Хайдук wrote:
Может, я неверно выразился, но под "асимптотикой" каждого из трех значений функции мю я понимаю его долю на отрезке [1, N] значений ее аргумента, когда N стремится к бесконечности. Чтобы подсчитать эти доли, я отыскал программу вычисления функции мю.

mathoverflow.net/questions/99473/calculating-mobius-function

Работает довольно быстро, даже очень. Правда, она получает сразу весь массив значений мю - на всем отрезке [1, N], напрягая память, и в мой компьютер не влезает массив, длиннее N = 300 миллионов. Однако этого вполне достаточно.

Вот еще что интересно. Именно Мёбиус ввел понятие барицентрических координат, хотя они в общем случае не связаны с понятием цвета.

Что такое выписанное выше #FFD9C0? Это 16-ричное обозначение RGB-координат (255, 217, 192) указанного цвета натурального ряда. А что такое полученные доли, или веса, (0.3040, 0.3921, 0.3040)? Это как раз и есть барицентрические координаты (в системе sRBG) того же самого.

Про барицентричекие координаты есть книжка 1987 г. в Библиотечке Квант.
Когда-то давно я ее читал, но про цвет, по-моему, там чего-то не то написано.



Скачал здесь.

самоед2 wrote: а каковы сами асимптотические (на бесконечности) значения этих 3-ёх долей (-1 , 0, 1), ведь "подсчитать" на бесконечном отрезке как-бы нельзя-с?

Хайдук wrote:
Сумма всех значений на отрезке [1, N] с ростом N осциллирует вокруг 0, а амплитуда медленно растет.

самоед2 wrote: сумма этих долей всегда равна 1 и значит осцилировать вокруг 0 будет затруднительно, самоед

сумма не этих долей осциллирует, а самих значений, которая называется функцией Мертенса

Поскольку ув. самоед очень любит цвета ему должна понравиться следующая простая задача. Имеется игральная кость грани которой покрашены в различные цвета. Выпадание граней можно считать независимыми равновероятными событиями. Если после n бросков было обнаружено M различных цветов, то каково ожидаемое значение числа граней у кости?

Опыт показывает, что невыпадение даже одной грани - практически невероятное событие, так что М в ответе. Во всяком случае, при n >> M.

самоед2 wrote: Ну а как быть, когда такое условие не выполняется, например когда граней очень много?

PP wrote:
Пусть тогда всего цветов ожидается Х. Фиксируем конкретный набор из М цветов с вероятностью 1/C(X, M). Вероятность, что после n бросаний накопится именно этот набор, будет (M/X)ⁿ. Остается максимизировать произведение этих вероятностей при X > M и n > M. Думаю, тогда получится, что X = M, а n любое. Wolframalpha почему-то не хочет максимизировать. 

самоед2 wrote: Надо быть проще и тогда Wolframalpha начнет максимизировать. В своем первом посте вы выразили верную мыслькоторую надо слегка развить.

PP wrote:
Вообще-то максимизирует. Видимо, иногда он просто сильно занят. Каждый раз, действительно, получается Х = М, а вот с n интереснее: если n не задавать, то у него почему-то получается три значения.

Вероятность невыподания грани при броске есть (1-1/N). Вероятность невыпадания после n бросков (1-1/N)^n. Значит E(N-M) = N x (1-1/N)^n => M = Nx(1-(1-1/N)^n)
Если N большое, то M = N x (1-exp(-n/N)). Например если M=999, a n=1000, то wolframalpha дает N=499667.

PP wrote:
А что будет, если M/N = 1 - (1 - 1/N)ⁿ, например, при M = n = 10? Тогда 1/N = 0. Что же, N бесконечность?

самоед2 wrote: Так точно. Недостаток метода.

самоед2 wrote: сомневаюсь, что это именно асимптотические доли на бесконечности, такие вряд ли можно определить и вычислить (путем неких сходимостей) ; тем более, что амплитуда случайных осцилляций функции Мертенса вокруг 0 растет неограниченно приблизительно как [tex]\sqrt{N}[/tex]

Хайдук wrote: Ничего удивительного в этом нет. Возьмите для примера функцию x·sin(x). Ee интеграл на отрезке [0, X] равен sin(X) - X·cos(X) и раскачивается на бесконечности до бесконечности. Однако доли положительных и отрицательных значений функции x·sin(x) всегда различаются не более чем на [tex]\pi[/tex]/X и поэтому стремятся на бесконечности к 1/2.

В тему

habrahabr.ru/post/53883/

Я не понял, это еще один метод обобщенного суммирования рядов или какой-то метод ad hoc? Упоминаемые там методы Чезаро и Абеля дают для сходящихся рядов обычную сумму. А этот что даст?

самоед2 wrote: Т.е. знакопеременный ряд? Иначе в чем смысл? З павагай

самоед2 wrote: Это метод регуляризации дзета-функции ( кстати она связана с функцией Мебиуса)
en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_regularization

Для "нормальных" значений, где ряд сходится, сумма обычна ессно.
А для -1 используется аналитическое продолжение
1+2+3+... соответствует [tex]\zeta[/tex](-1)

Что же, всякий сходящийся ряд является значением дзета-функции при некотором s, как тот при s = -1?

самоед2 wrote: Не всякий. А определенного вида.

самоед2 wrote: понятно, что раскачивание до бесконечности по пути к бесконечности в принципе не мешает сходимости долей, но как-будто доли эти (-1, 0, +1) НЕ интересны математикам . Кстати, я не совсем понимаю пример с x.sin(x): об ее значениях или о площадях/интегралах под ее графиком идет речь? В каком смысле ее значения обладают долями (то бишь являются частями ЧЕГО ?) и как пришли к значению [tex]\pi[/tex]/Х ?

Хайдук wrote: В этом примере мы рассматриваем сумму тех интервалов на отрезке [0, X], где функция положительна, и сумму тех интервалов на том же отрезке, где функция отрицательна (а точками, где функция равна 0, пренебрегаем). Все интервалы имеют длину [tex]\pi[/tex] и чередуются, поэтому их суммы при любом X отличаются не более чем на [tex]\pi[/tex], а эти же суммы, отнесенные к длине отрезка [0, X], они и есть доли положительных и отрицательных значений функции, отличаются не более чем на [tex]\pi/Х[/tex].

Возьмем последовательность всех простых чисел, относя к ней и единицу, и раскрасим эту последовательность периодически в красный, зеленый и синий цвета:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... .

Рассмотрим теперь совокупность всех простых множителей натуральных чисел от 1 до N, учитывая кратность этих множителей (т.е. учитывая их много раз) и включая сюда один раз единицу. Как вы думаете, доля красных, доля зеленых и доля синих членов этой совокупности будет куда-нибудь стремиться с увеличением N?

Я вот посчитал эти доли - красную, зеленую и синюю соответственно, в %:

17.9, 52.9, 29.2 при N = 100;
19.9, 50.1, 30.0 при N = 1000;
21.2, 48.5, 30.3 при N = 10000;
22.1, 47.5, 30.5 при N = 100000;
22.6, 46.7, 30.6 при N = 1000000.

В случае 100 тысяч компьютер потратил 8 секунд, а в случае миллиона - 11.5 минут. Дальше потребовались бы, надо думать, часы и десятки часов... Поэтому дальше я считать не стал.

Как вы думаете, сравняются ли на бесконечности эти доли между собой? Т.е. стремятся ли все они к 1/3? Стремление вроде как наметилось, только вот куда?

самоед2 wrote: это было первое, о чем я и подумал . Тем не менее считаю, что НЕ имеем дело с какой-либо сходимостью вообще: доли [tex]+[/tex] и [tex]-[/tex] значений колеблются между [tex]\displaystyle \frac{x}{2}[/tex] и [tex]\displaystyle \frac{x}{2} + \pi[/tex] и соответственно [tex]\displaystyle \frac{x}{2}[/tex] и [tex]\displaystyle \frac{x}{2}-\pi[/tex], и значит НИ к чему НЕ сходятся; точно так же сам [tex]\displaystyle sin(x)[/tex] осциллирует между [tex]+1[/tex] и [tex]-1[/tex], НЕ приплывая ни к какому пределу

8 разов