конструктивность" это лишь другое слово для обозначения конечности

Хайдук wrote:
Нет, конечно.
Если мы сможем сказать, что [tex]\forall X бла-бла-бла[/tex] ...
...То все хорошо

не понял

Хайдук wrote: Что именно?

как бла-бла-бла... конечно/конструктивно?

Признак Коши помните? Вот по этой схеме.

но там эпсилон и дельта конечные, хоть и любые.

ну и вот