Ведь сохраняются вероятности и их потоки, а не амплитуды перехода.
Я выше написал, что пока не уверен, что поток Fij = Ri*Cij (где Cij - амплитуда перехода, а Ri - потенциал (ВФ?)) можно интерпретировать как поток вероятности. Поскольку в этом случае величина потока должна быть вроде как действительным числом.
Я не проверял, выполняется ли это требование, но навскидку не совсем ясно, с чего оно должно выполняться.
Я не проверял, выполняется ли это требование, но навскидку не совсем ясно, с чего оно должно выполняться.
Щас глянул. Поток - тоже комплексный. Баланс выполняется, ес-но, как для мнимой, так и для действ. частей. Физ. смысл этого потока пока от меня ускользает.
Отфиксирую, что следует разделять два разных понятия - амплитуды переходов и амплитуды конечных состояний (у Фейнмана как-то смутно про это, или просто я не вникал).
Волновая функция - это амплитуда пребывания в состоянии - потенциал узла.
Вычисляется как сумма произведений амплитуд всех возможных переходов в данное состояние.
То есть вроде как амплитуды состояний и амплитуды переходов - это не одно и то же. Мы же не смешиваем турнирные очки и е-рейтинг
, ну или сопротивление и напряжение (в эл. сети).
Амплитуда попадания частицы из состояния S в состояние T - это амплитуда ее пребывания в состоянии T. Именно поэтому она рассчитывается как сумма перемноженных амплитуд всех возможных переходов. И, кстати, такой расчет справедлив только при условии, что источник S и конечное состояние T связаны в цикл (иначе потока не будет).
Глянул, на что же обычно в КМ умножают амплитуду состояний (потенциал узла),- на гамильтонову матрицу H. То есть амплитуды переходов и коэф-ты матрицы Hij - это одно и то же? Тогда поток - это и есть произведение волновой функции i-го состояния на коэфф-т матрицы переходов Hij.
Да, марковские цепи из той же оперы.
Я чуть позже отпишу подробнее, что и как на самом деле. А то я тут в поиске соответствий понятий немного сам запутался и других путаю...
Аспирант из Беркли по некоммутативной геометрии прошлым летом как-то сказал мне, что интегрирование/меру Фейнмана по путям не удаётся строго обосновать...
Аспирант из Беркли по некоммутативной геометрии прошлым летом как-то сказал мне, что интегрирование/меру Фейнмана по путям не удаётся строго обосновать...
Это демонстрирует разницу между математиками и физиками-теоретиками.
Хайдук написал: Аспирант из Беркли по некоммутативной геометрии прошлым летом как-то сказал мне, что интегрирование/меру Фейнмана по путям не удаётся строго обосновать...
Это демонстрирует разницу между математиками и физиками-теоретиками.
Я подозреваю, что тут может зарыта некая фундаментальная собака (или кошка а ля Шредингера)
Кратко излагаю трактовку КМ на основе потоков в графах.
Набор узлов графа - это вектор состояний системы (набор базовых состояний), каждый узел - компонента (координата вектора состояния).
Ребра, соединяющие узлы, - это амплитуды переходов между базовыми состояниями (узлами графа). Обозначим как Hij.
Граф должен быть циклическим - для образования потока между узлами. В каждом узле соблюдается баланс потока.
Требуется рассчитать стационарные потоки, проходящие через ребра и узлы графа, на основе матрицы Hij.
С точки зрения изложенной ранее (в ветке про графы) методики расчета нам надо рассчитать потенциалы узлов графа Ri. Тогда поток от узла j к узлу i будет определяться произведением Ri*Hij (система линейна).
Нюанс (про который я уже упоминал в ветке про ранжирование в соц. сетях) в том, что в отличие от марковских цепей (и от алгоритма ранжирования сайтов PageRanking, кстати, тоже) мы не накладываем заранее никаких ограничений на коэффициенты матрицы Hij. То есть мы не нормируем их (в марковских же цепях предопределен инвариант, что сумма всех вероятностей перехода из узла должна быть равна 1).
В чем проявляется нюанс? В том, что рассчитывамые при произвольных Hij потенциалы графа Ri не являются амплитудами пребывания в i-м состоянии. В самом деле - потенциалы узлов графа не зависят от величины диагональных элементов матрицы переходов H (как не зависит е-рейтинг от результата игры с самим собой
), в уравнении баланса - входящий и исходящий собственный поток взаимно сокращаются.
Для расчета амплитуды пребывания в в i-м состоянии (Ci) необходимо суммировать все входящие потоки через i-й узел - Ri*Hij. На данную величину диагональные элементы матрицы H влияют существенным образом (диагональный элемент - амплитуда перехода из состояния в него же):
Ci = Sum(Ri*Hij, j) (1) - волновая функция i-го узла
На что похожа ф-ла (1)? Правильно,- на разложение волновой функции по амплитудам базовых состояний.
Теперь вроде бы все сходится (все величины обретают соотв. физ. смысл).
Но самое интересное в этой трактовке (с чего, собс-но, все и началось) - это то, что решение для Ri - это и есть суммирование произведения амплитуд по всем (нециклическим) путям, ведущим в i-й узел. То есть нахождение потока амплитуд в графе объясняет базовые постулаты КМ - что откуда берется и почему.
Теперь можно, например, сравнить, каким допущениям (в терминах КМ) соответствуют приближенные решения для потенциалов, которые я приводил в ветке про потенциалы графов. Вдруг неизвестны?
Да, еще интересно, что такие стационарные системы можно считать абсолютно точно до десятков узлов (а с 2, 3-мя и 4-мя узлами - в экселе по формулам).
... Мой пост про связь потенциалов узлов графа и расчета амплитуды волновой функции физиками как бы проигнорирован , поэтому машу флажком еще раз.
Праздники, война с атеистами, выборы...
Прощенья просим.
Magin написал(а):
То есть, по Фейнману - это просто постулат,- мол, КМ так работает.
Да. Разрешено все, что не запрещено. Вот и все объяснение.
Magin написал(а):
Но если рассматривать волновую функцию как потенциалы всех встречающихся по пути узлов (S и T - тоже узлы), и соблюдать баланс потока (пока неважно, что за поток) во всех узлах, то оказывается, что принцип перемножения амплитуд путей (исключая циклы) становится следствием требования баланса потока, а никак не первичным постулатом.
Мне кажется, что баланс потока ничем не отличается от требования к нормировке ВФ.
Magin написал(а):
Такой трактовки принципов КМ я не встречал. Хотя, возможно, она известна.
Очень похоже на формализм в терминах матрицы плотности за исключением нюансов типа:
Quantrinas написал(а):
Magin написал(а):
Что-то ведь еще скрывается под этим вопросом?
Да ничего особенного.
Я просто пока не разобрался, имеем ли мы дело с одной математичкой моделью, или двумя разными. Ведь сохраняются вероятности и их потоки, а не амплитуды перехода.
Кое-что скрывается. У меня образ такой: амплитуда - это вид случайной траектории процесса и комплексность говорит о минимум двух степенях свободы (2-х обобщенных координатах), а вероятность - это некоторая статистическая характеристика данного случайного процесса.
Если говорить о математической модели, то описание квантовых систем на языке ВФ и на языке МП до сих пор считалось математически эквивалентным. Хотя, кое-какие потери информации в формализме МП есть. Опять же -мне так кажется.
Magin написал(а):
Щас глянул. Поток - тоже комплексный. Баланс выполняется, ес-но, как для мнимой, так и для действ. частей. Физ. смысл этого потока пока от меня ускользает.
Поток не обязан ограничиваться 4D пространством. Тем более, если вводить понятие рождение-уничтожение частиц. Физики зарезервировали комплексное пространство для таких чудес, чтобы было откуда брать материю. Инварианты-то должны сохраняться при всех трансформациях. Об этом уже говорилось на ветке про атеизм.
Magin написал(а):
Волновая функция - это амплитуда пребывания в состоянии - потенциал узла.
Не очевидно. Почему-то хочется видеть ВФ неким пространственным образованием. Да и вообще, ВФ довольно информативна. Хотя, возможно, некоторые св-ва ВФ совпадают с предложенной трактовкой.
Ребра, соединяющие узлы, - это амплитуды переходов между базовыми состояниями (узлами графа). Обозначим как Hij.
В матрицах плотности аналог - вероятности переходов между состояниями.
Нюанс (про который я уже упоминал в ветке про ранжирование в соц. сетях) в том, что в отличие от марковских цепей (и от алгоритма ранжирования сайтов PageRanking, кстати, тоже) мы не накладываем заранее никаких ограничений на коэффициенты матрицы Hij. То есть мы не нормируем их (в марковских же цепях предопределен инвариант, что сумма всех вероятностей перехода из узла должна быть равна 1).
В МП нормировка (вероятностей) обязательна и совпадает, видимо, с подходом в марковских цепях.
Magin написал(а):
Но самое интересное в этой трактовке (с чего, собс-но, все и началось) - это то, что решение для Ri - это и есть суммирование произведения амплитуд по всем (нециклическим) путям, ведущим в i-й узел. То есть нахождение потока амплитуд в графе объясняет базовые постулаты КМ - что откуда берется и почему.
Если ничего не путаю, то именно так предлагалось у Фейнмана расчитывать подобные системы. Т.и. идеологических различий пока не вижу. Но взгляд поверхностный: только открыл тему и сразу комментирую, поэтому могу легко ошибиться. Делюсь лишь ощущениями.
Где-то заметил трактовку диагонального элемента как амплитуда перехода из i-го узла в i-й. В МП диагональный элемент интерпретируется как населенность данного i-го состояния.
Если что, ув. Quantrinas поправит. Он в форме и должен эти штуки просекать. А еще хорошо бы послушать соображения ув. bonvivanta. Помню на КС пара его фраз четко выразила довольно мутное понятие по квантам, что свидетельствует о глубочайшем понимании предмета.
Почему-то хочется видеть ВФ неким пространственным образованием. Да и вообще, ВФ довольно информативна.
Да, информативность ВФ трудно переоценить, имея в виду, что другого, кроме ВФ, в физическом мире вроде не бывает
. Исходить надо лишь и только из математических структур КМ и пытаться понять какую физическую реальность те описывают. По мне, ВФ не может быть лишь пространственным образованием, потому что ВФ задаёт (пока плохо определенную математически) вероятностную меру Фейнмана не только на обычном 3-мерном пространстве (местонахождение частицы), но и на всех остальных физических степенях свободы (спин, импульс и т.д.). Тут надо быть по меньшей мере Джоном фон Нейманом с его кольцами операторов над Гильбертовым пространством и всей остальной сволочью
, дабы адекватно рассуждать о том что, черт побери, видят глаза и слышат уши обыкновенных обывателей
Да. Разрешено все, что не запрещено. Вот и все объяснение.
Хорошая аксиоматика, гибкая...
Крыс написал(а):
Мне кажется, что баланс потока ничем не отличается от требования к нормировке ВФ.
Нет, это не одно и то же. В качестве доступного примера - алгоритм PageRanking,- нормировка ссылок на сайты из данного и требование баланса потока ссылок - два дополняющих друг друга требования.
Крыс написал(а):
Поток не обязан ограничиваться 4D пространством. Тем более, если вводить понятие рождение-уничтожение частиц. Физики зарезервировали комплексное пространство для таких чудес, чтобы было откуда брать материю.
Это мне сложно понять/комментировать,- доступному мне уровню понимания здесь пока не за что зацепиться.
На всякий случай - про мерность системы, как я ее понимаю в данном контексте. 1 узел графа - одномерная система, 2 узла - двумерная, 3 - трехмерная и т.д.
Крыс написал(а):
Не очевидно. Почему-то хочется видеть ВФ неким пространственным образованием.
А почему именно пространственным? Возможны ведь любые представления. Граф-то как мат. объект к пространству особого отношения не имеет. Или так - он задает свое пространство - узлы, ребра...
Крыс написал(а):
Если ничего не путаю, то именно так предлагалось у Фейнмана расчитывать подобные системы. Т.и. идеологических различий пока не вижу.
Фейнман обосновывал интегрирование по путям как минимизацию функционала действия. И это имеет место быть.
Я всего лишь обнаружил, что данный метод - это частный случай общего решения для потенциалов узлов графа, если ввести понятие баланса потока. То есть не надо вводить для обоснования ни пространственных координат, ни импульсов и пр.,- никаких физических понятий. Достаточно абстрактных математических понятий графа.
Возможно, что совпадение решений случайное, и кроме аналогии за ним ничего не стоит. Надо подумать над опытом, который бы мог продемонстрировать, что природа считает именно потенциалы графа.
На всякий случай - про мерность системы, как я ее понимаю в данном контексте. 1 узел графа - одномерная система, 2 узла - двумерная, 3 - трехмерная и т.д.
Можно и так и так. Вы предлагаете аналог ГП, где базисные векторы - это полный набор ВФ. Я подразумевал и вариант обобщенных координат в смысле теормеха. Плюс дополнительные степени свободы за счет мнимых единиц.
Magin написал(а):
А почему именно пространственным? Возможны ведь любые представления.
Представления могут быть любыми, но пространство (фазовое или еще как) тоже любым.
Magin написал(а):
Фейнман обосновывал интегрирование по путям как минимизацию функционала действия. И это имеет место быть.
Я всего лишь обнаружил, что данный метод - это частный случай общего решения для потенциалов узлов графа, если ввести понятие баланса потока. То есть не надо вводить для обоснования ни пространственных координат, ни импульсов и пр.,- никаких физических понятий. Достаточно абстрактных математических понятий графа.
Возможно, что совпадение решений случайное, и кроме аналогии за ним ничего не стоит. Надо подумать над опытом, который бы мог продемонстрировать, что природа считает именно потенциалы графа.
Ваш подход мне представляется очень интересным. Тем более, что предлагается более высокий уровень абстрагирования и обобщения. Мне такие теории представляются более изящными.
Ваш подход мне представляется очень интересным. Тем более, что предлагается более высокий уровень абстрагирования и обобщения. Мне такие теории представляются более изящными.
То есть не надо вводить для обоснования ни пространственных координат, ни импульсов и пр.,- никаких физических понятий. Достаточно абстрактных математических понятий графа.
Здесь что-то не так с последовательностью действий.
Координаты и импульсы - они как бы существуют независимо от нашего сознания, а вот абстрактные математические понятия надо обосновывать.
Здесь что-то не так с последовательностью действий.
Координаты и импульсы - они как бы существуют независимо от нашего сознания, а вот абстрактные математические понятия надо обосновывать.
Quantrinas написал: Здесь что-то не так с последовательностью действий.
Координаты и импульсы - они как бы существуют независимо от нашего сознания, а вот абстрактные математические понятия надо обосновывать.
Вредная иллюзия. И то и другое - это абстракции.
Дело в том, чтобы найти соответствие между абстракциями и тем, что якобы существует независимо от нашего сознания или, вернее, кто такие абстракции, которые почему-то существуют независимо от нашего сознания.
То есть не надо вводить для обоснования ни пространственных координат, ни импульсов и пр.,- никаких физических понятий. Достаточно абстрактных математических понятий графа.
Здесь что-то не так с последовательностью действий. Координаты и импульсы - они как бы существуют независимо от нашего сознания, а вот абстрактные математические понятия надо обосновывать.
О, я как-то пропустил этот тезис.
Интересный вопрос,- что первичнее - математические абстракции или физические. Мне почему-то кажется очевидным, что математика более абстрактна, чем физика. Соответственно, чем больше математики - тем больше науки
. И наоборот.
Поэтому, например, попытка свести физику к геометрии мне понятна,- про обратные попытки не слышал.
Насчет координат и импульсов. Мне кажется, что именно КМ показала, что это достаточно условные понятия, которые теряют смысл при определенных условиях.
Насчет координат и импульсов. Мне кажется, что именно КМ показала, что это достаточно условные понятия, которые теряют смысл при определенных условиях.
Не всегда. Надо ещё чтобы это математика была адекватна, например, физике. Иначе что она описывает кроме самоё себя?
Математика более чем адекватна. Она прекрасно описывает и себя и физику. В одном случае она объект исследования, в другом - инструмент. Хотя в пограничных областях физики (КЭД, КХД, космогония-космология и т.п.) привычной физики уже нет.
Независимость от фазы комплексного числа
Упрощённо основную идею калибровочной инвариантности можно пояснить следующим образом. Как известно, основная характеристика, описывающая физическую систему в квантовой механике, — волновая функция — есть величина комплексная. Однако, все наблюдаемые величины, которые строятся как билинейные комбинации волновых функций, оказываются вещественными (как и должно быть — ведь в нашем осязаемом мире все величины вещественны). В результате получается, что ничего в предсказаниях теории не изменится, если волновые функции умножаются на комплексное число, равное по модулю единице — . (Сопряжённая функция умножается, соответственно, на сопряжённое комплексное число). Это вполне естественно: абсолютное значение фазы комплексного числа — вещь произвольная и не должно влиять на предсказания теории.
Таким образом, квантовая механика инвариантна относительно глобальных фазовых вращений, иначе называемых глобальными калибровочными преобразованиями.
[править] Идея калибровочной инвариантности
А инвариантна ли квантовая механика относительно локальных фазовых вращений (локальных калибровочных преобразований)? Иными словами, изменится ли что-либо, если волновую функцию в одной точке мы провернём на одну фазу, а в другой точке — на другую? Да, изменится. В частности, очевидно изменится, причём почти произвольным образом, правая часть уравнения Шрёдингера, а значит и эволюция системы во времени. То есть квантовая механика свободной частицы оказывается неинвариантной относительно локальных фазовых вращений.
Можно ли восстановить инвариатность? Да, можно. Однако для этого надо ввести новое поле, которое «чувствует» то внутреннее пространство, в котором мы производим фазовые вращения. В результате, при локальных фазовых вращениях у нас преобразуются как волновые функции, так и новое поле, причём так, что изменения в уравнениях за счёт них компенсируют, «калибруют» друг друга. То есть квантовая механика с дополнительным новым полем стала калибровочно инвариантна.
Что значит волновая функция в одной точке и волновая функция в другой точке ?
точка - в данном случае есть то, что стоит в аргументе у волновой функции , см. -- … 0%B8%D1%8F
При одних значениях этих координат будет одна точка, при других - другая...
Так. Понятно. Дальше. Что значит ? :
волновую функцию в одной точке мы провернём на одну фазу, а в другой точке — на другую
Что это за одновременные повороты ?
Потом :
квантовая механика инвариантна относительно глобальных фазовых вращений, иначе называемых глобальными калибровочными преобразованиями
Чем отличаются глобальные фазовые вращения ( и что они из себя представляют ) от локальных ( аналогично - что это такое ? ) ?
локальные фазовые вращения - умножаем волновую функцию на другую функцию, равную по модулю 1, т.е. повороты в разных точках могут различаться
In physics a local symmetry or local gauge symmetry is a symmetry whose gauge transformations act differently at each point in space-time; i.e. the parameters describing a given transformation are functions of space-time.
Как можно переложить приведенный ниже пример на случай с волновой функцией ? Какой подобный ( с жидкостью ) пример можно привести для волновой функции в случае локальных преобразований :
Example of global symmetry
When a quantity occurring in the mathematical configuration is not just a number but has some geometrical significance, such as a velocity or an axis of rotation, its representation as numbers arranged in a vector or matrix is also changed by a coordinate transformation. For instance, if one description of a pattern of fluid flow states that the fluid velocity in the neighborhood of (x=1, y=0) is 1 m/s in the positive x direction, then a description of the same situation in which the coordinate system has been rotated clockwise by 90 degrees will state that the fluid velocity in the neighborhood of (x=0, y=1) is 1 m/s in the positive y direction. The coordinate transformation has affected both the coordinate system used to identify the location of the measurement and the basis in which its value is expressed. As long as this transformation is performed globally (affecting the coordinate basis in the same way at every point), the effect on values that represent the rate of change of some quantity along some path in space and time as it passes through point P is the same as the effect on values that are truly local to P.