собрал около года назад на своём компе практически все имеющиеся в свободном доступе русскоязычные книги как по функанализу так и по линейной алгебре (и даже иногда в эти скаченные книги заглядывал), у меня сложилось впечатление (и уверен что небезосновательное), что многие разделы функана таки да содержат в себе ключевые элементы линейной алгебры. Я бы также добавил в эту "гремучую смесь" немного тензорного анализа и высшей алгебры (поля, кольца, группы). И тогда получается самое оно.
вижу, что выглядываете из-за дуба, игорь, в связи с чем накатило следующее: очень полезно будет ознакомиться с математической структурой квантовой механики в духе фон Неймана. Так называемые наблюдаемые опытом (в частности, дешифруемые приёмником криптоданные) есть лишь малая часть элементов этой структуры; остальная часть как-бы НЕ достукивается до эмпирического статуса (состоящего в наблюдаемости опытом), но - должно быть - приложила руку к определению вероятностей наблюдаемых элементов. Некоторые думают, что ненаблюдаемые элементы мат. структуры быстро убывают со временем в пользу спектру лишь наблюдаемых таковых; обзывают это environmental decoherence, то бишь декогеренцией (запутывающей суперпозиции) вслед за воздействиями окружающей (запутанную суперпозицией квантовую систему) физической среды (или дешифрующего приёмника)
вижу, что выглядываете из-за дуба, игорь, в связи с чем накатило следующее: очень полезно будет ознакомиться с математической структурой квантовой механики в духе фон Неймана. Так называемые наблюдаемые опытом (в частности, дешифруемые приёмником криптоданные) есть лишь малая часть элементов этой структуры; остальная часть как-бы НЕ достукивается до эмпирического статуса (состоящего в наблюдаемости опытом), но - должно быть - приложила руку к определению вероятностей наблюдаемых элементов. Некоторые думают, что ненаблюдаемые элементы мат. структуры быстро убывают со временем в пользу спектру лишь наблюдаемых таковых; обзывают это environmental decoherence, то бишь декогеренцией (запутывающей суперпозиции) вслед за воздействиями окружающей (запутанную суперпозицией квантовую систему) физической среды (или дешифрующего приёмника)
Математические вопросы криптографии
18 Дек 2013 13:39 #63
инфолиократ
limarodessa wrote:
Хайдук wrote:
вижу, что выглядываете из-за дуба, игорь, в связи с чем накатило следующее: очень полезно будет...
что ненаблюдаемые элементы мат. структуры быстро убывают со временем в пользу спектру лишь наблюдаемых таковых; обзывают это environmental decoherence, то бишь декогеренцией (запутывающей суперпозиции) вслед за воздействиями окружающей (запутанную суперпозицией квантовую систему) физической среды (или дешифрующего приёмника)
Угу
Ну или АГА, почти по сабж: с учетом того, что без всякой КРИПТОГРАФИИ уже давно специалисты ПО ФЕНЕ научились ШИФРОВАТЬСЯ, надеюсь, что не телько УГУ поймет нижеследующее. Нагнетание неверия в возможность создания единой описательной науки, достаточной для ВСЕЛЕНСКОНАТУРАЛЬНОЙ практики- есть великолепнейшая возможность для развития теорий, действительно способных получить на кончике пера с последующей практической реализацией на практике (при строительстве светлого будущего)
при должном финансировании таких результатов, которые значительно превосходят ожидаемое и обыденное (хотелось- как лучше, а получилось как всегда), что ни один гений = автор не в состоянии предвосхитить последствия.
Литература, в рамках базовой школы, отдыхает: [12:49:10] infoliokrat: Вот тебе вместо форума - нашел программу по математике для базовой школы: см. adu.by/uchitelu/uchebnye-programmy/iteml...ебных-предметов.html
[13:32:07] Александр: Благодарю
[16:09:30] infoliokrat: ок
[16:17:06] infoliokrat: www.litmir.net/br/?b=157170
[16:17:49] infoliokrat: Всякие флуктуации почти соответствуют программам для базовой школы.
Но если это есть, по Маяковскому, значит, это кому-то надо. З павагай к узким специализациям
[spoiler=...Как передает «Голос Америки», газета Washington Post пишет о том, что АНБ пытается создать так называемый «квантовый компьютер», который можно будет использовать для взлома шифров...]Американские спецслужбы создают суперкомпьютер для взлома шифров
Вашингтон, Январь 03 (, Федор Коротков) – Агентство национальной безопасности США работает над созданием компьютера, способного взламывать большинство алгоритмов шифрования – будь то системы защиты разведданных других стран или закодированная информация о состоянии банковских счетов.
Как передает «Голос Америки», газета Washington Post пишет о том, что АНБ пытается создать так называемый «квантовый компьютер», который можно будет использовать для взлома шифров, применяемых для защиты секретной информации.
На создание такого компьютера, который мог бы выполнять несколько операций параллельно, а не одну за другой, может уйти несколько лет, пишет газета. При этом такой компьютер можно использовать не только для взлома шифров, но и в других областях, например, в медицине, отмечает Washington Post.
В статье указывается, что работа по созданию суперкомпьютера ведется в рамках исследовательской программы «Проникновение в сложные цели», на которую выделено 79,7 млн долларов. Попытки создания квантовых компьютеров предпринимаются и неправительственными исследовательскими организациями, и пока неясно, обгоняют ли их ученые из программы АНБ или отстают.[/spoiler]
...Ученый выступал консультантом при обследовании всевозможных знахарей, шаманов, гипнотизеров и прочих людей, утверждавших, что они общаются с призраками. С конца 1920-х годов Спецотдел активно использовал их в своей работе. Как отмечается в книге [37], исследования и методика Барченко применялись и в особенно сложных случаях дешифрования вражеских сообщений — в таких ситуациях проводились сеансы связи с духами...
Видать надо мне наши с Петровичам изыскания к моему теперешнему "хобби" присовокупить... Не иначе
Так надо всего навсего ПИСАТЬ правду: (зашифрованную, типа УМЕРЛА баБУШка). А когда расшифруют этот текст, то он РОВНО НИЧЕГО не значит, потому что смысл всего в том, что мы сами ему придаем...
Математические вопросы криптографии
13 Янв 2014 17:06 #70
инфолио
Вот пример: otvet.mail.ru/question/98624291
Самое главное, что ЛЮБАЯ кодировка=шифровка чего либо имеет своей целью то, чтобы никто, кроме определенных людей не мог прочитать ПОДЛИННИК. Вывод: самая лучшая кодировка, такая, когда никто, кроме шифровавшего (а лучше всего и он сам), не мог расшифровать сообщение после окончания процесса шифровки.
Насколько я понимаю, эллиптические кривые модные в криптографии, так что это сюда
Вопрос однако любопытнее и ширше вроде habr.com/post/430840/
Какие точки на эллиптической кривой y2 = x3 – 4x + 1 рациональные? Чтобы их найти, нужно провести прямые через пары рациональных точек. Все точки, через которые проходят прямые, также будут рациональными.
Модель, опубликованная в онлайне в 2016 году, и готовая появиться в журнале Journal of the European Mathematical Society, относится к такой почтенной математической концепции, как ранг алгебраического уравнения. Ранг – это мера, соответствующая тому, какое количество решений уравнения относится к рациональным числам, а какое – к иррациональным. У уравнений высокого ранга наборов рациональных решений больше, и они сложнее.
С начала XX века математиков интересовал вопрос, есть ли ограничения высоты ранга уравнения. Сначала почти все думали, что ограничение должно существовать. Но к 1970-м преобладающее мнение изменилось – большинство математиков стало считать, что ранг ничем не ограничен, что означает, что можно обнаружить кривые с бесконечно большими рангами. Так оно и повелось, хотя некоторые математики считали, что в поддержку этому мнению нет сильных аргументов.
«Люди очень авторитарно заявляли об отсутствии ограничений. Однако, когда начинаешь разбираться, оказывается, что свидетельства этому крайне слабые», — сказал Эндрю Грэнвиль, математик из Монреальского университета и Университетского колледжа в Лондоне.
Сегодня свидетельства говорят об обратном. Спустя два года после появления модели она убедила многих математиков в том, что ранг алгебраических уравнений определённого типа действительно ограничен. Однако не всем эта модель кажется убедительной. Отсутствие согласия поднимает вопросы, не часто касающиеся математических результатов – какой вес может иметь эмпирическое доказательство в области, в которой имеет значение лишь строгое доказательство?
Рациональные решения тяжело находить систематически, но у математиков есть техники, работающие в определённых условиях. Возьмём уравнение x2 + y2 = 1. График решений этого уравнения представляет собой окружность. Чтобы найти все рациональные точки окружности, начнём с одного определённого решения – допустим, с точки, в которой x=1 и y=0. Затем проведём через эту точку линию, пересекающую окружность в одной другой точке. Если наклон нашей прямой рационален, тогда вторая точка пересечения также окажется рациональным решением. Рисуя линию, мы повысили число рациональных решений с одного до двух.
И незачем на этом останавливаться. Повторим процедуру, проведя прямую с другим рациональным уклоном через вторую рациональную точку – она пересечёт окружность в третьей рациональной точке. Продолжая так до бесконечности, мы в итоге найдём все рациональные точки окружности, коих бесконечное число.
И в случае с окружностью начать нужно лишь с одной точки, и можно найти их все. Количество рациональных решений, которое необходимо знать в начале для того, чтобы обнаружить все остальные, известно, как ранг кривой. Ранг – аккуратный способ описания бесконечного набора рациональных решений одним числом. «Это вроде как наилучший способ описания рациональных решений этих кривых», — сказал Бьорн Пуунен, математик из MIT, соавтор модели, совместно с Парком, Джоном Войтом из Дартмутского колледжа и Мелани Матчет Вуд из Висконсинского университета.
Окружность – это квадратичное уравнение, или уравнение второй степени («степень» обозначает величину самой большой из степеней членов уравнения). Уже больше ста лет математики знают, как находить рациональные решения уравнений второй степени.
Следующий тип уравнений – это эллиптические кривые, в которых присутствуют переменные, возведённые в третью степень. Эллиптические кривые существуют в наиболее привлекательной области математических исследований. Они сложнее уравнений второго порядка, поэтому их интересно изучать, но они не слишком сложные. Изменённая процедура рисования прямых всё ещё применима к эллиптическим кривым, но перестаёт работать с уравнениями четвёртого порядка и выше.
Эллиптические кривые бывают разных рангов. С некоторыми эллиптическими кривыми можно начать с одной рациональной точки, применить процедуру рисования прямых и не найти все рациональные решения. Вам, возможно, придётся добавить вторую рациональную точку, не связанную с первой. С ней вы начнёте новую процедуру рисования прямых, и найдёте баланс рациональных точек. Кривая, для нахождения всех рациональных точек которой вам надо изначально знать две рациональные точки, имеет ранг, равный двум.
Не существует доказанного ограничения высоты ранга эллиптической кривой. Чем выше ранг уравнения, тем обширнее и сложнее набор рациональных решений кривой. «Ранг каким-то образом измеряет сложность набора решений», — сказал Пуунен.
И всё же ранг ускользает от попыток математиков описать его теорией. Если вам дадут эллиптическую кривую, у неё не будет очевидного взаимоотношения между тем, как она выглядит, и тем, каков её ранг. «Если у меня есть эллиптическая кривая, и я немного подстраиваю коэффициенты, то её ранг радикально меняется, — сказал Парк. – Можно изменить коэффициент на единицу, и ранг прыгнет на миллион. Никто не знает, как ранги себя ведут».
Отсутствие общей теории принудило математиков отступить к тому небольшому набору свидетельств, которое у них имеется, чтобы высказывать догадки по поводу наличия ограничения на ранг. «Точка зрения такова, что ограничений у ранга нет, поскольку люди всё время находили всё большие и большие ранги», — сказал Грэнвиль. Текущий рекордсмен – эллиптическая кривая ранга 28, обнаруженная в 2006 году Ноамом Элкисом, математиком из Гарвардского университета.
Но затем появилась эта новая модель, и заявила, что практически наверняка это и есть конец пути.
Когда четверо исследователей проделывали эту работу, большая часть математиков считала ранг неограниченным. Однако модель поведала иную историю. Она говорит о том, что существует лишь конечное число эллиптических кривых с рангом более 21. А если их конечное количество, то у одной из них ранг будет наивысшим – что будет означать, что у ранга всё же есть верхняя граница.
Ещё одна причина верить в модель состояла в том, что величина ранга в 21 не кажется какой-то произвольной границей. За десять лет до этого Грэнвиль создал другую модель, из которой также следовало, что должно существовать лишь ограниченное количество эллиптических кривых с рангом выше 21. Модель Грэнвиля вообще не была похожа на текущую – и то, что обе они выдали ранг 21 как значимый, был очень не похож на простое совпадение с точки зрения многих математиков.
«У нас есть две совершено разные эвристические модели и обе выдали одно и то же число, 21 – это удивило людей», — сказал Парк.
Возможно, наиболее убедительной причиной того, что модель кажется достойной доверия, стал тот факт, что другие её предсказания почти точно совпали с доказанными свойствами эллиптических кривых. Обобщённое заключение модели – существование конечного количества эллиптических кривых с рангом больше 21 – применимо ко всем эллиптическим кривым.
Shor's algorithm can be used to break elliptic curve cryptography by computing discrete logarithms on a hypothetical quantum computer. The latest quantum resource estimates for breaking a curve with a 256-bit modulus (128-bit security level) are 2330 qubits and 126 billion Toffoli gates.[40] In comparison, using Shor's algorithm to break the RSA algorithm requires 4098 qubits and 5.2 trillion Toffoli gates for a 2048-bit RSA key, suggesting that ECC is an easier target for quantum computers than RSA. All of these figures vastly exceed any quantum computer that has ever been built, and estimates place the creation of such computers as a decade or more away.
Supersingular Isogeny Diffie–Hellman Key Exchange provides a post-quantum secure form of elliptic curve cryptography by using isogenies to implement Diffie–Hellman key exchanges. This key exchange uses much of the same field arithmetic as existing elliptic curve cryptography and requires computational and transmission overhead similar to many currently used public key systems.[41]
In August 2015, NSA announced that it planned to transition "in the not distant future" to a new cipher suite that is resistant to quantum attacks. "Unfortunately, the growth of elliptic curve use has bumped up against the fact of continued progress in the research on quantum computing, necessitating a re-evaluation of our cryptographic strategy."[3]
RSA, эллиптические кривые, квантовый компьютер, изогении… На первый взгляд, эти слова напоминают какие-то заклинания, но все куда проще сложнее, чем кажется!
Необходимость перехода к криптографии, устойчивой к атаке на квантовом компьютере, уже официально анонсирована NIST и NSA, из чего вывод довольно-таки простой: пора вылезать из зоны комфорта!
А значит, стоит отходить от старой доброй RSA и даже, вероятно, от полюбившихся многим эллиптических кривых и узнавать новые, не менее интересные примитивы, способные обезопасить конфиденциальную информацию.
Shor's algorithm can be used to break elliptic curve cryptography by computing discrete logarithms on a hypothetical quantum computer. The latest quantum resource estimates for breaking a curve with a 256-bit modulus (128-bit security level) are 2330 qubits and 126 billion Toffoli gates.[40] In comparison, using Shor's algorithm to break the RSA algorithm requires 4098 qubits and 5.2 trillion Toffoli gates for a 2048-bit RSA key, suggesting that ECC is an easier target for quantum computers than RSA. All of these figures vastly exceed any quantum computer that has ever been built, and estimates place the creation of such computers as a decade or more away.
Supersingular Isogeny Diffie–Hellman Key Exchange provides a post-quantum secure form of elliptic curve cryptography by using isogenies to implement Diffie–Hellman key exchanges. This key exchange uses much of the same field arithmetic as existing elliptic curve cryptography and requires computational and transmission overhead similar to many currently used public key systems.[41]
In August 2015, NSA announced that it planned to transition "in the not distant future" to a new cipher suite that is resistant to quantum attacks. "Unfortunately, the growth of elliptic curve use has bumped up against the fact of continued progress in the research on quantum computing, necessitating a re-evaluation of our cryptographic strategy."[3]
Таки там (перед этим текстом) есть и иное:
"Перводчик Яндекс, а не я." Подчеркнутое мною.
“Жесткий” означает, что узнать, что количество дополнений, вы не может просто “пропасть” БС А, но нужно перечислить большое из возможных чисел х , чтобы проверить, если Х·а производит Б. Так что если Х очень велико, больше, чем число атомов во Вселенной, проверив всех возможностей займет слишком много времени, чтобы заморачиваться. В то же время, если один знает правильный хвычислительного х·а это довольно быстро.
С учетом КЛАССНОГО
Казалось бы.... Почему 21?
, как фанат вселенсконатурального и дилетант криптографии ( кажущейся в перспективе как стороннику открытости и несекретности всего, включая даже понятия типа КОНЕЦ СВЕТА, еще более выдуманной и не нужной, чем бесконечности и иррациональности ) естественно назову число 23 (которое математикам фанатам двоичной логики может понравиться как 2-х разрядное "САМОЕ" простое)... Напрашивается третья модель, которая "с учетом кривизны прямых" подскажет не 21, а 23.
З павагай да неабыякавых
Напрашивается третья модель, которая "с учетом кривизны прямых" подскажет не 21, а 23...
А также любое другое число, которое "с учетом прямизны кривых" еще придет в голову ув.инфолиократу за пять минут
Например 42
— Сорок два! — взвизгнул Лунккуоол. — И это всё, что ты можешь сказать после семи с половиной миллионов лет работы?
— Я всё очень тщательно проверил, — сказал компьютер, — и со всей определённостью заявляю, что это и есть ответ. Мне кажется, если уж быть с вами абсолютно честным, то всё дело в том, что вы сами не знали, в чём вопрос.
— Но это же великий вопрос! Окончательный вопрос жизни, Вселенной и всего такого! — почти завыл Лунккуоол.
— Да, — сказал компьютер голосом страдальца, просвещающего круглого дурака. — И что же это за вопрос?
(с) «Автостопом по галактике» Дуглаа Адамс
Многие технологические компании современности, включая такие крупные, как IBM, Google, Alibaba, разрабатывают квантовые компьютеры. В той либо иной степени продвинулись практически все игроки рынка. Специалисты считают, что квантовые технологии — это будущее, поэтому корпорации готовы вкладывать миллионы долларов США в разработку новых систем.
Квантовый компьютер, как считают, сделает практически бесполезными современные методы защиты информации. Самые сложные протоколы шифрования могут быть взломаны квантовым компьютером за секунды. Лидером в квантовой гонке является Китай — похоже на то, что руководство Поднебесной хорошо понимает перспективы квантовых технологий.
Квантовые вычислительные системы нужны не только науке и промышленности. Они станут работать на благо национальной безопасности стран, которые первыми смогут разработать полноценные квантовые компьютеры. И похоже на то, что Китай будет все же первым — уж очень активно страна работает над достижением этой цели.
Это признают американские эксперты, которые занимаются тем же — разрабатывают квантовые технологии. По их мнению, если США или любая другая страна, кроме Китая, зайдет в сферу квантовых технологий лет через 10 — будет уже слишком поздно, поскольку здесь будет полноценно властвовать КНР.
Страна уже вложила десятки миллионов долларов в создание сетей, данные в которых передаются с использованием квантового шифрования. В прошлом году китайский спутник Micius помог провести сеанс связи между Пекином и Веной (расстояние около 7,5 тыс. км). Все данные были квантово зашифрованы. Аналогичным образом был проведен сеанс связи между Пекином и Шанхаем. Инфраструктура для проведения видеоконференции разрабатывалась в течение четырех лет. В проект вкладывали средства не только научно-исследовательские организации, но и правительство. В частности, администрация сразу двух провинций Китая выделила около $80 млн для этого проекта.
С течением времени Китай планирует расширить линию связи, раскинув сеть на другие города и регионы. Цель страны — получить к 2030 году общенациональную инфраструктуру квантовой связи.
Математические вопросы криптографии
13 Фев 2019 13:43 #82
инфолиократ
limarodessa wrote:
Vladimirovich wrote:
Квантовый компьютер, как считают, сделает практически бесполезными современные методы защиты информации...
Эта фраза не дает мне покоя. Какова польза от квантового компьютера кроме как сделать бесполезным RSA ?
А какова польза от наращивания МОЩНОСТИ всего (чего угодно)?
Смотрел по ТВ программу о ДНК: старовер (из Бразилии приехал после смерти отца с мамой и живет в деревне староверов с женой и ТРЕМЯ детьми как принято у староверов. Оказалось что он без паспорта!!! П/п-к полиции сказал: так он без паспорта не получит бесплатно медицинские услуги, образование... Оеазалось что ОН и без них прожил бы жизнь, да не тут - то было...).
Короче: ПОЛЬЗА - полезное понятие использующим полезность пользы (яко бы для других, а не для себя) . З павагай да неабыякавых
Математические вопросы криптографии
05 Нояб 2019 17:20 #87
инфолиократ
Andralex wrote:
неужели сможете понять о чём речь?
Как три пальца об асфальт. А если что и непонятно, то, как говорится, гугл в помощь!
Вот спасибо! Перейдя по ссылке прочитал:
Пример
Фото выключателя света.
Пример физического воплощения понятия бит — выключатель освещения.
Отвлечённо бит — это всё, что может быть только в двух состояниях, например: вкл или выкл, 1 или 0, белое или чёрное, да или нет, и так далее. По определению бит может принимать строго два значения и никаких значений между. Самое простое физическое воплощение бита — это выключатель света в комнате. Он может быть только в одном из двух состояний: включён или выключен, и заставить обычный переключатель "застрять" в положении между этими состояниями очень трудно. Так же следует заметить, что простое наблюдение за состоянием выключателя света в комнате не может перевести его из одного состояния в другое, более того, перевод переключателя из состояния "вкл" в "выкл" требует заметных усилий со стороны человека.
Изображение ручки громкости.
Почти пример физического воплощения кубита — ручка громкости, с помощью которой можно тонко настраивать мощность звука.
Отвлечённо кубит — это любая вещь, которая может занимать любое состояние между двумя "пограничными" состояниями. Например, если бит может быть только чёрным или только белым, то кубит может стать серым цветом любой насыщенности между этими двумя тонами. Если бит может быть только 0 или 1, то кубит может принимать любое значение между 0 и 1.
Ну не знал я ТАКИХ умных вещей после Гутовской СШ, когда мелтораторы в общаге (вагончике) возле деревни Гута пожаловались, что женщины не дают смотреть футбол из-за какого-то кино по первому каналу. Сказал- давай помеху сделаем... Как?? Стань у входа в ЛЕНКОМНАТУ и показывай когда канал 1й. Сняв крышку выул, и вставил спичку, чтобы искрило (в комнате, которая в противоположном конце общежития ). Им надоело и женщины переключили канал. Все, "помеха исчезла", ТРЕХ раз оказалось достаточно... Вот и все усилия...
Вывод: на любую ЕРИПТОГРАФИЮ с закоулками, найдется СПИЧКА с винтом...
....Особенно ярко мне запомнились два проекта. Первым был Microsoft Word 97. До его появления файлы шифровались с помощью XOR байтов открытого текста и 16-байтовой строки, которая выводилась из пароля. Самыми распространёнными байтами в файле Word обычно были 0x00, 0xFF или 0x20 (пробел), поэтому мы просто выбирали самый распространённый символ в каждом столбце и проверяли 316 вариантов. Восстановление ключа обычно происходило мгновенно, но чтобы людям не казалось, что они зря потратили деньги, мы вставили небольшую анимацию, похожую на голливудскую хакерскую сцену с множеством случайных символов, из которых постепенно проявляется правильный пароль.