Ключевое слово
13 | 11 | 2019
Новости Библиотеки
Шахматы Онлайн
Welcome, Guest
Username: Password: Remember me
  • Page:
  • 1
  • 2

TOPIC: Для физиков-математиков, электростатика

Для физиков-математиков, электростатика 31 Авг 2010 15:13 #1

  • Magin
  • Magin's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 118
  • Karma: 0
В зрелой уже молодости пересекался с задачами гео-электро-физики. Это когда втыкают в землю пару электродов (A и B), через которую пускают ток, а с другой пары (M и N) снимают напряжение. Ну и меряют на заданной площади разные потенциалы, по распределению которых пытаются угадать - что же там под землей.

Занимаясь данной задачей, я обнаружил интересный факт. А именно. Допустим, мы втыкаем электроды в землю по углам квадрата. При такой схеме у нас есть три разных варианта расположения электродов:
Вариант 1. Токоведущие электроды (A и B) с одной стороны квадрата (условно примем, что слева), а токовыводящие (M и N) - с другой (справа).
Вариант 2. Можно повернуть все на 90 градусов - тогда токоведущие электроды (A и B) будут сверху, а токовыводящие (M и N) - снизу.
Вариант 3. Диагональный. Токоведущие электроды располагаем по противоположным углам квадрата (одна диагональ), а токовыводящие - в углах другой диагонали.

Так вот, оказалось, что напряжение между M и N, измеряемое в 3-й схеме, равно разности напряжений первого и второго вариантов: U3 = U1-U2 (с точностью до знака в том смысле, что если электроды в паре менять местами, то знак ес-но меняется на противоположный). Примерный порядок значений: U1=62.4; U2=66.8; U3=4.4.

Сей факт проверен экспериментально на многих сотнях измерений (хотя и десятка вполне достаточно).
Я пытался получить его теоретическое обоснование, но смог лишь получить формулы для модели с точечным включением неоднородности в однородную среду. Да, в этом случае точно так и получается. Но эксперимент показывает, что данное соотношение справедливо для любой среды и любых включений.

Потом наука отошла на второй план перед практикой добывания пропитания ). И вопрос так и остался для меня неясным - существует ли какая-то общая теорема, которая говорит о том, что действительно при перестановках электродов в углах четырехугольника должен соблюдаться некий инвариант относительно показаний в разных схемах расположения электродов. Вроде что-то смутно помнится, но схватить не могу (может, четырехполюсники здесь какие в тему?).

В поле мы проверяли только квадраты,- я не знаю, справедлив ли инвариант для прямоугольников или вообще для произвольных четырехугольников.

Может, кто-то из местных физиков-математиков ткнет носом в нужное место?

Для физиков-математиков, электростатика 31 Авг 2010 17:02 #2

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81585
  • Thank you received: 1146
  • Karma: 82
Вообще любопытно... Навскидку надо какие-нибудь интегральчики взять...
Но пока не углублялся в детали.
Каждому - своё.

Для физиков-математиков, электростатика 31 Авг 2010 19:26 #3

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81585
  • Thank you received: 1146
  • Karma: 82
Да, если среда линейна, то надо попробовать линейную комбинацию подобрать первых двух вариантов, так чтобы с диагональным вариантом сошлось. У меня навскидку не вышло, правда.

Каждому - своё.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 05:35 #4

  • Крыс
  • Крыс's Avatar
  • OFFLINE
  • Отец Русской Демократии
  • Posts: 33839
  • Thank you received: 60
  • Karma: 13
Magin написал(а):
Вариант 1. Токоведущие электроды (A и B) с одной стороны квадрата (условно примем, что слева), а токовыводящие (M и N) - с другой (справа).
Вариант 2. Можно повернуть все на 90 градусов - тогда токоведущие электроды (A и B) будут сверху, а токовыводящие (M и N) - снизу.
Вариант 3. Диагональный. Токоведущие электроды располагаем по противоположным углам квадрата (одна диагональ), а токовыводящие - в углах другой диагонали.
Прошу прощения, но первые два варианта симметричны. Всего есть два варианта: токоведущие на одной стороне квадрата и токоведущие на диагонали. Если это квадрат, а не прямоугольник.

Vladimirovich написал(а):
Вообще любопытно... Навскидку надо какие-нибудь интегральчики взять...
Но пока не углублялся в детали.
Для конкретных точек можно даже без интегралов. Впрочем, и для всего распределения в пространстве, видимо, тоже. Просто посчитать потенциалы (напряженности, напряжения) для контрольных точек. Имеем две точки с противоположными по знаку потенциалами. От них радиальное убывание 1/R (для потенциала).
Вот, кстати, physallelectro.by.ru/ch2/formulas/fml2.2_more.htmтеория.
Что касается равенства в обоих случаях, то это сомнительно даже из общих соображений. Если токоведущие электроды на одной стороне квадрата, то на другой стороне обязательно будет разность потенциалов. Если токоведущие электроды на диагонали, то разности потенциалов на других углах быть не может в силу симметрии. Там потенциалы одинаковы.
По-моему так.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 05:37 #5

  • Крыс
  • Крыс's Avatar
  • OFFLINE
  • Отец Русской Демократии
  • Posts: 33839
  • Thank you received: 60
  • Karma: 13
Vladimirovich написал(а):
У меня навскидку не вышло, правда.
Не беритесь сразу решать задачи. Сначала надо убедиться, что она не решается из общих соображений.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 08:22 #6

  • infoliokrat
  • infoliokrat's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 1086
  • Karma: -1
Magin написал(а):
В поле мы проверяли только квадраты
Сразу вспомнилось, что друг (с каф. полупроводников, в прошлом веке утверждал: сопротивлетие плоского квадрата- электроды по диагонали- никак не зависит от размеров квадрата: ну увеличишь размеры его в 2 раза- получишь 4 резистора прежних- соединенных попарно/параллельно..)

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 11:20 #7

  • Magin
  • Magin's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 118
  • Karma: 0
Крыс написал(а):
Прошу прощения, но первые два варианта симметричны. Всего есть два варианта: токоведущие на одной стороне квадрата и токоведущие на диагонали. Если это квадрат, а не прямоугольник.
Спасибо, ув. Крысу за внимание к задаче.
Первые два варианта были бы симметричны, если бы среда, в которую внедряемся, была симметричной относительно квадрата электродов. Тогда действительно показания 1-го и 2-го варианта будут равны, а 3-го (он так и называется - дифференциальный) - соответственно нулевыми.

Но в реальности все среды неоднородны и ес-но несимметричны. Можно в качестве модели рассмотреть среду из двух разнородных полупространств - и квадрат установлен где-то на линии раздела. Тогда нет симметрии, - и показания U1 и U2 разные. Два первых варианта еще называют - с разной подсветкой (с северной подсветкой, с западной и пр.)

А вот если просто поменять в любой схеме пары электродов (токоведущие на токовыводящие), то тогда показания не меняются. То есть подсветка с севера или с юга - значения не имеет - получим одно и то же.
Но такой инвариант вроде как тривиален, и не сильно интересен в отличие от первого. Хотя, возможно, что природа у них одна. И один является следствием другого.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 12:01 #8

  • Крыс
  • Крыс's Avatar
  • OFFLINE
  • Отец Русской Демократии
  • Posts: 33839
  • Thank you received: 60
  • Karma: 13
Magin написал(а):
Но в реальности все среды неоднородны и ес-но несимметричны.
Тогда желание проинтегрировать хоть что-нибудь у ув. Vladimirovicha находит реальную почву. Надо просчитать потенциал каждой точки пространства с учетом пространственного распределения комплексной (!) диэлектрической проницаемости. В принципе за счет неоднородности можно получить вообще любые значения. Ну, любые от нуля до чистой разности потенциалов между электродами. Впрочем, наверное задачу все-таки можно упростить, сведя рассмотрение схемы типа четырехполюсника. Если, конечно, прямой и обратный токи совпадают. Т.е. нет эффекта диода.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 16:48 #9

  • Grigoriy
  • Grigoriy's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Боярин
  • Posts: 13858
  • Thank you received: 359
  • Karma: 14
мне кажется, экспериментальные результаты укладываются в следующую простеньую схемку(и, соответственно, её подтверждают):
Пусть V1, V2, - потенциалы 1-ого и второго пробных электродов соответственно, V3, V4 - потенциалы на снимающих электродах. Сопротивление считаем одинаковым по направлению, и коэффициенты падения ппотенциала по единице длины в горизонтальном, вертикальном и диагональном на диагональ единичного квадрата направлении - Ргор, Рверт и Ркос соответственно.
Тогда для 1-ой схемы

V3 = V1*Рверт + V2*Ркос
V4 = V1*Ркос + V2*Рверт

Для 2-ой

V3 = V1*Ргор + V2*Ркос
V4 = V1*Рkос + V2*Ргор

Для 3-ой

V3 = V1*Ргор + V2*Рвер
V4 = V1*Рвер + V2*Ргор

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 17:45 #10

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
Думаю, что точного результата для любой неоднородной среды тут нет. Представьте себе, например, что почти вся среда - диэлектрик, и есть только очень узкие проводящие полоски по сторонам квадрата. Тогда, к примеру, если проводимости этих полосок равны 1,2,3,4, то требуемого равенства не получается (у меня, по крайней мере, не получилось).

Другое дело, что в реалистичных моделях вполне может быть, что получается приблизительное равенство с высокой точностью.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 18:07 #11

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81585
  • Thank you received: 1146
  • Karma: 82
Я в общем и имел в виду под линейной комбинацией что типа схемы Григория, но в общем случае.
Но если я правильно понимаю, то у Григория среда предполагается хотя анизотропной, но однородной, а это случай частный.
А в общем у меня не сошлось.

Каждому - своё.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 18:08 #12

  • Grigoriy
  • Grigoriy's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Боярин
  • Posts: 13858
  • Thank you received: 359
  • Karma: 14
Конечно нет. Например, с чего бы введённые мной коэффициенты - константы, т е не зависят от точки? Но совпадение есть
.
Т е в опытах, о которых пишет Магин похоже дело обстояло примерно так

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 18:29 #13

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81585
  • Thank you received: 1146
  • Karma: 82
Я рассматриваю общий случай так

I1.
A M1
B N1

I2.
A B
M2 N2

Установить, каковы будут значения M1, N1 и др. мы никак не можем, поскольку нужно считать интегральчик
В общем случае любыми.
Поэтому наш единственный шанс найти суперпозицию, которая для линейной среды также будет решением.

(I1+k*I2)/(1+k) =

I3
A (M1+k*B)/(1+k)
(B+M2*k)/(1+k) (N1+k*N2)/(1+k)

Если подогнать k чтобы (N1+k*N2)/(1+k) = B , то останется посчитать разность по диагонали и посмотреть, будет ли она тождественно равна (M1-N1) - (M2-N2)
Каждому - своё.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 19:44 #14

  • Magin
  • Magin's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 118
  • Karma: 0
Спасибо всем.
Давайте еще раз уточним условия. Среда изотропная, но неоднородная. Это же в основном обычные поля и степи - там песок, глина, камни, вода...
Задача численно моделировалась для разных вариантов сред - просто решением уравнений электростатики для полупространства. Именно при численном моделировании я и обратил внимание на инвариант.
Есть точное решение для однородной среды с точечным включением неоднородности - там инвариант выполняется абсолютно точно.
И есть данные полевых измерений (опыты). Там я увидел, что инвариант выполняется не примерно,- а абсолютно точно (в пределах погрешности измерений).

Спасибо Григорию за предложенное объяснение. Припоминаю, что как-то так и я вроде бы объяснял.
Но вот сейчас перепроверил,- и как-то меня смущает одна деталь - почему мы приравниваем диагональные коэффициенты падения потенциала? Вроде бы это разные диагонали.

Я чуть более детально распишу потенциалы по вариантам Григория, отличая заодно и коэффициенты падения потенциала для двух вертикалей и двух горизонталей.

Для первого варианта примем, что V1 расположен в левом нижнем углу. Далее - все потенциалы по часовой стрелке (V2 - левый верхний угол, V3 - правый верхний, V4 - правый нижний). Тогда

V3 = V1*Рдиа1 + V2*Ргор1
V4 = V1*Ргор2 + V2*Рдиа2

U1 = V3-V4 = V1*(Рдиа1-Ргор2) + V2*(Ргор1-Рдиа2)

2-й вариант отличается от первого поворотом электродов по часовой стрелке на 90 градусов - V1 в левом верхнем углу. Тогда

V3 = V1*Рдиа2 + V2*Рвер2
V4 = V1*Рвер1 + V2*Рдиа1

U2 = V3-V4 = V1*(Рдиа2-Рвер1) + V2*(Рвер2-Рдиа1)

В 3-м варианте располагаем V1 в левом нижнем, V2 - в правом верхнем, V3 - в левом верхнем, V4 - в правом нижнем. Тогда

V3 = V1*Рвер1 + V2*Ргор1
V4 = V1*Ргор2 + V2*Рвер2

U3 = V3-V4 = V1*(Рвер1-Ргор2) + V2*(Ргор1-Рвер2)

Вычтем из первой разности потенциалов вторую:

U1-U2 = V1*(Рди1-Рди2+Рвер1-Ргор2) + V2*(Рди1-Рди2+Ргор1-Рвер2)

Сравнивая между собой (U1-U2) и U3 мы видим, что выражения эквивалентны при условии Рди1 = Рди2.

А это действительно так? Не ухватываю, из чего это следует.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 19:50 #15

  • Magin
  • Magin's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 118
  • Karma: 0
Vladimirovich написал(а):
Поэтому наш единственный шанс найти суперпозицию, которая для линейной среды также будет решением.
Да, среда линейная, конечно. И суперпозиция какая-то должна быть. Но вот что дальше у вас написано, я пока не осилил. ))

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 19:58 #16

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81585
  • Thank you received: 1146
  • Karma: 82
Magin написал(а):
Сравнивая между собой (U1-U2) и U3 мы видим, что выражения эквивалентны при условии Рди1 = Рди2.
А это действительно так?
Честно говоря, я , с учетом смещения V1 от измерения к измерению тут несколько запутался

Но в целом, все выглядит логично.

Как я пытался указать чуть выше, в самом общем случае тождество не получается.
Нужно искать дополнительные граничные условия, чтобы все сошлось.
Скорей всего, Вы и указали одно из достаточных условий.
Каждому - своё.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 20:02 #17

  • Grigoriy
  • Grigoriy's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Боярин
  • Posts: 13858
  • Thank you received: 359
  • Karma: 14
Диагонали разные, но я предполагал(и это оправдано результатом
), что на самом деле важны коэффициенты падения по перпендикулярным направлениям, а дальше - суперпозиция, закон которой даже и не важен(честно говоря, я просто запутался, когда попробовал векторно считать, а потом это оказалось и ненужным - в предположении равенства коэффициентов по диагоналям эти члены просто сокращаются)

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 20:15 #18

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81585
  • Thank you received: 1146
  • Karma: 82
Magin написал(а):
Да, среда линейная, конечно. И суперпозиция какая-то должна быть. Но вот что дальше у вас написано, я пока не осилил. ))
Ну примерно то же самое
Только я в явном виде проводимости не использую.

например, допустим, что мы получили
A M1
B N1

Подадим не А и B, а kA и кВ
Если среда линейная, то мы получим результат.

к*A к*M1
к*B k*N1

Далее, все подобные результаты измерений могут быть сложены в виде любой линейной комбинации. По принципу суперпозиции потенциалов.
Таким образом, если мы сможем подобрать такую комбинацию, что получим в результате по диагонали
A X
Y B
то это будет единственным решением линейной системы, т.е X и Y единственны.

Я выбрал схему, где А заведомо не изменится - (измерение1 + измерение2*k)/(1+k)
Тогда в левом верхнем углу будет прежнему (A+k*A)/(1+k) = A

Остается посмотреть, что будет в других углах при условии, что в правом нижнем будет B.

Отредактировано Vladimirovich (2010-09-02 00:17:49)
Каждому - своё.

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 20:23 #19

  • Magin
  • Magin's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 118
  • Karma: 0
Grigoriy написал(а):
Диагонали разные, но я предполагал(и это оправдано результатом ), что на самом деле важны коэффициенты падения по перпендикулярным направлениям, а дальше  - суперпозиция, закон которой даже и не важен(честно говоря, я просто запутался, когда попробовал векторно считать, а потом это оказалось и ненужным - в предположении равенства коэффициентов по диагоналям эти члены просто сокращаются)
С учетом результата что-то и я стал сомневаться - может, я просто не обращал внимания на те данные, в которых инвариант не выполнялся? В большинстве случаев (измерений) разницы между коэффициентами по диагонали не будет.- Это же надо попасть электродом прямо на неоднородность, а таких точек немного,- вот, может, и показалось, что инвариант всегда выполняется, а на самом деле - лишь часто, но не всегда.
Надо бы поднять данные численного моделирования - там-то любое расположение неоднородностей можно проверить...

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 20:35 #20

  • Magin
  • Magin's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 118
  • Karma: 0
Vladimirovich написал(а):
Остается посмотреть, что будет в других углах при условии, что в правом нижнем будет B.
Как обычно Вы творите на высоком уровне, пропуская тривиальные для вас логические цепочки вывода. Мне остается только снизу с восхищением наблюдать, ожидая - что же получится в итоге...

Для физиков-математиков, электростатика 01 Сен 2010 20:38 #21

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81585
  • Thank you received: 1146
  • Karma: 82
Magin написал(а):
Как обычно Вы творите на высоком уровне, пропуская тривиальные для вас логические цепочки вывода
Это наоборот, я не тщательно свою мысль озвучил, а значит поверхностно

Надо исправляться

Каждому - своё.

Для физиков-математиков, электростатика 02 Сен 2010 05:33 #22

  • PP
  • PP's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Боярин
  • Posts: 24265
  • Thank you received: 150
  • Karma: 5
Magin написал(а):
Вариант 3. Диагональный.
Сорри если задаю совсем тупой вопрос, но за счет чего возникает разность потенциала в диагональном варианте, там же вроде симметрия должна быть? Или вся игра за счет неоднородности среды? Но если среда сильно неоднородна, то результат вызывает сомнения. Например замкнем точки на антидиагонале квадрата и сделаем квадрат бесконечным. U1=VA; U2=VB; U3=0. Или я туплю?

Отредактировано PP (2010-09-02 09:37:37)

Для физиков-математиков, электростатика 02 Сен 2010 09:59 #23

  • Magin
  • Magin's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 118
  • Karma: 0
PP написал(а):
за счет чего возникает разность потенциала в диагональном варианте, там же вроде симметрия должна быть? Или вся игра за счет неоднородности среды?
Если среда однородна, то действительно в дифференциальной (диагональной) схеме будет нуль. В такой среде и между первым и вторым (вертикальным и горизонтальным) вариантом разницы нет - выдадут одно и то же.

А вот что у вас дальше написано - я, чес говоря, не очень понял. Это попытка создать среду (типа замкнуть токосъемные электроды M и N), в которой инвариант заведомо не должен выполняться?

Для физиков-математиков, электростатика 02 Сен 2010 16:19 #24

  • PP
  • PP's Avatar
  • NOW ONLINE
  • Боярин
  • Posts: 24265
  • Thank you received: 150
  • Karma: 5
Magin написал(а):
вот что у вас дальше написано - я, чес говоря, не очень понял.
Я предлагаю такой пример. Пронумеруем точки квадрата, как 1,2,3,4, начиная с правого нижнего угла и идя по часовой стрелке. Давайте замкнем точку 1 на точку 3. В первом случае, электроды А,B подают на точки 1,2. Потенциал в точке М (точка 3) равен потенциалу в точке А, потенциал в точке N (точка 4) равен 0 (квадрат бесконечно большой или мы точку 4 заизолировали). Значит U1 = VM-VN = VA - 0 = VA.
Во втором случае А,В совпадают с точками 2,3. Потенциал в М равен 0, а потенциал в N равен VB, U2 = 0 - VB = -VB. U1-U2 = VA + VB. В диагональном случае U3 = 0 ибо точки 1,3 у нас замкнуты.

Отредактировано PP (2010-09-02 20:20:27)

Для физиков-математиков, электростатика 02 Сен 2010 17:20 #25

  • Крыс
  • Крыс's Avatar
  • OFFLINE
  • Отец Русской Демократии
  • Posts: 33839
  • Thank you received: 60
  • Karma: 13
PP написал(а):
Я предлагаю такой пример. Пронумеруем точки квадрата, как 1,2,3,4, начиная с правого нижнего угла и идя по часовой стрелке. Давайте замкнем точку 1 на точку 3.
Корректнее так: на сторонах квадрата 1,2,3, 4 размещаем сопротивления (активные) R12, R23, R34, R41 и еще два диагональных R13, R24. Тогда мы имеем обычную радиотехническую схему. Подключая напряжение к нужным точкам и считаем параметры. Задача для второго курса Теоретические основы радиотехники. Кстати, здесь надо смотреть внутреннее сопротивление источника.
Есть понятие эквивалентный генератор. Если у генератора малое внутреннее сопротивление, то это источник напряжения. Если очень большое - то это источник тока. Там немного другие расклады. Если внутреннее сопротивление соизмеримое с сопротивлением цепи, то это тоже надо учитывать.
В общем, составляются уравнения для соотв. контуров и решается система линейных уравнений. Кажется так.

Для физиков-математиков, электростатика 03 Сен 2010 20:46 #26

  • Magin
  • Magin's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 118
  • Karma: 0
Крыс написал(а):
Корректнее так: на сторонах квадрата 1,2,3, 4 размещаем сопротивления (активные) R12, R23, R34, R41 и еще два диагональных R13, R24. Тогда мы имеем обычную радиотехническую схему. Подключая напряжение к нужным точкам и считаем параметры.
Ув. Крыс заставил меня вспомнить, что с подачи Владимировича и Енота я не так давно стал специалистом по потенциалам и потокам в графах (соответствующие изыскания - в этом же форуме). Пришлось достать с полки инструменты )), и вот что я обнаружил.

Допустим, у нас есть симметричная 4-мерная матрица проводимостей Сij=Сji (среда изотропная, 4 вершины графа). В таком графе разницы потенциалов нет - потенциалы всех узлов Vi одинаковы. Для того чтобы пустить ток, надо создать несимметричность проводимостей. Если токоведущие электроды находятся в узлах 1, 2, то несимметричность можно задать увеличением значения элемента C12 (или C21, но что-то одно).

Будем последовательно пускать ток по нашим трем вариантам (электроды в узлах 1-2, 2-3, 1-3) путем увеличения проводимости соответствующих элементов матрицы на некую константу (const). При этом будем мерять разность потенциалов V в токосъемных узлах. Сначала увеличим C12 на const и измерим W1=V4-V3, потом увеличим С23 на const и измерим W2=V4-V1, и наконец, увеличим на const C13 и измерим W3=V2-V4.

Выполнив все данные расчеты мы видим, что величины (W1-W2) и W3 - эквивалентны. Абсолютно точно без всяких приближений. Почему так происходит (пресловутый физ. или мат. смысл) - не знаю,- надо подумать. Точные формулы для расчета потенциалов 4-х мерного графа есть, но они достаточно громоздки. Хотя для почти симметричного графа должны вроде как упроститься.

Да, соответственно, отпали вопросы про прямоугольник и пр. - изложенное в первом посте тождество справедливо для любых четырехугольников (а не только квадратов), не зависит от приближений и пр.

В анизотропной среде тождество не выполняется.

Для физиков-математиков, электростатика 03 Сен 2010 20:51 #27

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 81585
  • Thank you received: 1146
  • Karma: 82
Magin написал(а):
В анизотропной среде тождество не выполняется.
Мне все таки интересно...
Вроде в однородной анизотропной выполняется...
А в неоднородной, в общем случае нет.
Каждому - своё.

Для физиков-математиков, электростатика 03 Сен 2010 21:05 #28

  • Крыс
  • Крыс's Avatar
  • OFFLINE
  • Отец Русской Демократии
  • Posts: 33839
  • Thank you received: 60
  • Karma: 13
Magin написал(а):
Допустим, у нас есть симметричная 4-мерная матрица проводимостей Сij=Сji (среда изотропная, 4 вершины графа). В таком графе разницы потенциалов нет - потенциалы всех узлов Vi одинаковы.
Не понял. А куда подаются потенциалы в этой схеме? Хоть по диагонали, хоть по концам одной стороны - ток все равно пойдет. Разность потенциалов будет во всех особых точках.

Для физиков-математиков, электростатика 04 Сен 2010 19:27 #29

  • Magin
  • Magin's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 118
  • Karma: 0
Vladimirovich написал(а):
Вроде в однородной анизотропной выполняется... А в неоднородной, в общем случае нет.
В терминах графов изотропная среда - это такая, для которой матрица проводимостей симметрична (проводимость ребер одна и та же в обоих направлениях) - Cij = Cji. Неоднородная - величина Cij зависит от i и j.
Что такое однородная анизотропная среда в терминах графа не могу выразить.

Для физиков-математиков, электростатика 04 Сен 2010 19:36 #30

  • Magin
  • Magin's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 118
  • Karma: 0
Крыс написал(а):
Не понял. А куда подаются потенциалы в этой схеме? Хоть по диагонали, хоть по концам одной стороны - ток все равно пойдет.  Разность потенциалов будет во всех особых точках.
Никуда. Тут наоборот - разность потенциалов возникает как следствие асимметрии проводимостей какого-либо ребра.
Графы - это ж математика. Но эта математика описывает те же самые (по)токи. Для того, чтобы получить ток от i-го узла к j-му, надо умножить потенциал i-го узла (Vi) на проводимость данного ребра (Cij).

Создав асимметрию одного ребра (насколько я понимаю - это аналогично включению источника тока/напряжения), мы получим разницу потенциалов во всех точках - это так, конечно.
  • Page:
  • 1
  • 2
Moderators: Grigoriy
Рейтинг@Mail.ru

Научно-шахматный клуб КвантоФорум