Vladimirovich написал(а):Это именно аксиома, просто с ней самые тупые свойства ординалов выводятся на пару шагов быстрей. Только и всего. А так - это просто ДАНЬ, ТРАДИЦИЯ системе Цермело и Френкеля, у которых почти половина аксиом не ими сформулирована (аксиома Кантора о множестве подмножеств, например).

Гады вы все.

Прочитал у вас про аксиому выбора, вспомнил про парадокс удвоения шара, для какового необходимо пять частей... и всплыло, как Иисус народ хлебами накормил, здесь есть у одного мальчика пять хлебов ячменных и две рыбки; но что это для такого множества?

Теперь сижу и думаю из-за вас...
А как он рыбку-то умножал? С хлебом мне теперь все более-менее ясно...

onedrey написал(а):Рыбка топологически гомеоморфна хлебу

Но их же было всего две...

onedrey написал(а):Но большие. А хлебы были маленькие, но пять...

Теперь разобрался!

Grigoriy wrote:
Кое-кто ( vk.com/topic-21168_25189006?post=196550 ) утверждает, что "арифметика действительных чисел арифметику натуральных не включает".

Там упоминается теория вещественно-замкнутых полей, которая разрешима и абсолютно полна.

Есть ли авторитетный источник, утверждающий, что теория действительных чисел включает или не включает в себя формальную арифметику натуральных чисел?

Такого не может быть, скорее всего, раз речь идёт об арифметике действительных чисел, расширяющей и совместимой с арифметикой натуральных.

Однако и если не ошибаюсь, в мат. логике ошиваются некие теории действительных чисел, которые проще в смысле, что НЕ обладают неполнотой по Гёделю, чем знаменита формальная арифметика натуральных чисел

Видимо, к нам стали обращаться за экспертные советы по любым вопросам . Так держать-с, товарищи!

У нас в начале этой темы была буйная дискуссия по этому поводу
Меня все еще терзают смутные сомнения...

denis_73, смотрю подглядываешь на сайте именно щас, как смотрится ответ сферху на твой вопрос?

У меня такое впечатление, что я что-то не понимаю. Интересно было бы узнать, что именно...
Различные теории действительных чисел не эквивалентны друг другу?
Например, если есть некое корректное утверждение о действительных числах, то будет ли это утверждение (или его отрицание) выводимо или невыводимо одинаково во всех этих теориях?
Если вопрос задаю неправильно, поясните, что не так.

К сожалению, я не знаком с точными деталями. Думаю, что если теория действительных чисел полная по Гёделю, то она НЕ содержит ВСЕЙ арифметики Пеано, которая наверняка неполная по тому же Гёделю. Наверное такие теории действительных чисел НЕ содержат всего мат. анализа, каким того знаем с универа и пр.

denis_73 wrote: Я не знаю о верных/корректных по Вашему, но недоказуемых утверждениях о действительных числах в какой-либо теории (мат. логики). Все такие утверждения как-будто остаются арифметическими, хотя в принципе ничто не должно мешать существованию недоказуемых фактов о собственно действительных числах, если теория последних содержит как подтеорию неполную арифметику Пеано.

Хайдук wrote: Кое-где мне намекнули, что «в теории вещественно-замкнутых полей нельзя построить такую формулу, которую можно было бы интерпретировать как утверждение "x - натуральное число"». Если это действительно так, то утверждения формальной арифметики, наверно, действительно нельзя автоматически перенести в эту теорию вещественно-замкнутых полей. Но хотелось бы увидеть доказательство...

denis_73 wrote: Если подойти опять же формально, то поле вещественных чисел включает в себя натуральные и утверждение "x - натуральное число" никуда не исчезает и тут. И тут и тут есть поле, у которого есть 0 и 1 - два нуля по сложению и умножению. Примерно это самое мне хотел сказать Григорий, и я вполне его понимаю.
Поэтому в указанном смысле теория вещественных чисел есть просто расширение чисел натуральных и, как следствие, неполна.

Сомнения же мои были связаны с попыткой представить себе, каким образом аксиоматика Пеано влияет на геделевщину и можно ли как-нибудь попробовать ее вырезать и посмотреть, что получится.
К сожалению, я понял, что мне придется (для начала только) надолго засесть за доказательство Геделя и много думать

Vladimirovich wrote: или две единицы?

denis_73 wrote: Я не знаю что такое вещественно-замкнутые поля. Но в теории действительных чисел целые строятся очевидным образом - как результаты сложения 1 и -1 с самими собой.

Арифметика только натуральных со сложением и умножением это ни группа, ни полугруппа, ни поле (что такое кольцо забыл), может в этом причина? Не надо также забывать, что арифметика со сложением только (не ли полугруппа это?) все-таки полна . С другой стороны, неполная арифметика Пеано как-будто полностью включена в поле действительных чисел и значит почему бы не вызывать неполноту?

Vladimirovich wrote: Как я понял, та самая теория действительных чисел, которая разрешима и абсолютно полна (теория вещественно-замкнутых полей) строится без использования понятия натуральных чисел. И без рациональных. Она не включает аксиому индукции. И натуральные числа там не определимы. Можно утверждать, например, что [tex]A=1[/tex] или что [tex]A=2[/tex] или что [tex](A=1)\lor(A=2)\lor(A=3)[/tex], но нет бесконечно длинной формулы, невозможно построить формулу [tex]F(A)[/tex], которая верна тогда и только тогда, когда A — натуральное число (добавление в теорию предиката [tex]F(A)[/tex], который выделяет натуральные числа среди действительных чисел, делает её неразрешимой). Поэтому формулы формальной арифметики невозможно перевести на язык этой теории действительных чисел.

Я вообще говоря, не очень в курсе, но мне кажется, Денис, что Вы начитались бредовых текстов каких-то выпендривающихся идиотов, вводящих собственную терминологию. Типа:
mathhelpplanet.com/static.php?p=formaliz...tematicheskoy-teorii
В то время как вот что такое вещесственно-закнутыые поля в нормальной математической литературе:
bookzie.com/book_877_glava_99_5.18.3._PR..._OBJAZANNOSTI_U.html
(Такое же определение даёт и Ленг).
Как видим, ничего общего.
Изначально же вообще речь шла не о формальных теориях, а о бредовом выступлении каког-то выпендривающегося болвана, заявившего, что в теории вещественных чисел мы не можем говорить о натуральных - нет средств для их выделения. Он вообще очевидно ничего не пониомал,а услышал обсуждение специалистов какой-то специальной формальной теории, и не сообразил. что к нормальным вещественным числам их "вещественные числа" отношение имеют весьма косвенное.
Мoй личный совет, даже 2:
1. Не читайте бред.
2. Не читайте текстов, понять которые Вы не в состоянии.

Скорее всего теория вещественно-замкнутых полей слишком слабая, дабы содержать вещественные числа мат. анализа. Уже то, что разрешима, свидетельствует о её ограниченности, как правило реалистические теории неразрешимы.

Grigoriy wrote: Ну, Григорий, мы то все давно уже привыкли к Вашему правдолюбскому походу к дискуссии...
Но те, кто недавно пришел, этого еще не знают.
Вот объяснили бы нам, вместо того, чтобы бредами кидаться

Давайте, я сформулирую так.
Допустим, мы выкинули из теории аксиоматику Пеано. Понятно, множество теорем окажется недоказуемым, какие то термы потеряют смысл, но...
Что-то останется. Что, я не представляю, но исчезнет не все.
По крайней мере свойства поля останутся, думаю.

Вот будет, то что останется, по прежнему теорией неполной по Геделю или нет.
That is the question

Заглянул по ссылке: последний абзацнапомнил НЫНЕШНЮЮ ситуацию: арифметика нулевого множества (пустого множества). Прямое такое оно непротиворечивое, что дух захватывает: точно доказано что и сложение и умножение и вычитание выполняется...
А весь текс (по ссылке) напомнил мне Дискретную математику для инженера... Там почти все тоже есть... З павагай к профессионалам

Grigoriy wrote:
en.wikipedia.org/wiki/Real_closed_field
Цитирую: "The theory of real closed fields is complete, o-minimal and decidable".
Как я понимаю, это означает, что теория полна и разрешима.

Вот по этой ссылке тоже говорится о разрешимости и полноте: mathhelpplanet.com/static.php?p=formaliz...aticheskoy-teorii#a7

Бред?

"Алгебры" Ван дер Вардена и Ленга - классические учебники, по которым десятки лет во всём мире учатся математики, кроме того, книга Вандер Вардена - эпоха в математике вообще. То, что товарищи общепринятый термин использовали в своей работе для совершенно другого понятия с большой вероятностью говорит нам, что это или неквалифицированные люди или узкая секта.
B обоих случаях читать их не стоит(во 2-м случае - людям,не заинтересованным специально их конкретными проблемами). Кроме того, речь, как я уже сказал, шла совсем не о том, о чём Вы упорно пытаетесь говорить, и что неумно - ибо это крайне специальная тема, и здесь вряд ли найдутся в ней компетентные

Grigoriy wrote: Давайте, без демагогии.
en.wikipedia.org/wiki/Real_closed_field
mathhelpplanet.com/static.php?p=formaliz...aticheskoy-teorii#a7
Всё-таки, по этим ссылкам тоже бред?
Где-то в bookzie.com/book_877_glava_99_5.18.3._PR..._OBJAZANNOSTI_U.html сказано про определимость натуральных чисел в теории вещественно-закнутых полей?
Считаете ли Вы теорию вещественно-замкнутых полей разрешимой и полной?
Считаете ли Вы, что в ней определимы натуральные числа?

денис, нужно внимательно посмотреть на аксиомы этой теории вещественно-замкнутых полей, а также на аксиомы арифметики Пеано. Дальше по Вашей ссылке, mathhelpplanet.com/static.php?p=formaliz...ticheskoy-teorii#a11, видно, что теории мат. анализа совсем другие, чем вещественные поля, эти теории НЕполные и вырастают из арифметики Пеано. Алгебраическим системам (как вопросным вещественным полям) наверное не хватает плотного и даже полного упорядочения, может само понятие расстояния не определено и пр., а всем этим отличаются вещественные числа настоящего мат. анализа по Ньютону-Лейбницу

Денис, Вы упрямы и наглы. Эти замечательные качества, применяемые в соответствующем месте, без сомнения принесут Вам жизненный успех. Но не думаю, что математика - соответствующее место.

Григорий, не надо отпугивать товарища, ведь мы тут сами не знакомы с вопросом, благо нашёл дальше по ссылке про мат. анализ