В зрелой уже молодости пересекался с задачами гео-электро-физики. Это когда втыкают в землю пару электродов (A и B), через которую пускают ток, а с другой пары (M и N) снимают напряжение. Ну и меряют на заданной площади разные потенциалы, по распределению которых пытаются угадать - что же там под землей.

Занимаясь данной задачей, я обнаружил интересный факт. А именно. Допустим, мы втыкаем электроды в землю по углам квадрата. При такой схеме у нас есть три разных варианта расположения электродов:
Вариант 1. Токоведущие электроды (A и B) с одной стороны квадрата (условно примем, что слева), а токовыводящие (M и N) - с другой (справа).
Вариант 2. Можно повернуть все на 90 градусов - тогда токоведущие электроды (A и B) будут сверху, а токовыводящие (M и N) - снизу.
Вариант 3. Диагональный. Токоведущие электроды располагаем по противоположным углам квадрата (одна диагональ), а токовыводящие - в углах другой диагонали.

Так вот, оказалось, что напряжение между M и N, измеряемое в 3-й схеме, равно разности напряжений первого и второго вариантов: U3 = U1-U2 (с точностью до знака в том смысле, что если электроды в паре менять местами, то знак ес-но меняется на противоположный). Примерный порядок значений: U1=62.4; U2=66.8; U3=4.4.

Сей факт проверен экспериментально на многих сотнях измерений (хотя и десятка вполне достаточно).
Я пытался получить его теоретическое обоснование, но смог лишь получить формулы для модели с точечным включением неоднородности в однородную среду. Да, в этом случае точно так и получается. Но эксперимент показывает, что данное соотношение справедливо для любой среды и любых включений.

Потом наука отошла на второй план перед практикой добывания пропитания ). И вопрос так и остался для меня неясным - существует ли какая-то общая теорема, которая говорит о том, что действительно при перестановках электродов в углах четырехугольника должен соблюдаться некий инвариант относительно показаний в разных схемах расположения электродов. Вроде что-то смутно помнится, но схватить не могу (может, четырехполюсники здесь какие в тему?).

В поле мы проверяли только квадраты,- я не знаю, справедлив ли инвариант для прямоугольников или вообще для произвольных четырехугольников.

Может, кто-то из местных физиков-математиков ткнет носом в нужное место?

Вообще любопытно... Навскидку надо какие-нибудь интегральчики взять...
Но пока не углублялся в детали.

Да, если среда линейна, то надо попробовать линейную комбинацию подобрать первых двух вариантов, так чтобы с диагональным вариантом сошлось. У меня навскидку не вышло, правда.

Magin написал(а):Прошу прощения, но первые два варианта симметричны. Всего есть два варианта: токоведущие на одной стороне квадрата и токоведущие на диагонали. Если это квадрат, а не прямоугольник.

Vladimirovich написал(а):Для конкретных точек можно даже без интегралов. Впрочем, и для всего распределения в пространстве, видимо, тоже. Просто посчитать потенциалы (напряженности, напряжения) для контрольных точек. Имеем две точки с противоположными по знаку потенциалами. От них радиальное убывание 1/R (для потенциала).
Вот, кстати, physallelectro.by.ru/ch2/formulas/fml2.2_more.htm теория.
Что касается равенства в обоих случаях, то это сомнительно даже из общих соображений. Если токоведущие электроды на одной стороне квадрата, то на другой стороне обязательно будет разность потенциалов. Если токоведущие электроды на диагонали, то разности потенциалов на других углах быть не может в силу симметрии. Там потенциалы одинаковы.
По-моему так.

Vladimirovich написал(а):Не беритесь сразу решать задачи. Сначала надо убедиться, что она не решается из общих соображений.

Magin написал(а):Сразу вспомнилось, что друг (с каф. полупроводников, в прошлом веке утверждал: сопротивлетие плоского квадрата- электроды по диагонали- никак не зависит от размеров квадрата: ну увеличишь размеры его в 2 раза- получишь 4 резистора прежних- соединенных попарно/параллельно..)

Крыс написал(а):Спасибо, ув. Крысу за внимание к задаче.
Первые два варианта были бы симметричны, если бы среда, в которую внедряемся, была симметричной относительно квадрата электродов. Тогда действительно показания 1-го и 2-го варианта будут равны, а 3-го (он так и называется - дифференциальный) - соответственно нулевыми.

Но в реальности все среды неоднородны и ес-но несимметричны. Можно в качестве модели рассмотреть среду из двух разнородных полупространств - и квадрат установлен где-то на линии раздела. Тогда нет симметрии, - и показания U1 и U2 разные. Два первых варианта еще называют - с разной подсветкой (с северной подсветкой, с западной и пр.)

А вот если просто поменять в любой схеме пары электродов (токоведущие на токовыводящие), то тогда показания не меняются. То есть подсветка с севера или с юга - значения не имеет - получим одно и то же.
Но такой инвариант вроде как тривиален, и не сильно интересен в отличие от первого. Хотя, возможно, что природа у них одна. И один является следствием другого.

Magin написал(а):Тогда желание проинтегрировать хоть что-нибудь у ув. Vladimirovicha находит реальную почву. Надо просчитать потенциал каждой точки пространства с учетом пространственного распределения комплексной (!) диэлектрической проницаемости. В принципе за счет неоднородности можно получить вообще любые значения. Ну, любые от нуля до чистой разности потенциалов между электродами. Впрочем, наверное задачу все-таки можно упростить, сведя рассмотрение схемы типа четырехполюсника. Если, конечно, прямой и обратный токи совпадают. Т.е. нет эффекта диода.

мне кажется, экспериментальные результаты укладываются в следующую простеньую схемку(и, соответственно, её подтверждают):
Пусть V1, V2, - потенциалы 1-ого и второго пробных электродов соответственно, V3, V4 - потенциалы на снимающих электродах. Сопротивление считаем одинаковым по направлению, и коэффициенты падения ппотенциала по единице длины в горизонтальном, вертикальном и диагональном на диагональ единичного квадрата направлении - Ргор, Рверт и Ркос соответственно.
Тогда для 1-ой схемы

V3 = V1*Рверт + V2*Ркос
V4 = V1*Ркос + V2*Рверт

Для 2-ой

V3 = V1*Ргор + V2*Ркос
V4 = V1*Рkос + V2*Ргор

Для 3-ой

V3 = V1*Ргор + V2*Рвер
V4 = V1*Рвер + V2*Ргор

Думаю, что точного результата для любой неоднородной среды тут нет. Представьте себе, например, что почти вся среда - диэлектрик, и есть только очень узкие проводящие полоски по сторонам квадрата. Тогда, к примеру, если проводимости этих полосок равны 1,2,3,4, то требуемого равенства не получается (у меня, по крайней мере, не получилось).

Другое дело, что в реалистичных моделях вполне может быть, что получается приблизительное равенство с высокой точностью.

Я в общем и имел в виду под линейной комбинацией что типа схемы Григория, но в общем случае.
Но если я правильно понимаю, то у Григория среда предполагается хотя анизотропной, но однородной, а это случай частный.
А в общем у меня не сошлось.

Конечно нет. Например, с чего бы введённые мной коэффициенты - константы, т е не зависят от точки? Но совпадение есть .
Т е в опытах, о которых пишет Магин похоже дело обстояло примерно так

Я рассматриваю общий случай так

I1.
A M1
B N1

I2.
A B
M2 N2

Установить, каковы будут значения M1, N1 и др. мы никак не можем, поскольку нужно считать интегральчик
В общем случае любыми.
Поэтому наш единственный шанс найти суперпозицию, которая для линейной среды также будет решением.

(I1+k*I2)/(1+k) =

I3
A (M1+k*B)/(1+k)
(B+M2*k)/(1+k) (N1+k*N2)/(1+k)

Если подогнать k чтобы (N1+k*N2)/(1+k) = B , то останется посчитать разность по диагонали и посмотреть, будет ли она тождественно равна (M1-N1) - (M2-N2)

Спасибо всем.
Давайте еще раз уточним условия. Среда изотропная, но неоднородная. Это же в основном обычные поля и степи - там песок, глина, камни, вода...
Задача численно моделировалась для разных вариантов сред - просто решением уравнений электростатики для полупространства. Именно при численном моделировании я и обратил внимание на инвариант.
Есть точное решение для однородной среды с точечным включением неоднородности - там инвариант выполняется абсолютно точно.
И есть данные полевых измерений (опыты). Там я увидел, что инвариант выполняется не примерно,- а абсолютно точно (в пределах погрешности измерений).

Спасибо Григорию за предложенное объяснение. Припоминаю, что как-то так и я вроде бы объяснял.
Но вот сейчас перепроверил,- и как-то меня смущает одна деталь - почему мы приравниваем диагональные коэффициенты падения потенциала? Вроде бы это разные диагонали.

Я чуть более детально распишу потенциалы по вариантам Григория, отличая заодно и коэффициенты падения потенциала для двух вертикалей и двух горизонталей.

Для первого варианта примем, что V1 расположен в левом нижнем углу. Далее - все потенциалы по часовой стрелке (V2 - левый верхний угол, V3 - правый верхний, V4 - правый нижний). Тогда

V3 = V1*Рдиа1 + V2*Ргор1
V4 = V1*Ргор2 + V2*Рдиа2

U1 = V3-V4 = V1*(Рдиа1-Ргор2) + V2*(Ргор1-Рдиа2)

2-й вариант отличается от первого поворотом электродов по часовой стрелке на 90 градусов - V1 в левом верхнем углу. Тогда

V3 = V1*Рдиа2 + V2*Рвер2
V4 = V1*Рвер1 + V2*Рдиа1

U2 = V3-V4 = V1*(Рдиа2-Рвер1) + V2*(Рвер2-Рдиа1)

В 3-м варианте располагаем V1 в левом нижнем, V2 - в правом верхнем, V3 - в левом верхнем, V4 - в правом нижнем. Тогда

V3 = V1*Рвер1 + V2*Ргор1
V4 = V1*Ргор2 + V2*Рвер2

U3 = V3-V4 = V1*(Рвер1-Ргор2) + V2*(Ргор1-Рвер2)

Вычтем из первой разности потенциалов вторую:

U1-U2 = V1*(Рди1-Рди2+Рвер1-Ргор2) + V2*(Рди1-Рди2+Ргор1-Рвер2)

Сравнивая между собой (U1-U2) и U3 мы видим, что выражения эквивалентны при условии Рди1 = Рди2.

А это действительно так? Не ухватываю, из чего это следует.

Vladimirovich написал(а):Да, среда линейная, конечно. И суперпозиция какая-то должна быть. Но вот что дальше у вас написано, я пока не осилил. ))

Magin написал(а):Честно говоря, я , с учетом смещения V1 от измерения к измерению тут несколько запутался
Но в целом, все выглядит логично.

Как я пытался указать чуть выше, в самом общем случае тождество не получается.
Нужно искать дополнительные граничные условия, чтобы все сошлось.
Скорей всего, Вы и указали одно из достаточных условий.

Диагонали разные, но я предполагал(и это оправдано результатом ), что на самом деле важны коэффициенты падения по перпендикулярным направлениям, а дальше - суперпозиция, закон которой даже и не важен(честно говоря, я просто запутался, когда попробовал векторно считать, а потом это оказалось и ненужным - в предположении равенства коэффициентов по диагоналям эти члены просто сокращаются)

Magin написал(а):Ну примерно то же самое Только я в явном виде проводимости не использую.

например, допустим, что мы получили
A M1
B N1

Подадим не А и B, а kA и кВ
Если среда линейная, то мы получим результат.

к*A к*M1
к*B k*N1

Далее, все подобные результаты измерений могут быть сложены в виде любой линейной комбинации. По принципу суперпозиции потенциалов.
Таким образом, если мы сможем подобрать такую комбинацию, что получим в результате по диагонали
A X
Y B
то это будет единственным решением линейной системы, т.е X и Y единственны.

Я выбрал схему, где А заведомо не изменится - (измерение1 + измерение2*k)/(1+k)
Тогда в левом верхнем углу будет прежнему (A+k*A)/(1+k) = A

Остается посмотреть, что будет в других углах при условии, что в правом нижнем будет B.

Отредактировано Vladimirovich (2010-09-02 00:17:49)

Grigoriy написал(а):С учетом результата что-то и я стал сомневаться - может, я просто не обращал внимания на те данные, в которых инвариант не выполнялся? В большинстве случаев (измерений) разницы между коэффициентами по диагонали не будет.- Это же надо попасть электродом прямо на неоднородность, а таких точек немного,- вот, может, и показалось, что инвариант всегда выполняется, а на самом деле - лишь часто, но не всегда.
Надо бы поднять данные численного моделирования - там-то любое расположение неоднородностей можно проверить...

Vladimirovich написал(а):Как обычно Вы творите на высоком уровне, пропуская тривиальные для вас логические цепочки вывода. Мне остается только снизу с восхищением наблюдать, ожидая - что же получится в итоге...

Magin написал(а):Это наоборот, я не тщательно свою мысль озвучил, а значит поверхностно
Надо исправляться

Magin написал(а):Сорри если задаю совсем тупой вопрос, но за счет чего возникает разность потенциала в диагональном варианте, там же вроде симметрия должна быть? Или вся игра за счет неоднородности среды? Но если среда сильно неоднородна, то результат вызывает сомнения. Например замкнем точки на антидиагонале квадрата и сделаем квадрат бесконечным. U1=VA; U2=VB; U3=0. Или я туплю?

Отредактировано PP (2010-09-02 09:37:37)

PP написал(а):Если среда однородна, то действительно в дифференциальной (диагональной) схеме будет нуль. В такой среде и между первым и вторым (вертикальным и горизонтальным) вариантом разницы нет - выдадут одно и то же.

А вот что у вас дальше написано - я, чес говоря, не очень понял. Это попытка создать среду (типа замкнуть токосъемные электроды M и N), в которой инвариант заведомо не должен выполняться?

Magin написал(а):Я предлагаю такой пример. Пронумеруем точки квадрата, как 1,2,3,4, начиная с правого нижнего угла и идя по часовой стрелке. Давайте замкнем точку 1 на точку 3. В первом случае, электроды А,B подают на точки 1,2. Потенциал в точке М (точка 3) равен потенциалу в точке А, потенциал в точке N (точка 4) равен 0 (квадрат бесконечно большой или мы точку 4 заизолировали). Значит U1 = VM-VN = VA - 0 = VA.
Во втором случае А,В совпадают с точками 2,3. Потенциал в М равен 0, а потенциал в N равен VB, U2 = 0 - VB = -VB. U1-U2 = VA + VB. В диагональном случае U3 = 0 ибо точки 1,3 у нас замкнуты.

Отредактировано PP (2010-09-02 20:20:27)

PP написал(а):Корректнее так: на сторонах квадрата 1,2,3, 4 размещаем сопротивления (активные) R12, R23, R34, R41 и еще два диагональных R13, R24. Тогда мы имеем обычную радиотехническую схему. Подключая напряжение к нужным точкам и считаем параметры. Задача для второго курса Теоретические основы радиотехники. Кстати, здесь надо смотреть внутреннее сопротивление источника.
Есть понятие эквивалентный генератор. Если у генератора малое внутреннее сопротивление, то это источник напряжения. Если очень большое - то это источник тока. Там немного другие расклады. Если внутреннее сопротивление соизмеримое с сопротивлением цепи, то это тоже надо учитывать.
В общем, составляются уравнения для соотв. контуров и решается система линейных уравнений. Кажется так.

Крыс написал(а):Ув. Крыс заставил меня вспомнить, что с подачи Владимировича и Енота я не так давно стал специалистом по потенциалам и потокам в графах (соответствующие изыскания - в этом же форуме). Пришлось достать с полки инструменты )), и вот что я обнаружил.

Допустим, у нас есть симметричная 4-мерная матрица проводимостей Сij=Сji (среда изотропная, 4 вершины графа). В таком графе разницы потенциалов нет - потенциалы всех узлов Vi одинаковы. Для того чтобы пустить ток, надо создать несимметричность проводимостей. Если токоведущие электроды находятся в узлах 1, 2, то несимметричность можно задать увеличением значения элемента C12 (или C21, но что-то одно).

Будем последовательно пускать ток по нашим трем вариантам (электроды в узлах 1-2, 2-3, 1-3) путем увеличения проводимости соответствующих элементов матрицы на некую константу (const). При этом будем мерять разность потенциалов V в токосъемных узлах. Сначала увеличим C12 на const и измерим W1=V4-V3, потом увеличим С23 на const и измерим W2=V4-V1, и наконец, увеличим на const C13 и измерим W3=V2-V4.

Выполнив все данные расчеты мы видим, что величины (W1-W2) и W3 - эквивалентны. Абсолютно точно без всяких приближений. Почему так происходит (пресловутый физ. или мат. смысл) - не знаю,- надо подумать. Точные формулы для расчета потенциалов 4-х мерного графа есть, но они достаточно громоздки. Хотя для почти симметричного графа должны вроде как упроститься.

Да, соответственно, отпали вопросы про прямоугольник и пр. - изложенное в первом посте тождество справедливо для любых четырехугольников (а не только квадратов), не зависит от приближений и пр.

В анизотропной среде тождество не выполняется.

Magin написал(а):Мне все таки интересно...
Вроде в однородной анизотропной выполняется...
А в неоднородной, в общем случае нет.

Magin написал(а):Не понял. А куда подаются потенциалы в этой схеме? Хоть по диагонали, хоть по концам одной стороны - ток все равно пойдет. Разность потенциалов будет во всех особых точках.

Vladimirovich написал(а):В терминах графов изотропная среда - это такая, для которой матрица проводимостей симметрична (проводимость ребер одна и та же в обоих направлениях) - Cij = Cji. Неоднородная - величина Cij зависит от i и j.
Что такое однородная анизотропная среда в терминах графа не могу выразить.

Крыс написал(а): Никуда. Тут наоборот - разность потенциалов возникает как следствие асимметрии проводимостей какого-либо ребра.
Графы - это ж математика. Но эта математика описывает те же самые (по)токи. Для того, чтобы получить ток от i-го узла к j-му, надо умножить потенциал i-го узла (Vi) на проводимость данного ребра (Cij).

Создав асимметрию одного ребра (насколько я понимаю - это аналогично включению источника тока/напряжения), мы получим разницу потенциалов во всех точках - это так, конечно.