infoliokrat написал(а):Что ж, тут я с Вами не согласен, см. выше.

infoliokrat написал(а):Если я Вас правильно понял, то да, счетное.

infoliokrat написал(а):Что такое, собственно, 1математика, и унарная система счисления? На всякий случай: только единицами можно закодировать лишь счетное число объектов, и поэтому записать все действительные числа (даже только из интервала (0,1)) таким образом невозможно.

infoliokrat написал(а):Что такое длина числа? Наверняка, однако, можно записать ЛЮБОЕ число лишь тремья цифрами 0, 1 и 2

infoliokrat написал(а):Если намекаете на 2 координаты комплексных чисел и 4 координаты кватернионов Гамильтона, то должен Вас разочаровать: бывают ещё лишь числа (октонионы Келли) с 8-ью координатами и других чисел, в частности с тремья координатами, НЕ бывает

infoliokrat написал(а):Кстати, у векторов может быть любое число координат: 1, 2, 3, 4, ..., но, к сожалению, векторы не числа

Хайдук написал(а):infoliokrat написал(а):Если такая строка - естественно бесконечная- меет в бесконечности между соседними (ближайшими) 0 все увеличивающееся количество 1 (2 в степени N!, причем, представляю, любое n), то коль оно- строка, то будет счетным такое каждое число, кажись так.
Остается дело за малым- предположить, что последнюю цифру в одной отдельно взятой строке можно записать первой в новой 1строке... Это варварский прием часто используется при трактовке счетного- несчетного.

infoliokrat написал(а):Отдельное число не может быть счётным или несчётным, а лишь множество чисел бывает счётным или несчётным

infoliokrat написал(а):В бесконечной строке последней цифры попросту не существует . К примеру, у Вашей строки 1011110111111110.... какая цифра последняя, 0 или 1?

Serge_P написал(а):Что ж, тут я с Вами не согласен, см. выше. Может надо было мне уточнить, что при построении такого бесконечного числа от 0 и до 1, каждое промежуточно - естественно конечное, будет иметь последнюю значащую цифру 1.

А вот у бесконечного- согласитесь, при предположении наличия различных бесконечных чисел- есть только 2 варианта последней цифры- либо 0 либо 1. А последний ноль можно считать незначащим. Пока плохо соображается, а хорошо зевается...

..что в 1математикеЧто такое, собственно, 1математика, - пока гипотетическая, ноглавное, что любое число в ней можно записать в виде набора одинаковых знаков-т.н.(разделителя типа зпт, палочки другого типа)и опять цифр, типа палочек-единичек-ноликов 111111111... Я такую запись придумал, после того как прочитал, как строится диагональное число Кантора, отличающееся от первого- первой цифрой, от второго - второй и т.д.
Если я Вас правильно понял, то да, счетное. получится состоит из последовательности скольугодно длинных наборов единичек для любых 2 в степени N которое трудно сосчитать, без учета отсутствия всяких временных и прочих демонов.

На всякий случай: только единицами можно закодировать лишь счетное число объектов, и поэтому записать все действительные числа (даже только из интервала (0,1)) таким образом невозможно.
Против этого по существующим канонан нельзя идти, мне кажется, только по определению. (Да и всевозможные иррациональные, использующиеся в жизни, в каких-либо доказательствах математических обязательно либо записываются приблизительно= каким то рациональным, либо через специальные значки типа корня квадратного, а не только с помощью цифр и запятой
А несчетность их- уже почти как неуловимый ДЖО- никому не требуется, понимаю, что это (в рамках нынездравствующей математики с количеством натуральных не равномощных АЛЕФ) мне только кажется. Жаль, что при 1записи только с целыми числами удобно выполнять арифметические действия, а дробные части- приходится кодировать-декодировать, что, к слову, и обеспечивает требование при 1записи обязательно подразумевать или обозначать в какой десятичной или двоичной или иной системе обозначается подлинник числа. Правда тут крамолы особой нет, ведь набор 1 и 0 только в неправильных тетрадях тестах по информатике считается что обозначает число, записанное в двоичной системе.

Из ВИКИ
Конвей Дж., Смит Д. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях. М.: МЦНМО, 2009.

Хайдук написал(а):Но если геометрическая интерпретация чисел разной длины имеет любое количество независимых координат, которые имеют независимые свои конкретные числа для каждой отдельной - то это и будут числа разной длины.
Так число вида а +ib +jc где a+ib комплексное, а j память последействия- для запоминания последнего действия и с какими именно числами, и при этом сложение и умножение этих единиц определено, то и получим тройной длины числа. А 1/0 как такую составляющую я использовал до 1992 года, когда пытался ТРИАЛИЗМ а не инфолиократность обосновать. Не помню, может именно из-за некомутативности забросил, или из-за того - что триализм, как материализм, - вымысел недоказуемый.

infoliokrat написал(а):Кем используется? Чего там трактовать?

infoliokrat написал(а):Но точно такое же число можно построить и другим образом, так, что у каждого промежуточного последняя цифра будет 0. Если понятие последней цифры будет зависеть от способа построения, то это нехорошо, так как таких способов бесконечно много, и ни один из них априори не лучше другого.

Кстати, Вы так и не ответили на мой вопрос, каким образом Вы собираетесь записывать последовательность 010110111011110... в обратном порядке.

infoliokrat написал(а):Не соглашусь. По моему скромному мнению, последней цифры нет вообще.

infoliokrat написал(а):И как записать таким образом, скажем, корень из двух?

infoliokrat написал(а):Не обязательно

infoliokrat написал(а):Еще как требуется. И многим людям

infoliokrat написал(а):Что такое подлинник числа? Еще раз, чтобы определить понятие действительного числа, никакие системы счисления вообще не нужны. Скажем, какой подлинник у отношения длины окружности к ее диаметру?

Хайдук написал(а):Ну, числами можно объявить все, что угодно, никто ж не запрещает. Возьмем, для примера, комплексные числа. Чтобы их определить, совсем не обязательно говорить о каких-то корнях из (-1); достаточно рассмотреть матрицы 2х2 вида
(a,-b)
(b, a)
Тогда, относительно матричных сложения и умножения, они образуют поле, и легко показать что это поле изоморфно полю комплексных чисел в обычном смысле. А значит, мы имеем право называть такие матрицы комплексными числами.

Другое дело, что придумать какие-то новые числа легко, трудно, чтобы они оказались реально полезными. Вот без действительных и комплексных чисел совсем никуда, а, скажем без тех же кватернионов, не говоря уж об октавах, можно было бы и обойтись. Так что, если ув. infoliokrat хочет определить числа тройной длины, то ему никто не запрещает это сделать. Проблема только в том, какое применение этим числам найти потом?..

Инфолиократа, насколько я понимаю, интересует и мучит вот что - не определение, что такое числа и с чем их едят - о чём Вы, Сергей, пытаетесь говорить, а ощущение, что число каждый раз - результат какой-то операции, которая к нему привела - и существует оно только вместе с ней. И он хочет раздуть число в бесконечное и бесконечномерное многообразие, точки которого - число с предисторией его возникновения. Т е для него число - не статический обьект аксиоматической теории, а живой динамический обьект.
Хотеть не вредно. Равно как считать своё понимание глубоким постижением мира.

infoliokrat написал(а):Чё-то не нахожу смысла в этих словах

Grigoriy написал(а):Григорий, думаю, Вы правы. Но я и не возражаю, в принципе, против такого подхода: можно вводить свои понятия числа, сколь угодно сложные. Но, как без сомнения понимает и ув. Инфолиократ, это понятие следует корректно формализовать, определить операции над числами и т.д., иначе от философских разговоров далеко уйти не удастся. И вот эти попытки формализации пока, к сожалению, не выдерживают критики.

Grigoriy написал(а):Экий Вы, Григорий, злопамятный
Мы с Вами в одном месте из блаженного Августина определений не сошлись

Которая из 3-ек числа 0,33333... последняя?

Мне кажется, дружище инфолиократ, что некоторые из представлений Ваших неточные, неоднозначные, внутренне противоречивые и потому не могут быть воспроизведены мною, Сергеем, Григорием. Бесконечность тем и отличается от конечного, что у неё нету ... конца, нету последнего . Иногда обозначают последовательность ВСЕХ натуральных числом алеф0 - самое маленькое бесконечное число. У алеф0 нету предшественника в виде натурального числа, так как нельзя указать на такое натуральное. У любого натурального N есть натуральный предшественник N-1, но алеф0 - 1 не есть натуральное число и потому у алеф0 предшественника нет. алеф0 является первым примером так называемых сингулярных (ординальных и кардинальных) чисел. Бывают числа алеф0+1, алеф0+2, алеф0+3, ... Эти числа, хоть и бесконечные, но у любого из них, как можно догадаться, предшественник есть. Скажем, у последних трёх предшественники соответственно алеф0, алеф0+1 и алеф0+2. Бесконечные числа, у которых есть предшественник, называют регулярными.

Отредактировано Хайдук (2010-07-18 20:11:58)

Vladimirovich написал(а):Я думаю, что Григорий тогда попросту не оценил глубины и нетривиальности Ваших мыслей, ув. Vladimirovich - ведь речь шла о неполноте по Гёделю действительных чисел

btw, welcome back

Serge_P написал(а):А применение найти трудно, потому что оказывается невозможным определить числа тройной длины или какой-либо там еще и в то же время сохранить естественные для операций с (любыми) числами законы: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный. Наш друг инфолиократ должен знать, что хотя идея новых чисел по аналогии с комплексными естественна и приходила в башку кому не лень, лишь Гамильтону (кватернионы) и Келли (октавы, октонионы) улыбнулось счастье. Даже доказано, что при некоторых естественных и довольно общих условиях других таких чисел быть не может

infoliokrat написал(а):Способ записи не важен - важно существование самого числа и совокупностей таковых. Конечным способом (знаками чернилом на бумаге или на экране компа) можно обозначить лишь счётное (пронумерованное натуральными числами) множество чисел, а самих чисел оказывается бОльше, то бишь их несчётно бесконечно много . Потому приходится иметь удобный и полезный способ обозначения, учитывающий эту фундаментальную несчётность чисел. Бесконечные (десятичные, восьмеричные, троичные, двоичные, но НЕ единичные/1математичные, к сожалению ) дроби оказались таким способом как раз благодаря потенциальной бесконечности развёртывания цифр справа от запяты . Феномен несчётности существует исключительно в области бесконечного и потому способ записи должен обеспечивать эту потенциальную возможность . Дело в том, что множество ВСЕХ возможных КОНЕЧНЫХ наборов (скажем, десятичных) цифр за запятой остаётся безнадёжно счётным и только переход к бесконечным наборам цифр обеспечивает наконец возможность как-бы объять несчётное множество (действительных) чисел

Хайдук написал(а):infoliokrat написал(а):Т.е. получается, что такое число с ничем неограниченн(ое)ым множествоМ единиц и нулей, в котором каждая очередная последовательность единиц от 0 до ближайшего 0 будет равна (в перспективе!) любому числу типа 2 в степени N, которая рано или поздно будет естественно всегда бесконечной тоже счетная, хотя множество чисел 2 в бесконечной степени - несчетное.
На мой взгляд т.н. парадоксы с множествами всех множеств именно из-за того и существуют, что элементы и множества смешиваются в кучу.
Дело в том, что множество ВСЕХ возможных КОНЕЧНЫХ наборов (скажем, десятичных) цифр за запятой остаётся безнадёжно счётным и только переход к бесконечным наборам цифр обеспечивает наконец возможность как-бы объять несчётное множество (действительных) чисел Т.е. в одной строке и будут сидеть наборы единичек = 2 в бесконечной степени.

Отредактировано infoliokrat (2010-07-19 00:46:41)

Это варварский прием часто используется при трактовке счетного- несчетного....

Serge_P написал(а):Типа так:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Омега является порядковым типом множества всех натуральных чисел.
А теперь сделаем вот такой хитрый ход: возьмем и перенесем единичку в самый конец, после многоточия (когда все натуральные числа мы уже перечислили). Вот так:

{2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1}

Сначала заметим, что у множества без единички на конце: {2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} ординальное число , потому это множество изоморфно всему натуральному ряду:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
______ _
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

Множество же {2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1} натуральному ряду не изоморфно, потому что для последней единички (наибольшего элемента множества) в натуральном ряду нет соответствующего элемента.
Этому множеству (также вполне упорядоченному, только порядок мы слегка поменяли) будет соответствовать кардинальное число +1, потому что после всего у нас стоит еще один элемент!
+1 {2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1}
Эту цепочку нетрудно продолжить: это с --
Аналогично рассматриваются и сначала четные, а потом нечетные числа...
А вот что будет, если каждому бесконечному натуральному из континуума (гипотетических, которых пока нет) будет соответствовать ТОЛЬКО своё персональное обозначение, т.е. тот самый подлинник, который появится, если вы мне подскажете, как в виде десятичной дроби записывается в нынешней математике число ПИ
Serge_P написал(а):Если нет такой (полной и окончательной) записи 10-тью цифрами, то и только единицами не будет, будут только приближения 111, сорок одна1=3,14 или 111, пять тысяч сто сорок одна1 = 3,1415

Serge_P написал(а):если это целое число, то первый ноль не значащий, если набор символов - то пока еще континууи я не сосчитал, т.е последний может быть или 0 или 1, но если это число 0,010110111011110..., то предполагаю, что последние 0 не могут быть- они не значащие. К слову- а если нам абсолютно неизвестно и несущественно, как располагаются там, в конце бесконечности знаки, то тем более можно согласиться, что при записи чисел только 1 цифрой, без никаких 0, последней можно считать 1.
И, безусловно, как в БЛЕФ_КЛУБе, правильно сделаете, т.к. Ваше утверждение

Serge_P написал(а):в общепринятой математике ИСТИНА.
А что будет в 1математике- будет видно, после определения нюансов записи самого малого (не обязательно всех действий- для выполнения вычислений она не конструируется, так, для оценки САБЖ).
И как записать таким образом, скажем, корень из двух? Аналогично: под знаком радикала 11, или так, как принято 1,41= 11,(14)1

Grigoriy написал(а):А если оно-число это- сохранится где-бы его не применяли, будет трактоваться всеми одинаково однозначно (а записываться может у каждого по своему, хоть римскими цифрами, хоть бесконечными 1111111111111...)- то это будет +
Спасибо за взгляд на возможность записывать каждое любое число хоть бесконечным (если не удается конечным) набором 1
Grigoriy написал(а):+ Вам,
а что касается постижения- то предостережение понял, тут пока наоборот- в iks вся моя ИКС - это только точка, пока, как и слово МИР, но весь Мир- как минумум всe точки всей координатной системы iks, в которой каждое направление в свою очередь у каждого человека может состоять из КРАТНОГО числа своих координат.

Serge_P написал(а):(Пока сам себе соболезновать только могу- однозначно, не иначе..)
Вот когда все алефы построятся в колонну по одному и сомкнутся единой цепью, рассчитаются на первый второй тогда, надеюсь, появится просвет.
Пока же есть общепринятый ряд натуральных омег алефов - но
когда не только
Ряд имеет фундаментальные отличия от ряда W. Он прост по существу: на нем справедливы принципы классической логики и конечной арифметики, его счетное множество является не бесконечным, а конечным, а также ряд не имеет в известном смысле не только наибольшего бесконечного числа, но и наименьшего бесконечного числа: -- наименьшей и ± наибольшей бесконечностей. Его архитектура существенно отличается от архитектуры ряда W и заключается в том, что ряд может быть разбит на пять классов: -начальный класс, он же — счетное множество N=0,1,2,…,N-1 всех конечных чисел. Его кардинал N называется конечным числом Кагота. , а всё будет мыслимо счетным... А что, и спросить (помечтать) нельзя?

Отредактировано infoliokrat (2010-07-19 02:03:05)

infoliokrat написал(а):ОК, Вы скопировали сюда кусок довольно толковой статьи про ординалы, вместе с опечатками (не кардинальное число +1, а ординальное число +1) Но какое это имеет отношение к трактовке счетного-несчетного, не понял. Счетное/несчетное - это про кардиналы, а не про ординалы.

infoliokrat написал(а):Записать на практике число в виде бесконечной десятичной дроби невозможно, так как это потребует бесконечного времени, бумаги, и тонера (естественно, можно строго доказать, что иррационально, а потому выражается бесконечной непериодической десятичной дробью). Можно, однако, написать компьютерную программу, которая будет выдавать правильные знаки один за другим. В этом смысле число вычислимо. Но ответьте мне на такой вопрос: предположим, на планете Плюк живут аборигены, у которых по 6 пальцев на руках, и потому они пользуются двенадцатиричной системой счисления. Можно ли сказать, что у их числа (или как оно у них там называется) другой подлинник, т.е., их число чем-то отличается от нашего?

infoliokrat написал(а):Если речь идет просто о последовательности, то там все элементы значащие, в том числе нули. Но не суть; рассмотрите тогда последовательность
121221222122221...

infoliokrat написал(а):Можно!

Хочется сказать пару слов вообще по теме
Если проследить, как развивалось понятие числа с течением времени, то бросается в глаза неуемная жажда экстраполяции. Из простого мира натуральных чисел 1, 2...n и дробей n/m с не очень большими n, m возникли целые и рациональные числа как существующие законченные объекты. Хотя где человек видел (или еще как-либо ощущал) реальную бесконечность — совершенно непонятно. Ясное дело, этого оказалось недостаточно, и поле рациональных чисел замкнули, что привело к точно существующим, действительным числам, и как побочный эффект — к бесконечности другого типа, большей мощности. Человека остановить трудно, и появились комплексные числа, кватернионы. Правда, Фробениус пресек прогресс в этом направлении, а то несомненно сейчас рассматривался бы какой-нибудь бесконечномерный случай, который, конечно же, обладал бы массой ценных и полезных математических свойств
С другой стороны, эти числа отлично работают в обычном мире, поэтому польза от интеллектуальных упражнений несомненна. Но если рассматривать геометрию (не другие изыски — геометрию Лобаческого и т.д.), а очень маленьких расстояний, то из-за квантовых дел не кажется очевидной даже столь простая аксиома аксиоматики Гильберта, что между двумя точками на отрезке всегда существует третья, лежащая между ними, не говоря уже о таких сложных (и в силу использования бесконечности не до конца четких) утверждениях типа принципа вложенных отрезков Коши—Кантора. Поэтому не исключено, что существует более реальная и очень нетривиальная геометрия (а следовательно, и алгебра), в которой, может быть, и обычный, и квантовый мир будут описываться относительно просто. И с каким противодействием столкнется ее возможный гениальный изобретатель?

Alexander написал(а):В каком смысле пересек? Неужели бесконечномерные числа возможны?

Хайдук написал(а):Не пересек, а пресек. Шутка юмора такая, может, не очень удачная

Хайдук написал(а):Вы не поверите...

Вот, скажем, самосопряженные линейные операторы на бесконечномерных Гильбертовых пространствах. Их (операторы) можно складывать, перемножать; при определенных условиях извлекать корни, брать логарифм, экспоненту, и т.д. Бывает операторнозначный интеграл (весьма важный в квантовой механике, кстати), у полугрупп операторов бывает т.н. генератор, который, в сущности, есть аналог производной. Более того, можно и отношение (частичного) порядка на них ввести: некоторым естественным образом определяется понятие положительного оператора, а дальше говорим, что AB если A-B0. Ну, спрашивается, и чем эти операторы не числа? То есть, разумеется, числами их называть не принято, но, ежели у кого-то возникнет такое желание, то вряд ли в этом будет большой криминал.

Имхо, число - это вообще не математическое понятие. То есть, действительные числа, комплексные числа, ординальные числа, натуральные числа и т.д. являются математическими понятиями, а вот просто число - нет. В общем, нет четких правил насчет какие математические объекты называть числами, а какие нет, есть просто традиция. Скажем, один из способов ввести комплексные числа - это рассмотреть матрицы 2x2 специального вида; в то же время, матрицы вообще числами называть не принято.

Alexander написал(а):Не исключено. Все может быть
А гениальный изобретатель ни с каким противодействием не столкнется, если сформулирует свою теорию математически строго, логичным и ясным образом.

Alexander написал(а):А в каком смысле Фробениус пресек прогресс?

Serge_P написал(а):Несомненно . А все-таки интересно почему так получилось, что именно действительными числами измеряют расстояния, меру (в смысле площадь, объем) и т.д.? Могли бы также измерять, скажем, континуумом Суслина, который отличается от действительной прямой лишь отсутствием всюду плотного счётного подмножества (рациональных чисел)?