Vladimirovich написал(а):Не врубился, ув. Vladimirovich, какой смысл вкладываете в якобы избыточность аксиом Пеано? Может существуют кольца и/или поля, НЕ обладающие подструктурой, удовлетворяющей аксиомам Пеано? Как раз такие кольца и/или поля могли бы оказаться полными, то бишь конечно аксиоматизируемыми по Гёделю . Лень прямо щас рыться в строгих определениях, но может арифметика неспроста известна именно как арифметика, а не как некая из алгебраических структур

Vladimirovich написал(а):То есть сможет ли теория действительных чисел оставаться неполной по Гёделю, если не будет подмножества натуральных чисел или подструктуры арифметики (Пеано)? Рискну предположить, что ответ отрицателен, то бишь теория такая будет полной (конечно аксиоматизируемой). Арифметика как-будто необходима для неполноты.

Хайдук написал(а):Чисто интуитивно я с Вами соглашусь, ув. Хайдук. Но знанием этого я не обладаю.
А Григорий молчит, как партизан

Григорий зверь, однако : догадаться, что как раз единица 1 недистрибутивной операции (умножения) обладает потенциалом присобачить дистрибутивную операцию (сложение) с единицей 0 и состряпать подгруппу целых чисел - это ВЕСЧЬ

Отредактировано Хайдук (2010-02-06 07:00:21)

Крыс написал(а):В постах Григория, пока они не касаются тебя самого, безусловно есть что-то притягательное

Склонирую формулировку из Аксиом
Уточним также и формулировку более старого вопроса, связанного с заменой натуральных на действительные...

Если существует геделевское утверждение Х в формальной системе аксиом, включающей действительные числа, то будет ли оно справедливо в системе аксиом натуральных чисел... Т.е не является ли неполнота следствием натуральности ...

Вопрос конечно некорректный. А Григорий добавит - глупый и бессмысленный
Если Утверждение Х использует понятие действительного числа, то все очевидно.

Но вот хочется пример такого утверждения.
Григорий уже приводил пример гипотезы континуума. Так что вопрос типа закрыт. Но мощности множеств - это не совсем то

Задачка Смаллиана:


Будем говорить, что логик является правильным, если все, что он может доказать, является истинным (т.е., если какое-либо утверждение ложно, то он его доказать не может).
Однажды правильный логик попал на остров рыцарей и плутов (ну, как обычно, рыцари могут делать только истинные утверждения, плуты только ложные). Логик встречает островитянина, и тот делает утверждение, из которого следует, что говорящий - рыцарь, но логик не сможет этого доказать.
Что это за утверждение?

Отредактировано Serge_P (2010-05-02 03:42:04)

Интересная задачка , в своё время читал какое-то краткое введение в математическую логику Смаллианом.

Знаю лишь как отличить рицаря от плута одним вопросом к любому из них

решение этой задачки содержит в себе идею доказательства теоремы Гёделя

Да это понятно. Но сформулировать я не смог

Serge_P написал(а):
Вот было бы ооочень интересно додуматься до нетехничного (за пределами арифметики) предложения типа Гёделя

У правильного логика должна быть некая аксиоматика арифметики и если рыцарь сделает ему соответствующее предложение Гёделя для этой аксиоматики, то логик не сможет от того отказаться , то бишь того доказать (из своей аксиоматики), несмотря на то, что предложения Гёделя недоказуемы доказуемо

Отредактировано Хайдук (2010-05-03 15:40:28)

Кстати, Serge_P, тут с ув. Владимировичем сокрушались по поводу бывают ли другие математические теории помимо арифметики и не содержащие её, которые также неполны по Гёделю (не являются аксиоматизируемыми алгоритмом)?

И каково же решение?

Хайдук написал(а):наверное, бывают. Какие, не знаю

Vladimirovich написал(а):островитянин сказал ты не можешь доказать, что я - рыцарь

Serge_P написал(а):Но из этого утверждения не следует, что говорящий - рыцарь

Да нет, следует. Ибо это утверждение очевидно верно, а следовательно, его не мог высказать плут.
Мне приходило в голову, но я не записал, а мозги мои в таком разобранном состоянии, что незаписанное не смогли разобрать
Даже не старость, а предвестник Альцгеймера

Grigoriy написал(а):Отрицание составных высказываний - хитрая штука.
Что есть отрицание
ты не можешь доказать, что я - рыцарь ?

ты можешь доказать, что я - рыцарь
или
ты не можешь доказать, что я - плут

Vladimirovich написал(а):отрицание ты не можешь доказать, что я - рыцарь - это ты можешь доказать, что я - рыцарь. Высказывания ты не можешь доказать, что я - рыцарь и ты не можешь доказать, что я - плут могут быть верны одновременно

Grigoriy написал(а):Типун Вам, ув. Grigoriy!
Живите долго и счастливо!

Хорошо, уговорили.
Тогда если из высказывания следует, что рыцарь, то почему нельзя этого доказать?

Vladimirovich написал(а):потому, что это высказывание истинно И прикол именно в том, что логик не может этого доказать.

Отредактировано Serge_P (2010-05-03 20:26:49)

А возможно ли аналогичное (более позитивное ) утверждение: ты можешь доказать, что я плут?

Что означает, что это высказывание неверно? Что Логик может доказать. что говорящий - рыцарь. Но тогда получится, что рыцарь сказал неправду(он то сказал, что Логим не может). А значит, он не рыцарь.
Чисто паадокс лжеца, но в содержательной форме.

Alexander написал(а):похоже, что возможно

Grigoriy написал(а):Угу. Я въехал наконец

По мне парадокс лжеца никакой не парадокс, а пустословие.

Хайдук написал(а):А разве теорема Гёделя не парадокс лжеца?