Когда относятся к самим себе, высказывания могут утверждать что-то только о синтаксической/знаковой структуре, внешний смысл/значение самих этих знаков отсутствует и значит отсутствует вопрос истины/лжи.
В своей знаменитой теореме о неполноте Гёдель использовал близкое по структуре к липовому парадоксу лжеца, но все-таки существенно осмысленное предложение: То, что щас выговариваю, недоказуемо (в арифметике). Не ложно, как в парадоксе лжеца, а недоказуемо . В отличие от ложности, недоказуемость есть синтаксическое понятие, относящееся к самим знакам, словам и предложениям языка, чье существование есть тривиальный эмпирический факт. Так как у Гёделя сами натуральные числа с арифметикой играли роль знакового языка, предложение То, что щас выговариваю, недоказуемо оказалось очевидно-верным арифметическим фактом, вроде 2+2=4, и в то же время истинным в своем утверждении (прo синтаксис!), что само оно на самом деле невыводимо (как грамматическая конструкция) из остальных структур знакового языка, то бишь из самой ... арифметики !!
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
02 Окт 2011 23:00 #212
Gdel's theorem in nutshell:
Предложение Гёделя То, что щас выговариваю, недоказуемо (в формальной арифметике Пеано) является истинным для синтаксиса формальной арифметики, потому что предложение это на самом деле НЕ выводимо из аксиом формального языка для арифметики Пеано. Так как этот формальный язык составлен самими ... натуральными числами с арифметикой, синтаксическая истинность предложения транслируется в истинное, очевидно-верное (типа 2+2=4) арифметическое утверждение, НЕ выводимое из аксиом арифметики !!
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
03 Окт 2011 05:30 #213
Хайдук написал(а):
В своей знаменитой теореме о неполноте Гёдель использовал близкое по структуре к липовому парадоксу лжеца, но все-таки существенно осмысленное предложение: То, что щас выговариваю, недоказуемо (в арифметике).
Я честно говоря не знаю, что там было в оригинале, но вроде бы теорема Геделя (доказательство ея) может обойтись без таких трюков
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
03 Окт 2011 15:38 #214
Как раз трюк с предложением То, что щас выговариваю, недоказуемо обеспечивает универсальность и неустранимость неполноты по Гёделю. Такое предложение можно построить в любой формальной системе, включающей арифметику (Пеано). Даже если добавим это недоказуемое предложение (и значит соответствующее ему очевидно-верное арифметическое утверждение) как новую аксиому к формальной арифметике, в расширенной таким образом арифметике найдётся точно такое же предложение! Выходит, что предложения типа То, что щас выговариваю, недоказуемо можно явно, конструктивно построить в любом расширении формальной арифметики. Стало быть, недоказуемых аксиом у формальной арифметики по меньшей мере счётно-бесконечное число. Такое наводит на мысль, что могут быть и другие недоказуемые предложения, отличные от предложений типа То, что щас выговариваю, недоказуемо. Таких предложений уже найдено несколько, скажем, обобщённая теорема Рамсея в комбинаторике (Парис-Харингтон) и т.д.
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
03 Окт 2011 20:06 #215
Уникальность Гёделева предложения То, что щас выговариваю, недоказуемо состоит в том, что по самому смыслу своему оно обеспечивает недоказуемость и притом существует эффективный алгоритм, по которому можно построить такое предложение в любой модели арифметики (Пеано)
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
05 Окт 2011 00:55 #216
Как можно надеяться доказать неполноту какой бы то ни было (формальной) теории? Нужно будет доказать существование недоказуемых предложений в любом расширении/модели теории. Такое доказательство существования должно быть, скорее всего, конструктивным, то бишь придётся явно/эксплицитно строить такие предложения. Стало быть, должна быть эффективная процедура/алгоритм для такого построения. Это значит, что невыводимые предложения будут обладать, скорее всего, подобными, стандартными синтаксисом с семантикой/смыслом, что безусловно очевидно для предложений вида То, что щас выговариваю, недоказуемо
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
05 Окт 2011 05:29 #217
Хайдук написал(а):
Как можно надеяться доказать неполноту какой бы то ни было (формальной) теории? Нужно будет доказать существование недоказуемых предложений в любом расширении/модели теории. Такое доказательство существования должно быть, скорее всего, конструктивным, то бишь придётся явно/эксплицитно строить такие предложения. Стало быть, должна быть эффективная процедура/алгоритм для такого построения.
Вот пример Матиясевича из Вики
Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение
не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо.
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
05 Окт 2011 17:05 #219
для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо.
Последнее как-будто существенно, а то неимение решений в неотрицательных целых числах может можно было бы доказать в теории. Вообще неполные теории отличаются вроде как раз неперечислимым набором аксиом
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
05 Окт 2011 18:58 #221
Неперечислимое множество аксиом не может быть сгенерировано алгоритмом, такие теории всегда неполны по Гёделю. Если не ошибаюсь, встречал такие примеры (окромя арифметики), но не припомню, к сожалению
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
05 Окт 2011 19:41 #223
Может я ошибся: аксиомы наверное не могут быть неперечислимыми, по определению, иначе мы просто не будем знать какие у нас есть аксиомы вообще, не сможем их идентифицировать и распознать!
И арифметика должна быть неперечислимой в конце концов, мерещится мне. Если можно было перечислить (алгоритмом) все недоказуемые предложения (в отличие от перечислимых аксиом Пеано), тогда арифметика оказалась бы полной. Ведь невыводимые предложения по существу суть ... аксиомы
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
05 Окт 2011 19:52 #224
Хайдук написал(а):
Может я ошибся: аксиомы наверное не могут быть неперечислимыми, по определению, иначе мы просто не будем знать какие у нас есть аксиомы вообще, не сможем их идентифицировать и распознать!
Это интересная мысль. Но мне представляется, ее нужно доказать, ибо неочевидно.
Хайдук написал(а):
Ведь невыводимые предложения по существу суть ... аксиомы
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
06 Нояб 2011 03:17 #225
Как жаль, что Сергей из Бразилии съе***со, видимо, с форума и некому показать почему, по-видимому, арифметика является собственной частью теории множеств
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
06 Нояб 2011 06:19 #226
Хайдук написал(а):
Может я ошибся: аксиомы наверное не могут быть неперечислимыми, по определению, иначе мы просто не будем знать какие у нас есть аксиомы вообще, не сможем их идентифицировать и распознать!
ГИ: Это интересная мысль. Но мне представляется, ее нужно доказать, ибо неочевидно.
В 1арифметике жизни естественнее предположить что главноначальная есть одна единственная аксиома и её принципиальнодостаточно: Фсе счётно(с).
Не зря же Энштейн считал, что чем меньше постулатов в основии теори, тем лучше.
infoliokrat комментирует... свою 1арифметику так:
Подбирая эпиграф к
абарончая зброя братоЎ нашых меншых
вершападобныя замалёўкi ў трох частках ЧАСТка I //infolio.at.tut.by/default.html
остановился на высказывании таком: Мы должны всё время ещё и ещё раз предупреждать об опасности; мы можем и должны всеми силами добиваться того, чтобы народы мира и особенно их правительства прониклись сознанием всего ужаса катастрофы, которую они наверняка вызовут, если не изменят своего отношения друг к другу и своего подхода к задаче построения будущего.
А. Энштейн
Не зря же Он при обосновании ТО выбрал только 2 постулата: чем меньше постулатов в основе теории, тем шире круг вопросов, освещаемых ею.(цитирую по памяти).
Так как меньше чем хотя бы одного постулата не должно быть, то получается, что всегда и во всем, для всех, должен быть хотя бы 1 общепринятый постулат, значит необходимо, но возможно и недостаточно, чтобы хотя бы одна аксиома была общеприемлемой
5 ноября 2011 г. 23:08
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
06 Нояб 2011 19:18 #227
То, что щас выговариваю, недоказуемо (в арифметике). Не ложно, как в парадоксе лжеца, а недоказуемо . В отличие от ложности, недоказуемость есть синтаксическое понятие, относящееся к самим знакам, словам и предложениям языка, чье существование есть тривиальный эмпирический факт. Так как у Гёделя сами натуральные числа с арифметикой играли роль знакового языка, предложение То, что щас выговариваю, недоказуемо оказалось очевидно-верным арифметическим фактом, вроде 2+2=4, и в то же время истинным в своем утверждении (прo синтаксис!), что само оно на самом деле невыводимо (как грамматическая конструкция) из остальных структур знакового языка, то бишь из самой ... арифметики
Звучит почти как непреложная единственно верная истина
1)информационно-абстрактная (формально математически, логически непоколебимо и исходя из общепринятых аксиом)
2) но многие помнят и иные времена (А все-таки она вертится! или: дурак ваш Нансен. Если партия прикажет, человек любой холод победит)
3) а может мы сейчас на стадии Земли плоской на ТРЕХ китах вокруг которой все вращается?
Как по мне= это все из-за вашей любимой непоколебимой бесконечности, ув. Учитель учителя. (И главный довод, что ОНА есть, мол потому, что там еще никто не был, никто не достиг края, мол поэтому его - границы - нет!). А может отправная точка - единственно верная только сама себе? Нет точки опоры чтобы перевернуть голую правду? (Помните, еще в Философии науки на КаспаровЧесс, когда еще не было в Сети всевозможных Вселенная измерена! мы о границах судили по разному)
З павагай к уверенным
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
24 Дек 2011 09:32 #228
Хайдук написал(а):
Как жаль, что Сергей из Бразилии съе***со, видимо, с форума и некому показать почему, по-видимому, арифметика является собственной частью теории множеств
Ни фига себе - ответ вроде напрашивается простой: сложение с умножением реализуются соответственно операциями объединение А
В с декартовым произведением А Х В (упорядоченных пар {a,b} элементов сответственно А и В) дизъюнктных (непересекающихся) конечных множетсв
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
12 Май 2012 11:10 #229
Хайдук написал(а):
По существу ув. Vladimirovich задаёт выше очень интересный вопрос: существуют ли другие аксиоматические системы, помимо арифметики натуральных чисел, для которых можно явно и всегда построить недоказуемые в них утверждения?
Да. Мало того, арифметика с двумя операциями неполна согласно теореме Геделя только в логике первого порядка. В логике второго порядка теорема Геделя несправедлива - арифметика там полна.
Зато сама логика второго порядка - это просто чудо, она неполна.
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
12 Май 2012 15:09 #235
Хайдук написал(а):
Может я ошибся: аксиомы наверное не могут быть неперечислимыми, по определению, иначе мы просто не будем знать какие у нас есть аксиомы вообще, не сможем их идентифицировать и распознать!
Вы не ошибаетесь. Это - следствие того факта, что для любой аксиомы должен быть алгоритм, распознающий, является ли данная формула аксиомой (то есть это - разрешимое множество относительно перечислимого множества формул). Ну а далее - разрешимое поднмножество перечислимого множества перечислимо.
Хайдук написал(а):
Как можно надеяться доказать неполноту какой бы то ни было (формальной) теории? Нужно будет доказать существование недоказуемых предложений в любом расширении/модели теории. Такое доказательство существования должно быть, скорее всего, конструктивным, то бишь придётся явно/эксплицитно строить такие предложения. Стало быть, должна быть эффективная процедура/алгоритм для такого построения. Это значит, что невыводимые предложения будут обладать, скорее всего, подобными, стандартными синтаксисом с семантикой/смыслом, что безусловно очевидно для предложений вида То, что щас выговариваю, недоказуемо
Совсем необязательно. Достаточно доказать несовпадение множеств истинных и доказуемых выражений в непротиворечивой дедуктике.
Vladimirovich написал(а):
Хайдук написал(а):
В своей знаменитой теореме о неполноте Гёдель использовал близкое по структуре к липовому парадоксу лжеца, но все-таки существенно осмысленное предложение: То, что щас выговариваю, недоказуемо (в арифметике).Я честно говоря не знаю, что там было в оригинале, но вроде бы теорема Геделя (доказательство ея) может обойтись без таких трюков
Подпись автораКаждому - свое
Можно и без такого трюка, достаточно доказать неперечислимость множества истинных формул.
