Ключевое слово
30 | 05 | 2024
Новости Библиотеки
Шахматы Онлайн
Welcome, Guest
Username: Password: Remember me

TOPIC: Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 05 Фев 2010 01:39 #91

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49494
  • Thank you received: 132
  • Karma: 17
Vladimirovich написал(а):
значит ли это, что аксиомы Пеано избыточны для группы с двумя операциями (кольца), каковой является поле?
Не врубился, ув. Vladimirovich, какой смысл вкладываете в якобы избыточность аксиом Пеано? Может существуют кольца и/или поля, НЕ обладающие подструктурой, удовлетворяющей аксиомам Пеано? Как раз такие кольца и/или поля могли бы оказаться полными, то бишь конечно аксиоматизируемыми по Гёделю
. Лень прямо щас рыться в строгих определениях, но может арифметика неспроста известна именно как арифметика, а не как некая из алгебраических структур

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 05 Фев 2010 02:00 #92

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49494
  • Thank you received: 132
  • Karma: 17
Vladimirovich написал(а):
Если бутылочку коньячку положить в красивую коробочку, она не перестанет быть бутылочкой коньячку
Но вот если положить в коробочку, выпить коньячок , и залить туда джину....
Будет ли справедливой теорема Геделя для такой формальной системы
То есть сможет ли теория действительных чисел оставаться неполной по Гёделю, если не будет подмножества натуральных чисел или подструктуры арифметики (Пеано)? Рискну предположить, что ответ отрицателен, то бишь теория такая будет полной (конечно аксиоматизируемой). Арифметика как-будто необходима для неполноты.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 05 Фев 2010 05:48 #93

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 107222
  • Thank you received: 2097
  • Karma: 105
Хайдук написал(а):
Не врубился, ув. Vladimirovich, какой смысл вкладываете в якобы избыточность аксиом Пеано? Может существуют кольца и/или поля, НЕ обладающие подструктурой, удовлетворяющей аксиомам Пеано? Как раз такие кольца и/или поля могли бы оказаться полными, то бишь конечно аксиоматизируемыми по Гёделю 
  . Лень прямо щас рыться в строгих определениях, но может арифметика неспроста известна именно как арифметика, а не как некая из алгебраических структур 
Чисто интуитивно я с Вами соглашусь, ув. Хайдук. Но знанием этого я не обладаю.
А Григорий молчит, как партизан

Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 05 Фев 2010 13:52 #94

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49494
  • Thank you received: 132
  • Karma: 17
Григорий зверь, однако
: догадаться, что как раз единица 1 недистрибутивной операции (умножения) обладает потенциалом присобачить дистрибутивную операцию (сложение) с единицей 0 и состряпать подгруппу целых чисел - это ВЕСЧЬ


Отредактировано Хайдук (2010-02-06 07:00:21)

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 06 Фев 2010 00:49 #95

  • Alexander
  • Alexander's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 10534
  • Thank you received: 110
  • Karma: 10
Крыс написал(а):
Не знаю почему, но до сих пор испытываю к Григорию тайную симпатию и как могу берегу его.
В постах Григория, пока они не касаются тебя самого, безусловно есть что-то притягательное

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 08 Фев 2010 06:05 #96

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 107222
  • Thank you received: 2097
  • Karma: 105
Склонирую формулировку из Аксиом
Вопрос лишь о включении арифметики. Что нужно сделать, чтобы включить арифметику...
Кольцо с единицей по сложению 0 и по умножению 1 ее включает?
Я откровенно не знаю, Григорий.
Думаю, что нет. Но не знаю, чего не хватает. Но не знать это, мне кажется извинительно.
И не думаю, что мой вопрос заслуживает эпитета бессмысленный.
Уточним также и формулировку более старого вопроса, связанного с заменой натуральных на действительные...

Если существует геделевское утверждение Х в формальной системе аксиом, включающей действительные числа, то будет ли оно справедливо в системе аксиом натуральных чисел... Т.е не является ли неполнота следствием натуральности ...

Вопрос конечно некорректный. А Григорий добавит - глупый и бессмысленный

Если Утверждение Х использует понятие действительного числа, то все очевидно.

Но вот хочется пример такого утверждения.
Григорий уже приводил пример гипотезы континуума. Так что вопрос типа закрыт. Но мощности множеств - это не совсем то

Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 01 Май 2010 23:20 #97

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
Задачка Смаллиана:


Будем говорить, что логик является правильным, если все, что он может доказать, является истинным (т.е., если какое-либо утверждение ложно, то он его доказать не может).
Однажды правильный логик попал на остров рыцарей и плутов (ну, как обычно, рыцари могут делать только истинные утверждения, плуты только ложные). Логик встречает островитянина, и тот делает утверждение, из которого следует, что говорящий - рыцарь, но логик не сможет этого доказать.
Что это за утверждение?

Отредактировано Serge_P (2010-05-02 03:42:04)

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 02 Май 2010 02:23 #98

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49494
  • Thank you received: 132
  • Karma: 17
Интересная задачка
, в своё время читал какое-то краткое введение в математическую логику Смаллианом.

Знаю лишь как отличить рицаря от плута одним вопросом к любому из них

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 02 Май 2010 13:54 #99

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
решение этой задачки содержит в себе идею доказательства теоремы Гёделя

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 02 Май 2010 14:14 #100

  • Grigoriy
  • Grigoriy's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 16723
  • Thank you received: 484
  • Karma: 70
Да это понятно. Но сформулировать я не смог

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 02 Май 2010 16:53 #101

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49494
  • Thank you received: 132
  • Karma: 17
Serge_P написал(а):
решение этой задачки содержит в себе идею доказательства теоремы Гёделя

Вот было бы ооочень интересно додуматься до нетехничного (за пределами арифметики) предложения типа Гёделя

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 00:58 #102

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49494
  • Thank you received: 132
  • Karma: 17
У правильного логика должна быть некая аксиоматика арифметики и если рыцарь сделает ему соответствующее предложение Гёделя для этой аксиоматики, то логик не сможет от того отказаться
, то бишь того доказать (из своей аксиоматики), несмотря на то, что предложения Гёделя недоказуемы доказуемо


Отредактировано Хайдук (2010-05-03 15:40:28)

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 01:06 #103

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49494
  • Thank you received: 132
  • Karma: 17
Кстати, Serge_P, тут с ув. Владимировичем сокрушались по поводу бывают ли другие математические теории помимо арифметики и не содержащие её, которые также неполны по Гёделю (не являются аксиоматизируемыми алгоритмом)?

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 06:40 #104

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 107222
  • Thank you received: 2097
  • Karma: 105
И каково же решение?
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 11:14 #105

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
Хайдук написал(а):
Кстати, Serge_P, тут с ув. Владимировичем сокрушались по поводу бывают ли другие математические теории помимо арифметики и не содержащие её, которые также неполны по Гёделю (не являются аксиоматизируемыми алгоритмом)?
наверное, бывают. Какие, не знаю

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 11:16 #106

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
Vladimirovich написал(а):
И каково же решение?
островитянин сказал ты не можешь доказать, что я - рыцарь

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 11:19 #107

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 107222
  • Thank you received: 2097
  • Karma: 105
Serge_P написал(а):
Vladimirovich написал(а):
И каково же решение?
островитянин сказал ты не можешь доказать, что я - рыцарь
Но из этого утверждения не следует, что говорящий - рыцарь
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 11:53 #108

  • Grigoriy
  • Grigoriy's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 16723
  • Thank you received: 484
  • Karma: 70
Да нет, следует. Ибо это утверждение очевидно верно, а следовательно, его не мог высказать плут.
Мне приходило в голову, но я не записал, а мозги мои в таком разобранном состоянии, что незаписанное не смогли разобрать

Даже не старость, а предвестник Альцгеймера

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 11:59 #109

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 107222
  • Thank you received: 2097
  • Karma: 105
Grigoriy написал(а):
Да нет, следует. Ибо это утверждение очевидно верно, а следовательно, его не мог высказать плут.
Отрицание составных высказываний - хитрая штука.
Что есть отрицание
ты не можешь доказать, что я - рыцарь ?


ты можешь доказать, что я - рыцарь
или
ты не можешь доказать, что я - плут
Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 12:34 #110

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
Vladimirovich написал(а):
Отрицание составных высказываний - хитрая штука.
Что есть отрицание
ты не можешь доказать, что я - рыцарь ?


ты можешь доказать, что я - рыцарь
или
ты не можешь доказать, что я - плут
отрицание ты не можешь доказать, что я - рыцарь - это ты можешь доказать, что я - рыцарь. Высказывания ты не можешь доказать, что я - рыцарь и ты не можешь доказать, что я - плут могут быть верны одновременно

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 15:02 #111

  • Крыс
  • Крыс's Avatar
  • OFFLINE
  • Отец Русской Демократии
  • Posts: 33839
  • Thank you received: 61
  • Karma: 14
Grigoriy написал(а):
Даже не старость, а предвестник Альцгеймера
Типун Вам, ув. Grigoriy!

Живите долго и счастливо!

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 15:50 #112

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 107222
  • Thank you received: 2097
  • Karma: 105
Хорошо, уговорили.

Тогда если из высказывания следует, что рыцарь, то почему нельзя этого доказать?

Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 16:25 #113

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
Vladimirovich написал(а):
Хорошо, уговорили.

Тогда если из высказывания следует, что рыцарь, то почему нельзя этого доказать?
потому, что это высказывание истинно
И прикол именно в том, что логик не может этого доказать.

Отредактировано Serge_P (2010-05-03 20:26:49)

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 16:35 #114

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 107222
  • Thank you received: 2097
  • Karma: 105


Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 16:39 #115

  • Alexander
  • Alexander's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 10534
  • Thank you received: 110
  • Karma: 10
А возможно ли аналогичное (более позитивное
) утверждение: ты можешь доказать, что я плут?

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 16:46 #116

  • Grigoriy
  • Grigoriy's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 16723
  • Thank you received: 484
  • Karma: 70
Что означает, что это высказывание неверно? Что Логик может доказать. что говорящий - рыцарь. Но тогда получится, что рыцарь сказал неправду(он то сказал, что Логим не может). А значит, он не рыцарь.
Чисто паадокс лжеца, но в содержательной форме.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 16:48 #117

  • Serge_P
  • Serge_P's Avatar
  • OFFLINE
  • Бояринъ
  • Posts: 1568
  • Thank you received: 6
  • Karma: 1
Alexander написал(а):
А возможно ли аналогичное (более позитивное
) утверждение: ты можешь доказать, что я плут?
похоже, что возможно

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 17:27 #118

  • Vladimirovich
  • Vladimirovich's Avatar
  • OFFLINE
  • Инквизитор
  • Posts: 107222
  • Thank you received: 2097
  • Karma: 105
Grigoriy написал(а):
Чисто паадокс лжеца, но в содержательной форме.
Угу. Я въехал наконец

Каждому - своё.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 18:13 #119

  • Хайдук
  • Хайдук's Avatar
  • OFFLINE
  • Наместник
  • Posts: 49494
  • Thank you received: 132
  • Karma: 17
По мне парадокс лжеца никакой не парадокс, а пустословие.

Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse 03 Май 2010 18:47 #120

  • Alexander
  • Alexander's Avatar
  • OFFLINE
  • Боярин
  • Posts: 10534
  • Thank you received: 110
  • Karma: 10
Хайдук написал(а):
По мне парадокс лжеца никакой не парадокс, а пустословие.
А разве теорема Гёделя не парадокс лжеца?

Moderators: Grigoriy
Рейтинг@Mail.ru

Научно-шахматный клуб КвантоФорум